电路第八章高等教育出版社

1、第第第8-8-8-1 1 1页页页第第八八章章 相量法相量法 8-1 8-1 复数复数 8-2 8-2 正弦量正弦量 8-3 8-3 相量法的基础相量法的基础 8-4 8-4 电路定理的相量形式电路定理的相量形式第第第8-8-8-2 2 2页页页 相量法相量法是研究正弦交流电路的稳态分析的是研究正弦交流电路的稳态分析的方法。方法。正弦稳态电路的激励为正弦量，响应为正弦稳态电路的激励为正弦量，响应为同频率的正弦量同频率的正弦量。 正弦信号容易产生、传送和使用，在电力正弦信号容易产生、传送和使用，在电力系统和电子电路中应用广泛。正弦信号是一种系统和电子电路中应用广泛。正弦信号是一种基本信号，任意规

2、律变化的复杂信号均可分解基本信号，任意规律变化的复杂信号均可分解成正弦规律变化的分量。成正弦规律变化的分量。 研究正弦电路的稳态分析具有重要的理论研究正弦电路的稳态分析具有重要的理论价值和实际意义。价值和实际意义。第第第8-8-8-3 3 3页页页) 1(j为为虚虚数数单单位位 代数形式：代数形式：a=a+jbabreima0 |a|1.1.复数的表示形式复数的表示形式jeaa| 8.1 复数复数几何形式：几何形式：三角形式：三角形式： a b|a|asin|cos ab baaarctg| 22 )sin(cos|jaa指数形式：指数形式：极坐标形式：极坐标形式：| aa第第第8-8-8-4

3、 4 4页页页复数代数形式和极坐标形式的转换：复数代数形式和极坐标形式的转换：abreima0 |a| aajbaa ab baaarctg| 22 jbaaaa| a b|a|asin|cos 用用计算器计算器实现复数代数形式和极坐标形式的转换实现复数代数形式和极坐标形式的转换第第第8-8-8-5 5 5页页页则则 a1a2=(a1a2)+j(b1b2)(1)(1)加减运算加减运算采用代数形式采用代数形式若若 a1=a1+jb1， a2=a2+jb2a1a2reim0图解法图解法2.2.复数运算复数运算(2)(2)乘除运算乘除运算采用极坐标形式采用极坐标形式若设若设 a1=|a1| 1 ，a

4、2=|a2| 2乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:2121)(212121 2121 aaeaaeaeaaajjj第第第8-8-8-6 6 6页页页2121)j(212j2j1221121 | e|e|e| | |211aaaaaaaaaa 除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。3.3.旋转因子旋转因子复数复数 ej =cos +jsin =1 areim0a ej j011 0e 21 90jje 1.1 180jj je 2190jje 第第第8-8-8-7 7 7页页页8.2 正弦量正弦量1.1.正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=imcos(w w

5、t+y y)tioy yt周期周期t (period)和频率和频率f (frequency) :频率频率f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期t ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：单位：hzhz，赫，赫( (兹兹) )单位：单位：s s，秒，秒tf1 正弦量为周期函数正弦量为周期函数波形图波形图第第第8-8-8-8 8 8页页页(1)(1)幅值幅值( (振幅、最大值振幅、最大值) )im(2)(2)角频率角频率2.2.正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3)初相位初相位y yim2 tf w w22 单位：单位： rad/s ，弧度，弧度 / 秒秒反映

6、正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点。反映正弦量的计时起点。 i(t)=imcos(w w t+y y)tioy yt第第第8-8-8-9 9 9页页页同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。ti0一般规定一般规定：|y y | 。y y =0y y = /2y y = /2第第第8-8-8-101010页页页作业：作业：7-1，7-2 8-3，8-4，8-5 下集预告：下集预告： 第八章第八章 相量法相量法第第第8-8-8-111111页页页8.2

