Ch15函数的连续性

1、1.1集合集合1.2函数函数1.4无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.3函数的极限函数的极限1.5函数的连续性函数的连续性一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类三、连续函数的性质三、连续函数的性质 初等函数的连续性初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 1.5 1.5 函数的连续性函数的连续性1.1.函数的增量函数的增量0000(, )(,( ), ),.f xxxxxu xxu x 设函数在内有定义称为自变量在点的增量.)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy0 xy00 x

2、xx 0)(xfy x 0 xx0 xx y y )(xfy 一、连续函数的概念一、连续函数的概念(0)x ? 0 , 0 呢是否有时当yx( )f x对任意函数是否都有：思考：0 xxx0 xy)(0 xf)(0 xxfyxo)(xfy等价的形式1 定义00 ( ) (, ),yf xxu x设函数在点的某邻域内有定义若, 0 lim0yx连续点的连续处在点则称函数fxxxf- - , )( 00 )()(lim 00 xfxfxx1. 注: )( 0连续处在点xxf用“”语言来表达 | )()(| , | ,0 , 0 00 xfxfxx有时当对2.2.连续的定义连续的定义2.,)()(l

3、im00无关是否存在或值为多少与 xfxfxx首先必须连续处在点 0 x. )(0有定义在点xxf )( xf而. )()(lim (3); )(lim (2); )( (1)0000 xfxfxfxxxfxxxx存在有定义在列三点：连续，必须同时满足下处在点 )( 0 xxf3.间断点的为的连续点，则称不是而有定义内的某邻域或某去心邻域在点函数如果fxfxxf000 , 4.: )(0处右连续在xxf )()(lim 00 xfxfxxxyo0 x)(0 xf: )(0处左连续在xxf )()(lim 00 xfxfxx处连续在 )(0 xxf处右连续在 )(0 xxf且左连续0( ) (

4、, f xa x若 函 数在内 有 定 义 ， 且定理1，的每一点连续在区间若 )( ixf2. 定义.)(, i )( icxfxf记为连续在区间则称. , , 在右端点左连续且在左端点右连续每一点连续. , 也可以是无限的区间可以是有限的区间i 注内连续”指在区间“在区间为闭区间时当区间 , iii . 1 例. )()(在其定义域内是连续的有理分式函数xqxpmn就有只要对于有理分式函数, 0)( , )()()( (1)0 xqxqxpxfmmn )()(lim 00 xfxfxx. ) , ( cos)( sin)( (2)内连续都在区间和函数xxfxxf) sin ( :的连续性只

5、证证x. ) , ( sin , 内是连续的在区间函数所以xy由于),( x 2cos2sin2xxx于是 0lim 0yxxxxysin)sin( |x2cos2sin2|xxxy2sin2x例例2 2.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xx

6、fxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf例例4 4.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a考察函数的图形：考察函数的图形：xysin 图图1图图2几何上易见图几何上易见图1- 2 都是连续不断的曲线都是连续不断的曲线!00limxxxx 00

7、limxxxx 000limsinsin()xxxxf xyoxxy yx xy 00limxxxx 00lim( )()xxf xaf x连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.总结：:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中

8、只如果上述三个条件中只xfxxxf二、函数间断点及其分类二、函数间断点及其分类二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类oxy112xy 1xy2 oxy112xy 1xy2 oxyoxyyx 1yx1/yx yx 图图3图图41lim( )(1)xf xf (1)f 不不图图500lim( )lim( )xxf xf x 图图60lim( )xf x 观察函数的图形xytan 图图72lim( )xf x 2lim( )xf x oyx1sinyx 图图80lim( )xf x 不不图图3- 8曲线在某点断开了曲线在某点断开了!0( ):yf xx 函函数数的的图图形形在在点点 处处不

9、不断断开开必必须须且且只只需需满满足足的的三三个个条条件件;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 1 1 可去间断点可去间断点0000,( )lim().()xxf xxxf xf xaf x如果或在处，如果或在处，则称点为的则称点为的定义定义可去间断点可去间断点无无oxy112xy 1xy2 oxy112xy 1图图3图图41lim( )(1)xf xf (1)f 不不1lim( )2xf x 但但xy2 如在图如在图3，4的情形的情形, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xx

