3微分中值定理

1、1 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 导数是函数随自变量变化的瞬时变化率，导数是函数随自变量变化的瞬时变化率，导数是与局部有关的点的变化性态导数是与局部有关的点的变化性态,如何用导数来研究函数的全部性态？如何用导数来研究函数的全部性态？2罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用3 一条光滑的平面曲线段一条光滑的平面曲线段ab ,其其切线切线与连接两端点的与连接两端点的弦弦ab平行平行.几何事实几何事实:微分中值定理微分中值定理至少存在

2、一点，至少存在一点， 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于于x轴的切线轴的切线 .有水平的切线有水平的切线0)( fabxyo)(xfy 2 1 ababc)()(bfaf 4定理定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf 罗尔罗尔 rolle,(法法)1652-1719 ,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得. 0)( f如如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(内内可可导导在

3、在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf微分中值定理微分中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理5微分中值定理微分中值定理费马引理费马引理 费马费马 fermat,(法法) 1601-1665 如果对如果对 ),(0 xux )()(0 xfxf . 0)(0 xf那么那么证证),(00 xuxx )()(00 xfxxf 0 , 0 x若若xxfxxf )()(00, 0 x若若; 0 ; 0 )()(00 xfxxf xxfxxf )()(00有定义有定义,内内在在设函数设函数)()(0 xuxf,)(0存在存在且且xf 0limx )(

4、0 xf )(0 xf 0limx )(0 xf 函数的函数的驻点，驻点，稳定点稳定点,临界点临界点. 06.)(mmb 若若),(afm 设设,),( 内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba.)(mf 微分中值定理微分中值定理证证.)(mma 若若.,)(mmbaxf和和最最小小值值有有最最大大值值在在.)(mxf 则则. 0)( xf得得),(ba )( f都有都有罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf ),(ba . 0)( f. 0所以最值不可能同时在端点取得所以最值

5、不可能同时在端点取得.使使,ba 有有),()( fxf 由由费马引理费马引理,. 0)( f7(1) 定理条件不全具备定理条件不全具备, , 1,010,)(xxxxf1 ,1, |)( xxxf注注微分中值定理微分中值定理结论不一定成立结论不一定成立. . 1xyo 1 ,0,)( xxxf罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf ),(ba . 0)( f1 yxo1yxo18(2) 定理条件只是充分的定理条件只是充分的. . 可推广可推广: :在在( a , b )内可导

6、内可导, ,且且 )(lim0 xfax)(lim0 xfbx 则在则在( a , b )内至少存在一点内至少存在一点, 使使. 0)( f提示提示 )(xf设设axaf , )0(bxaxf , )(bxbf , )0(证证 f(x)在在a,b上上满足罗尔定理满足罗尔定理 . 设设微分中值定理微分中值定理注注)(xfy 罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf ),(ba . 0)( f9例例上上在在对函数对函数2 , 1,1074)(23 xxxxf证证 (1),2 , 1)

7、(上连续上连续在在 xf0)1( f(2), 0)( xf方程方程),2 , 1(2 x其其中中定理的假设条件满足定理的假设条件满足)2(f 结论正确结论正确有实根有实根即即07832 xx),374(311 x)374(312 x.符符合合要要求求微分中值定理微分中值定理验证罗尔定理的正确性验证罗尔定理的正确性.罗尔定理肯定了罗尔定理肯定了 的存在性的存在性,)2 , 1(内可导内可导在在 10例例.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连续连续在在则则xf, 1)0( f且且 零点定理零点定理),1

8、, 0(0 x即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.(1) 存在性存在性. 3)1( f. 0)(0 xf使使微分中值定理微分中值定理11,),1 , 0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使)(xf),(10之间之间在在至少存在一个至少存在一个xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但, 0 .为为唯唯一一实实根根(2) 唯一性唯一性使得使得)1 , 0( x之间之间在在10, xx满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件.微分中值定理微分中值定理.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx矛盾矛盾, ,12例例满足条件满足条件设常

9、数设常数nccc,10. 01210 ncccn试证方程试证方程010 nnxcxcc.)1 , 0(内存在一个实根内存在一个实根在在分析分析)12(1210 nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf微分中值定理微分中值定理13证证 设设,12)(1210 nnxncxcxcxf,1 , 0)(上上连连续续在在xf0)0( f,)1 , 0(内可导内可导在在)1(f 且且 罗尔定理罗尔定理,)1 , 0( 内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在, 0)( f使得使得即即010 nnccc .为所求实根为所求实根 x微分中值定理微分中值定理例例. 01210 ncccn试证方程试证方程0

