导数与微分123316

1、november 14, 202111、导数的概念；、导数的概念；2、函数的和、差、积、商的求导法则；、函数的和、差、积、商的求导法则；3、反函数的导数；复合函数的求导法则；、反函数的导数；复合函数的求导法则；4、初等函数的求导法则；双曲函数与反双曲函数的、初等函数的求导法则；双曲函数与反双曲函数的5、高阶导数；、高阶导数；6、隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数；、隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数；7、函数的微分及其在近似计算中的应用。、函数的微分及其在近似计算中的应用。导数；导数；第二章第二章 导数与微分导数与微分( derivative and differentiati

2、on ) november 14, 202121、理解导数和微分的定义，了解导数与微分的几何意义；、理解导数和微分的定义，了解导数与微分的几何意义；2、熟练函数可导与连续的关系，会用导数描绘一些物理量；、熟练函数可导与连续的关系，会用导数描绘一些物理量；3、掌握可导函数的和、差、积、商的求导运算法则；、掌握可导函数的和、差、积、商的求导运算法则；4、掌握复合函数的求导法则和反函数的求导法则；、掌握复合函数的求导法则和反函数的求导法则；5、熟悉基本初等函数的求导公式及初等函数的求导问题；、熟悉基本初等函数的求导公式及初等函数的求导问题；6、了解高阶导数的概念，会求一些简单函数的高阶导数；、了解高

3、阶导数的概念，会求一些简单函数的高阶导数；7、熟悉隐函数求导法、对数求导法和由参数方程所确定的函、熟悉隐函数求导法、对数求导法和由参数方程所确定的函8、熟悉微分的基本公式、运算法则和一阶微分形式不变性、熟悉微分的基本公式、运算法则和一阶微分形式不变性.数的求导法；数的求导法；基本要求：基本要求：november 14, 20213质点运动的路程质点运动的路程 s 是时间是时间 t 的函数：的函数：s=s(t).从时刻从时刻 t 到到 t+ t 时时间段内间段内，质点走过的路程为：，质点走过的路程为：()( )ss tts t在时间间隔在时间间隔t内，质点运动的平均速度为内，质点运动的平均速度为

4、:1.变速直线运动某一时刻的瞬时速度问题变速直线运动某一时刻的瞬时速度问题 ( velocity ) 一、引例：一、引例：第一节第一节 导数概念导数概念november 14, 20214ttsttstsv )()(0()( )( )limts tts tvv tt v平均速度平均速度与与t的取值有关，一般不等于质点在时刻的取值有关，一般不等于质点在时刻 t 的的极限极限 t0,质点在时刻质点在时刻 t 的瞬时速度的瞬时速度( instantaneous velocity ): v速度速度v，但，但t愈接近于愈接近于 t 时刻的速度时刻的速度 v( t )。因此。因此,取取的值愈小，的值愈小，

5、november 14, 20215割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线( tangent lines ) 问题问题设光滑曲线设光滑曲线 y= f (x) ,定定义曲线义曲线m点的切线点的切线:作割线作割线mn,并令点并令点n沿曲线沿曲线趋向于点趋向于点m,此时割线此时割线mn绕点绕点m旋转旋转,而趋向极限位而趋向极限位置置mt,直线直线mt称为曲线称为曲线c在点在点m处的处的切线切线.tmnnovember 14, 20216 t0 xxoxy)(xfy cnm).,(),(00yxnyxm设设的斜率为的斜率为割线割线mn00tanxxyy ,)()(00 x

6、xxfxf ,0 xxmnc沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线mt.)()(limtan000 xxxfxfkxx november 14, 202170,x xy定义定义0 x设函数设函数在点在点的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，( )yf x当自变量当自变量 x 在在 x0 处取得增量处取得增量x (点点 x0 + x 仍在该邻域仍在该邻域内内) 时，相应地函数时，相应地函数 y 取得增量取得增量 y =f ( x0 + x )- -f (x0);二、导数的定义二、导数的定义0 x 如果如果y 与与x 之比当之比当时的极限存在，则称函数时的极限存在，则称函数( )yf x在点在点0

7、 x处可导，并称这个极限为函数处可导，并称这个极限为函数( )yf x在点在点0 x处的导数，记为处的导数，记为0 x xdydx0( ),x xdf xdx或或即即xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000november 14, 20218.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx november 14, 20219the definition of derivativethe derivative of the function f (x) atxais defined as0()( )( )lim