7、 正弦量正弦量1.1.正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=imcos(w w t+y y)tioy yt周期周期t (period)和频率和频率f (frequency) :频率频率f ：每秒重复变化的次数。：每秒重复变化的次数。周期周期t ：重复变化一次所需的时间。：重复变化一次所需的时间。单位：单位：hzhz，赫，赫( (兹兹) )单位：单位：s s，秒，秒tf1 正弦量为周期函数正弦量为周期函数波形图波形图第第第8-8-8-121212页页页(1)(1)幅值幅值( (振幅、最大值振幅、最大值) )im(2)(2)角频率角频率2.2.正弦量的三要素正弦量的三要素(3)(3)初

8、相位初相位y yim2 tf w w22 单位：单位： rad/s ，弧度，弧度 / 秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点。反映正弦量的计时起点。 i(t)=imcos(w w t+y y)tioy yt一般规定一般规定：|y y | 。第第第8-8-8-131313页页页w w tu, iu iy yuy yij jo3.3.同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差设设 u(t)=umcos(w w t+y y u), i(t)=imcos(w w t+y y i)则则 相位差相

9、位差 ：j j = (w w t+y y u)- - (w w t+y y i)= y y u- -y y ij j 0， u超前超前i j j 角，或角，或i 滞后滞后u j j角角(u 比比i先到达最大先到达最大值值) ； j j 0， i 超前超前u j j 角角，或或u滞后滞后i j j 角角。规定：规定： |j j | (180)等于初相位之差等于初相位之差第第第8-8-8-141414页页页j j 0， 同相：同相：j j = ( 180o ) ，反相：反相：特殊相位关系特殊相位关系w w tu, iu i0w w tu, iu i0 j j = /2/2，正交正交w w tu,

10、iu i0u 领先领先 i /2第第第8-8-8-151515页页页例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201 ttitti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1(21 ttitti)30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )3(0201ttitti045)2(43 j j43452 j j 000135)105(30 j j000120)150(30 j j)105100cos(10)(02 tti )150100cos(3)(02 tti 两个正弦量进

11、行相位比较时应满足：同频率、两个正弦量进行相位比较时应满足：同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。同函数、同符号，且在主值范围比较。 第第第8-8-8-161616页页页4.4.有效值有效值l 周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义r直流直流ir交流交流ittirwtd)(20 triw2 电流有效电流有效值定义为值定义为均方根值均方根值物物理理意意义义第第第8-8-8-171717页页页l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=imcos(w w t+ )mm707. 02iiiii2 m 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与

12、最大值的关系：uuuu2 21mm 或或第第第8-8-8-181818页页页若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为u=220v，则其最大值为，则其最大值为um 311v；u=380v， um 537v。（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。最大值考虑。（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。）测量中，电磁式交流电压、电

13、流表读数均为有效值。（3 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。i,i, im注注第第第8-8-8-191919页页页由于同频正弦量相加仍得同频正弦量，因此只要由于同频正弦量相加仍得同频正弦量，因此只要求出初相位和有效值求出初相位和有效值( (或最大值或最大值) )即可。即可。变换变换相量相量（复数）（复数）相量结果相量结果反变换反变换相量运算相量运算（复数运算）（复数运算）正弦量正弦量（时间函数）（时间函数）正弦量运算正弦量运算待求正弦量待求正弦量正弦量正弦量复数复数 相量法的思想：相量法的思想：变换变换8.3 相量法的基础相量法的

14、基础第第第8-8-8-202020页页页构造构造复指数函数)j(e2)(ititayw1.1.正弦量的复数表示正弦量的复数表示相量相量) (cos2itiiyw设正弦电流设正弦电流tiiwyjjee2+j+1oyiwim旋转矢量wtimcos(wt+yi)sin(2j)cos(2iititiywyw)(re) cos(2tatiiiyw正弦量与旋转矢量一一对应正弦量与旋转矢量一一对应可用旋转矢量在可用旋转矢量在t=0时的静止矢量时的静止矢量来表示正弦量，即用来表示正弦量，即用复数表示。表示。第第第8-8-8-212121页页页相量表示正弦量的复数。表示正弦量的复数。)(cos2itiiywii

