复变函数第10讲

1、主要内容：主要内容：1、复常数项级数及其敛性、复常数项级数及其敛性2、幂级数及其收敛半径、幂级数及其收敛半径3、函数的泰勒展开、函数的泰勒展开4、函数的罗朗展开、函数的罗朗展开第四章第四章 级数级数1. 复数列的极限复数列的极限n00limnnnnnnnaibaaibnnnanaa 设为一复数列，为一确定的复数。若对于任意给定的，都存在正整数，使得当时，恒有，则称时的极限为 ，记为。此时也称数列收敛于a。不收敛的数列称为发散数列不收敛的数列称为发散数列1复数项级数复数项级数定理一（复数列与实数列的收敛性关系）：定理一（复数列与实数列的收敛性关系）：nlimlim limnnnnnaaabb，即

2、：一个复数列的收敛性等价于与其实部、虚部即：一个复数列的收敛性等价于与其实部、虚部构成的二个实数列的收敛性。构成的二个实数列的收敛性。等式等式证明：主要依据在于不证明：主要依据在于不nnnnnnbababa22,220n0nn ()()nnnnaaaabb这样，若，则对于任给的， 存在当时，有, ,lim, lim.nnnnnnaabbaabb即22lim, lim, 0, , ()()2 , lim.nnnnnnnnnnnaabbnnnaabbaaabba反之，若则存在使得时，即0)21 ( , 0ninine例：显然，有例：显然，有222221121211111 01ninninninin

3、nni 11()nnnnnnnnaibaib 设=为一复数列，表达式 称为无穷级数。12nnns其前 项和：称为级数的部分和。nlimsnnnssss 如果部分和数列 收敛， ，则称级数收敛，并且极限称为级数的和。如果数列 不收敛，则称级数发散。11()nnnnnaib定理二 复级数收敛11,nnnnab实级数皆收敛111nnnnnnaib且在收敛情况下 111nnnnkkknnkkksaibi证明关键：再由定理一关于数列极限存在的充要条件便可得到结论。再由定理一关于数列极限存在的充要条件便可得到结论。复习：常见实级数敛散性判别法：复习：常见实级数敛散性判别法：1）比较法，）比较法，2）比值法

4、（达朗贝尔判别法），）比值法（达朗贝尔判别法），3）交错级数的莱布尼兹判别法）交错级数的莱布尼兹判别法1lim0nnnn推论 收敛的必要条件为即：收敛级数一般项极限为即：收敛级数一般项极限为0。11nnn 1n 1|nnnn=定理三 若收敛，则定收敛，且不等式 成立。则则证明：记证明：记,nnniba 22()() , nnnnnnaabb也也收收敛敛收收敛敛，从从而而再再由由比比较较法法知知111,nnnnnnba11nnnn 如果收敛，那么称级数为绝对收敛。非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。22nnnnnn 1nnn 1n 1nnnn 1n 1n 1|a |b |, ab ab ab

5、实际上，由于所以当与绝对收敛时，也绝对收敛。结合上面定理三可知， 也绝对收敛的充要条件是与绝对收敛 。10111(8 )(-1)1(1)1; (2) ; (3) .!2nnnnnniiinnnn例 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ nn 1n 111an=解：( ) 因=发散，所以原级数发散。 12nnin例 ：讨论级数的绝对、条件收敛性。11111,nnnninnn解：首先调和级数，发散。nn(8i82= ,nn!)( ) 因根据正项级数比值审敛法知，!原级数绝对收敛。nnn 1n 1(-1)13n2=( )因条件收敛， 因也收敛，故原级数条件收敛。1sin2nnn同理， 也收敛。1nnin

6、从而复级数收敛，且为条件收敛。nninnnininn2sin2cos2sin2cos1cos1112246nnn 注意到 ，是交错级数，根据莱布尼兹判别法知级数收敛。对于原级数，分离一般项实、虚部，得对于原级数，分离一般项实、虚部，得12112( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnfzdfzf zfzfzszf zfzfz 设为一复变函数序列，其中各项在区域内有定义。称为复变函数项级数。称为级数的部分和。00000,lim()()()nndzszs zzs z 如果对于 内的某一点极限存在，那么我们称上面级数在 收敛，称为它的和。( ):dzs z 如果级数在 内处

7、处收敛，那么它的和一定是 的一个函数,)(00nnnzzc为为复复幂幂级级数数的的一一般般表表达达式式0,ncz其中 为复常数称为幂级数的中心。0 nnnc z为标准型幂级数。为了方便，我们通常讨论标准幂级数。121 ( )( )( )( )( )( )nnns zf zfzfzs zfz称为级数的和函数。关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：定理一定理一 （阿贝尔引理）（阿贝尔引理）0nnnc z对于幂级数，有如下结论：001zzzz，只只要要为为收收敛敛点点，则则对对任任意意点点）若若级数皆收敛且绝对收敛。级数皆收敛且绝对收敛。00