10、xxxxfoxy112注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. 跳跃间断点跳跃间断点0000 ()()( ),( ).,f xf xf xxxf x 如果在点处左 右极限都存在 但如果在点处左 右极限都存在 但则点为则点为跳跃间断点跳跃间断点称称oxyyx 1yx图图500lim( )1lim( )0 xxf xf x (0 )(0 )ff (0 )1,(0 )0ff 0.x 为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点与与可去间断点可去间断点统称为统称为第一类间断点第一类间断点. .特

11、点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x3 3 第二类间断点第二类间断点00( ),( ).f xxxf x如果在点处的左、右极限至少有一个不存如果在点处的左、右极限至少有一个不存第第在在则称点 为函数则称点 为函数二类间断点二类间断点的的oxy1/yx yx 图图60.x 为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点(0 )0,f (0 ),f 图图702lim( )xf x 02lim( )xf x oyx1sinyx 图图80lim( )xf x 不不0.x 为第二类间断点为第二类间断点2.xk 为第二类间断点为第二类间断点.也称也称无穷间断点无穷间断点.也称也称

12、振荡间断点振荡间断点三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考题思考题)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00

13、 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.2、但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续1 1、 指指出出)1(22 xxxxy在在0 x是是第第_ _ _类类间间断断点点； 在在1 x是是第第_ _ _类类间间断断点点； 在在1 x是是第第_ _ _类类间间断断点点 . . z 思考题思考题定理定理2 2（连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算）000( ),( ),( ) ( )( ),( )(

14、 ),( ()0)( ).f xg xxf xf xg xf xg xg xg xx若函数在点处连续 则若函数在点处连续 则在点处也连续在点处也连续三、连续函数的性质三、连续函数的性质 初等函数的连续性初等函数的连续性例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx连续函数的性质连续函数的性质定理定理3 3（反函数的连续性）（反函数的连续性）p6的的定理定理1:1( )( ) ,( )yf xdxfyf d 若若在在 内内严严格格单单调调增增加加( (或或减减少少) )，则则且且在在内内也也是是严严格格增增加加( (

15、或或减减少少) ). .注意注意: : 定理对开区间定理对开区间, ,无穷区间均成立无穷区间均成立. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xyarctan ,arccot,).yx yx 在(上单调且连续在(上单调且连续反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.又例如，又例如，ln0,),yx在(内单调增加且连续在(内单调增加且连续log(0,0)0,),ayx aa在(内单调且连续在(内单调且连续定理

16、定理（复合函数的连续性复合函数的连续性）设函数设函数y=f (u)及及u= (x)构成复合函数构成复合函数y=f (x).则复合函数则复合函数f (x) 在点在点x0处连续处连续. .00000lim( )(),lim( )()xxuuxxuf uf u若若注意注意定理定理5 5是复合函数求极限（见是复合函数求极限（见p27p27定理定理15）的）的特殊情况特殊情况. .例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy证证0( ),f uuu在点连续00,( )().uuf uf u使当时 恒有成立000

17、lim( )(),xxxxu又, 0, 0 对对于于00( )().xxuu恒有成立, 0, 0 0,xx使当时综合两步综合两步: :00,0,xx使当时00( )() ( ) ()f uf ufxfx.成立成立 00lim ( )( ()xxfxfx0lim( ).xxfx注意注意).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若意义意义极限符号可以与函数符号互换，即极限符号可以与函数符号互换，即（see p40see p40定理，定理定理，定理5 5是该结论的特殊情况）是该结论的特殊情况）00lim ( )lim(

18、)xxxxfxfx 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求xxx10)1ln(lim 原式原式.1 )1(limln10 xxx eln 解解例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx ex:ex:0(1)1lim(0).xxx 求求说明说明: 当当时时, , 有有0 x ln(1) xx 1 xex (1)1 (0)xx 解解三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.

19、)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在 初等函数的连续性初等函数的连续性常数函数在常数函数在(-,+ )内内是连续的是连续的.基本初等函数在其定义域内都是连续的基本初等函数在其定义域内都是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .注意：定义区间是指包含在定义域内的区

20、间注意：定义区间是指包含在定义域内的区间. .例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.exex 求求3sin0lim(12 ).xxx 解解说明说明 若若0lim ( )0 ,xxu x 则有则有 0( )lim 1( )v xxxu x 0lim ( ) ,xxv x e 0lim ( )ln 1( )xxv xu x e 0lim ( )