15、y2imiymi最大值相量最大值相量iiyiiiiy有效值相量有效值相量)(cos2utuuywuuuy相量的相量的模模表示正弦量的表示正弦量的有效值有效值相量的相量的幅角幅角表示正弦量的表示正弦量的初相位初相位相量只是用来表示正弦量，并不等于正弦量。相量只是用来表示正弦量，并不等于正弦量。第第第8-8-8-222222页页页已知已知例例试用相量表示试用相量表示 i, u1, u2 .v)150314sin(3 .537)v6014t311.1cos(3a)30314cos(4 .1412o1otuutia30100oiv60220o1uv120380o2u第第第8-8-8-232323页页页

16、在复平面上用有向线段表示相量的图在复平面上用有向线段表示相量的图iiiitiiyy)(cos2uuuutuuyyw)(cos22.2.相量图相量图 i u u ireim相量图可以形象地表示各相量图可以形象地表示各正弦量有效值和相位关系正弦量有效值和相位关系只有同频正弦量才能画在只有同频正弦量才能画在同一相量图中。同一相量图中。第第第8-8-8-242424页页页3.3.相量运算与正弦量运算的关系相量运算与正弦量运算的关系(1)(1)同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减故同频正弦量加减运算变成对应相量的加减运算。故同频正弦量加减运算变成对应相量的加减运算。)2(r)cos(2)2(r)cos(

17、2 j2222 j1111tteuetuueuetuuwwywyw)(2(r)22(r )2(r)2(r j21j2j1j2j121ttttteuueeueueeueeueuuuwwwwwu21uuu 第第第8-8-8-252525页页页例例v )60314cos(24)(v )30314cos(26)(o21 ttuttu也可借助相量图计算也可借助相量图计算v604 v 306o2o1 uuv )9 .41314cos(264. 9)()()(o21 ttututu60430621 uuureim301u9 .41ureim9 .41301u602uu46. 32319. 5jj 46. 6

18、19. 7j v 9 .4164. 9o 602u首尾相接首尾相接第第第8-8-8-262626页页页 )cos(2iiiitiiyyw 2re 2re tjtjejie idtddtdiwwwtjtjejite iti 2re d 2redwww微分运算微分运算:积分运算积分运算:ijdtdi wwjiidt(2)(2)正弦量的微分与积分正弦量的微分与积分正弦量微分、积分运算变成对应相量的乘、除运算。正弦量微分、积分运算变成对应相量的乘、除运算。第第第8-8-8-272727页页页1.1.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 0)(ti 0i 0)(tu 0u8.4 电路定理的相量形

19、式电路定理的相量形式kcl：kvl：若若v1读数为读数为3v，v2读数为读数为4v，v3读数为读数为8v，则，则v读读数为多少？数为多少？vv1v2v315v注：有效值不能直接相加减。注：有效值不能直接相加减。第第第8-8-8-282828页页页2.2.电阻元件电阻元件vcr的相量形式的相量形式时域形式时域形式相量形式相量形式iiriuii，相量模型相量模型)cos(2 itiiyw已知)cos(2 itririuyw则uir+- -同相位同相位r+- - u iur u相量关系相量关系iruu=ri u= iui u= i第第第8-8-8-292929页页页时域形式时域形式iul+- -相量

20、形式相量形式)cos(2 itiiw已知 )sin(2dd itlitiluyww则相量模型相量模型jw wl+- - u i相量关系相量关系iljuw3.3.电感元件电感元件vcr的相量形式的相量形式iiiy)90cos( 2itilywwu=w wli u= i +90 u超前超前i 90ui iliuw90iy第第第8-8-8-303030页页页时域形式时域形式相量形式相量形式)cos(2 utuuyw已知)sin(2dd utcutuciyww则相量模型相量模型iuc+- - u i+- -cj1相量关系相量关系icjuw14.4.电容元件电容元件vcr的相量形式的相量形式)90cos(2utcuywwuiuyucjiwi=w w cu i= u+90 ui uu滞后滞后i 90cuiw90uy第第第8-8-8-313131页页页5.5.独立源与受控源独立源与受控源vcr的相量形式的相量形式电压源电压源)cos(2susstuuywsussuuy电流源电流源)cos(2sisstiiywsissiiy受控源受控源控制量与受控量均写成相量形式，系数不变。控