8、,hf ahf afahprovided the limit exists. if the limit exists, we say thatf is differentiable at .xanovember 14, 202110关于导数的说明：关于导数的说明：1）函数）函数 f (x) 在点在点 x0 的导数是因变量在点的导数是因变量在点x0处的变化处的变化 率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度慢程度.就称函数就称函数 f (x) 在开区间在开区间 i 内可导内可导 . ( )yf x2）如果函数）如果函数在开区间在开区间 i 内的每点

9、处都可导，内的每点处都可导，,xi3）对于任一）对于任一都对应着都对应着 f (x)的一个确定的导数值的一个确定的导数值,这在区间这在区间 i 上重新定义了一个函数，这个函数叫上重新定义了一个函数，这个函数叫做原来函数做原来函数 f (x) 的导函数，记作的导函数，记作,y( ),fxdydx( ).df xdx或或november 14, 2021110()( )limxf xxf xyx 0()( )( )lim.hf xhf xfxh.)()(00 xxxfxf 而而用定义形式即用定义形式即november 14, 202112右导数右导数( derivative on the righ

10、t ):4) 单侧导数单侧导数左导数左导数( derivative on the left ):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx )(xf ba,)(af 如果如果在开区间在开区间内可导，且内可导，且及及)(bf )(xf ba,都存在，就说都存在，就说在闭区间在闭区间上可导上可导.november 14, 202113)(xf0 x)(0 xf 5) 函数函数在点在点处可导处可导左导数左导数和右导数和右导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.例例:

11、00( ),( ),( ),xxxf xxxx设函数设函数讨论在点讨论在点 x0 的可导性。的可导性。对这类函数导数的存在性讨论可通过其左右导数对这类函数导数的存在性讨论可通过其左右导数来实现。来实现。november 14, 202114xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000,)(0存在存在xf 000()()limxf xxf xx 000()()limxxxxx 且,)(0存在存在xf 则则)(xf在在点点0 x可可导导，00()(),fxfxa.)(0axf 且且若若november 14, 202115三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:);(

12、)()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即求函数求函数 f (x) = c (c为常数为常数) 的导数的导数. november 14, 202116例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 november

13、14, 202117例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x november 14, 202118例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee november 14, 202119例例5 5.)1,

14、0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa november 14, 202120例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfynovember 14, 202

15、121四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy t0 xm1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy )(0 xf 表示曲线 ( )yf x在点00(,()m xf x处的切线的斜率，即0()tan,fx(为倾角)november 14, 202122解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk121 xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582

16、yx即即率，并写出在该点处的切线方程和法线方程率，并写出在该点处的切线方程和法线方程 。例例7 求等边双轴线求等边双轴线在点在点处的切线斜处的切线斜1yx1,22november 14, 2021232.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的变化率为物体的瞬路程对时间的变化率为物体的瞬.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的变化率为电流强度电量对时间的变化率为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的变化率为的变化率为电流对

17、时间的变化率为电磁感应电流对时间的变化率为电磁感应.lim)(0dtdititt 时速度时速度物体的线物体的线(面面,体体)密度密度.november 14, 202124五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x november 14, 202125例如例如xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点

18、的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 但是但是, , 连续函数未必可导连续函数未必可导.00()()fxfx1 函数函数 f (x) 连续，若连续，若则称点则称点 x0 为为函数函数 f (x) 的角点，函数在角点处不可导的角点，函数在角点处不可导 . november 14, 2021260000()()limlim,xxf xxf xyxx 2 设函数设函数 f (x) 在点在点 x0连续，但连续，但称函数称函数 f (x) 在点在点x0 有无穷导数有无穷导数 .（此时函数不可导）（此时函数不可导）31xyxy01例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 xnovember

19、14, 2021270(),fx 3 若若且在点且在点 x0 的两个单侧导数符号的两个单侧导数符号相反，则称点相反，则称点 x0 为函数为函数 f (x) 的尖点（不可导点）的尖点（不可导点）. xyoxy0 xo)(xfy )(xfy november 14, 202128例例8 8 讨论函数讨论函数1sin,0( ),0,0 xxf xxx在在 x = 0 处的连续性与可导性处的连续性与可导性 . 解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxxnovember 14, 202129.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffxnovember 14, 202130例例9 9 讨论函数讨论函数21sin,0( ),0,0 xxf xxx在在 x = 0 处的连续性与可导性处的连续