8、2zzzz，只只要要为为发发散散点点，则则对对任任意意点点）若若级数皆发散。级数皆发散。z0收敛点收敛点。z0发散点发散点证明：证明：1）00zzz设为收敛点，则当，有000000nnnnnnnnnnnzc zczczqz记为0010nnnnqc zc z于是。另外，因收敛，故。0mnnc z因而（收敛数列必有界！）（收敛数列必有界！）至此，有至此，有00nnnnnc zmq因右端收敛，由比较法，左端也收敛。因右端收敛，由比较法，左端也收敛。1）证毕）证毕至于至于2），实际上为），实际上为1）的逆否命题，也成立。）的逆否命题，也成立。阿贝尔定理说明：阿贝尔定理说明： 以原点为心，过收敛点作圆周

9、，则圆内点以原点为心，过收敛点作圆周，则圆内点皆收敛且绝对收敛。皆收敛且绝对收敛。 以原点为心，过发散点作圆周，则圆外点以原点为心，过发散点作圆周，则圆外点皆发散。皆发散。01()nnnczz 问题：对于级数，阿贝尔定理的结论如何叙述？2. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径 根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不外乎以下三种可能：外乎以下三种可能：1）处处收敛，即收敛点集为整个复平面。）处处收敛，即收敛点集为整个复平面。2）除）除z=0外处处发散。外处处发散。3）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数 发散的正实数。

10、发散的正实数。下面对情况下面对情况 3 3）作进一步的分析。）作进一步的分析。 我们考虑正实轴上的收敛点和发散点。 首先，收敛点和发散点不会相间分布，收敛点以左的为收敛点，发散点以右的为发散点。据此，动点从原点此，动点从原点出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇到发散点。到发散点。收敛点集与发散点集有唯一的分界点，收敛点集与发散点集有唯一的分界点，记为记为r，则则, zr当时 级数收敛且绝对收敛；, zr当时 级数发散。 综上所述，便得如下结论：幂级数的收敛范围是以原综上所述，便得如下结论：幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域。幂级数在圆内收敛

11、，在圆外发散。此点为中心的圆域。幂级数在圆内收敛，在圆外发散。此圆称为收敛圆，圆的半径圆称为收敛圆，圆的半径r r称为幂级数的收敛半径。在圆称为幂级数的收敛半径。在圆周上是收敛还是发散不能作出一般的结论，要具体问题周上是收敛还是发散不能作出一般的结论，要具体问题具体分析。具体分析。010()nnnczzzz注：以上结论对也成立，只不过收敛 圆的圆心位于点。解：级数的部分和：解：级数的部分和：zzzzsnnn11111110, 1nnzzsz当时，因而；11, nzz 当时，因而级数发散。011111nnzzszrz 综上所述，幂级数，当时收敛，和函数； 当时发散。 收敛半径。01nnz例 ：考

12、察幂级数的收敛范围，并求和函数。11nnnnnnc zcz引理： 与 有相同的收敛半径。1111rrrrrrrr 证明：设二者收敛半径分别为 、 ，则因绝对收敛本身定必收敛，故有。若，则说明存在这样的点：位于收敛圆盘内，但不绝对收敛，矛盾。故此。1nnncz 注意到为一实幂级数，有收敛半径公式，故有11:nnnc zr定理：幂级数的收敛半径为，11limnnncc其中 为： ）（比值法）；2) limnnnc （根值法）。例例2：求下列幂级数的收敛半径：求下列幂级数的收敛半径1(1)!1) !, (1),0!nnncnn znrcn 112) , 0,!1nnnczrncn 313313) ,

13、 1,1(1)nnncznrncn 1114) () , ,333nnnnzicr用根值法： 3zizi（注：此时收敛圆盘在点，即）5) , 1,1iinnnne zcer 练习：求下列幂级数的练习：求下列幂级数的 收敛半径：收敛半径：1)(cosnin z）nznich)()2nnnnnnnzbazbza)(3031221302021120011000zbabababazbababazbababazbzannnn)()()()()(（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数同次幂系数）注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立。但注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立。但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径。的较小一个收敛半径。幂级数的加、减、乘法幂级数的加、减、乘法运算规则：运算规则：00|( ), |( )|( )| ( ) ( )nnnnnnzrf za zzrg zg zrzrf g za g z 在实际应用中，更为重要的是所谓代换（复合）运算，就是：如果当时，又设在内解析且满足，那么当时，。 此运算在把函数展开成幂级数时有着广泛的应用0( ) nnns zc zr定理 设幂级数的 收敛半径为