10、10 nnxcxcc.)1 , 0(内存在一个实根内存在一个实根在在14注注拉格朗日拉格朗日 lagrange (法法) 1736-1813 定理定理:)(满足满足若函数若函数xf(1)(2),),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得)()()(abfafbf ).()()( fabafbf 微分中值定理微分中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba;),(内可导内可导在开区间在开区间ba15几何解释几何解释:分析分析)()()(abfafbf , 0)()()( abafbff ,)()()()(xabafbfxfxg 微

11、分中值定理微分中值定理逆向思维，辅助函数逆向思维，辅助函数满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件)(xfy xyoabbac1 2 d16证证 作作辅助函数辅助函数,)()()()(xabafbfxfxg 使使得得内内至至少少存存在在一一点点故故在在开开区区间间,),( ba. 0)()()()( abafbffg ).()()()( fabafbf )(ag拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.也也成成立立对对ab ,)(上连续上连续在闭区间在闭区间baxg内内开区间开区间),(ba)(bg ,可导可导微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理)()(1bafabfab 17例例证明不等式证明不

12、等式证证).(21xx ,arctan)(xxf 记记,arctanarctan1212xxxx ,21上上在在xx利用微分中值定理利用微分中值定理,12arctanarctanxx ),(21xx , 1112 12arctanarctanxx ,12xx )()()(abfafbf ),(ba 微分中值定理微分中值定理211 )(12xx 18lagrange公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的各种形式:.).)()()()1(时也成立时也成立当当baabfafbf )()()2(xfxxfxxxfy )()3( .的精确表达式的精确表达式增量增量 y 函数增量和某点函数增量和某点

13、注注,)(xf .之之间间和和在在xxx ).10( 导数之间的等式关系导数之间的等式关系.微分中值定理微分中值定理或或拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.19推论推论,)(上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数ixf证证21, xxi上上任任取取两两点点在在区区间间)()()(1212xxfxfxf ),()(21xfxf 则则.)(cxf .)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末ixf,由由拉拉氏氏定定理理由条件由条件,即在区间即在区间i中任意两中任意两点的函数值都相等点的函数值都相等,所以所以),(21x

14、x 0)(21xx 微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)()()(abfafbf 20例例).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xcxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 c即即.2arccosarcsin xx000由由推论推论微分中值定理微分中值定理21.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 上上在在, 0)(xxf),0)()0()( xffxf ,11)(, 0)0(xxff

15、,1)1ln( xx, 11111 x.)1ln(1xxxx 即即设设, 0 x)0(x x 0 关键关键微分中值定理微分中值定理 满足拉氏定理的条件满足拉氏定理的条件,22柯西柯西 cauchy (法法)1789-1859定理定理:)()(满足满足及及若函数若函数xfxf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得, 0)( xf且且)()()()()()( ffafbfafbf 微分中值定理微分中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理广义微分中值定理广义微分中值定理23),(,

16、 )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabfafbf ),(,)()()()()()(baffafbfafbf 这两个这两个错错 ! !柯西中值定理柯西中值定理)()()()()()( ffafbfafbf 微分中值定理微分中值定理柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ? ?不一定相同不一定相同. 24xabafbfxfxg )()()()( 现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f (x)、f(x), 构构造造 )()(xfx 辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数)(xf)()(afbf )()(afbf 微分中值定理微分中值定理)()()()()()( ffa

17、fbfafbf ),(ba )()()()()()(afbfffafbf 分析分析xxf )( 用类比法用类比法),(, )()()(baabfafbf 25柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义 )()(tfytfx)()(ddtftfxy 注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理)()()()()()( ffafbfafbf 微分中值定理微分中值定理切线斜率切线斜率xyo)(bf)(af)( f)(bf)(af26例例).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分

18、析 2)(01)0()1(fff .)()(2 xxxf,)(2xxf 设设上上在在1 , 0)(),(xfxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 , 0( )0()1()0()1(ffff ).0()1(2)(fff )()( ff 即即微分中值定理微分中值定理满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件, , 2)(01)0()1(fff 27罗尔罗尔定理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理xxf )()()(bfaf 罗尔罗尔(rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(lagrange)中值中值定理、柯西中值定理之间的关系定理、柯西中值定理之间的关系:推广推广

19、推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,不是必要条件不是必要条件.微分中值定理微分中值定理28应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1) 验证定理的正确性验证定理的正确性;(2) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3) 引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4) 证明不等式证明不等式;(5) 综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用).微分中值定理微分中值定理关键关键: 逆向思维逆向思维,找辅助函数找辅助函数29 ., 0)(, 0)()(baxxfbfaf :证明证明.)()(),(,kffbak 使使存在点存在点对任意的实数对任意的实数 分析分析,)()(kff 要证要证即证即证0)()( kfefekk0)()()( xkxkxxfexfe0 )( xkxxfe. 0)()( kff微分中值定理微分中值定理且且内可导内