电动力学预备知识

1、电动力学electrodynamics主讲：主讲： 姜姜 孟孟 瑞瑞引引 言言 introduction 电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规律以及它和带电物质之间的相互作用。运动规律以及它和带电物质之间的相互作用。 电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立maxwells equations。讨论稳恒电磁场、电磁波。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。学习电动

2、力学课程的主要目标：学习电动力学课程的主要目标： 1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；磁场性质和时空概念的理解； 2） 获得本课程领域内分析和处理一些获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础；打下基础； 3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。的学习，更深刻领会电磁场的物质性。以电动力学为基础的应用领域：以电动力学为基础的应用领域：在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。 例如电力系统、凝

3、聚态物理、天体物理、粒子例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、x x射线和射线和射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。生产实践和科学实验都有重大的意义。学习参考书：学习参考书：1、电

4、动力学、电动力学 郭硕鸿郭硕鸿 编著编著2、电动力学、电动力学 汪德新汪德新 编著编著 科学出版社科学出版社3、电动力学、电动力学 吴寿煌吴寿煌 丁士章丁士章 编编 西安交通大学出版社西安交通大学出版社 4、经典电动力学、经典电动力学 蔡圣善蔡圣善 朱朱 耘耘 编著编著 复旦大学出版社复旦大学出版社预备知识预备知识 preliminary nowledge主要内容：主要内容：一、矢量代数一、矢量代数二、矢量分析基础二、矢量分析基础（梯度、散度、旋度）三、几个重要定理及公式三、几个重要定理及公式一、矢量代数一、矢量代数1. 矢量的加、减矢量的加、减:矢量的加、减，满足平行四边形法则。矢量的加、减

5、，满足平行四边形法则。以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。就是这两个矢量的和或差。如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和的和(差差)的分量等于这两个矢量对应分量的和的分量等于这两个矢量对应分量的和(差差)。设设123aaaaijk，123bbbbijk，则则112233()()()ababababijk本书中直角坐标的三个单位矢量分别用本书中直角坐标的三个单位矢量分别用x , y , z 表示，表示，通用方法是通用方法是 再加上表示坐标轴名称的角标。

6、再加上表示坐标轴名称的角标。2. 矢量的乘法矢量的乘法:（1）两个矢量的点乘）两个矢量的点乘两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。设设cos( , )cos( , )aba ba ba ba b，123xyzbeb eb eb，则则1231231 1223 3() ()xyzxyza ea ea ebeb eb eaba ba ba b如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。123xyza ea ea

7、ea一、矢量代数一、矢量代数（2）两个矢量的叉乘）两个矢量的叉乘两个矢量的叉乘，乘积是一个矢量，称为矢积或两个矢量的叉乘，乘积是一个矢量，称为矢积或外积。其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边外积。其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。形的面积，方向满足右手螺旋法则。sin( , )aba ba babab一、矢量代数一、矢量代数则则123123123123() ()xyzxyzxyza ea ea ebeb eb eeeeaaabbbab设设123xyzbeb eb eb123xyza ea ea ea，由以上计算公式可以得到：由以上计算公式可以得到： abb a

8、一、矢量代数一、矢量代数3. 三个矢量的乘积三个矢量的乘积:（1）三个矢量的混合积）三个矢量的混合积三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。矢量为棱的平行六面体的体积。，则则三矢量的混合积一定是先叉乘，后点乘。否则无意义。三矢量的混合积一定是先叉乘，后点乘。否则无意义。123xyzc ec ec ec123123123()aaabbbcccab c注意注意:设设123xyzbeb eb eb123xyza ea ea ea，()ab c一、矢量代数一、矢量代数利用行列式的性质，可以证明以下结论：利用行列式的性质

9、，可以证明以下结论：()()()()()() ab cbcacabacbbaccb a（混合积）（混合积）（2）三个矢量的叉乘）三个矢量的叉乘()?abc()abc，必定处于，必定处于a和和垂直于矢量垂直于矢量()abb 所决定的平面内所决定的平面内，可以用可以用a和和b的线性组合来表示。的线性组合来表示。acbab一、矢量代数一、矢量代数一、矢量代数一、矢量代数计算公式为：计算公式为：()()()cabab（三个矢量的叉乘）（三个矢量的叉乘）注意：注意：()() abccab()()()abcc a bb c a即：即：三个矢量的叉乘，可以表示为括号内两矢量的线性组合，括三个矢量的叉乘，可以

10、表示为括号内两矢量的线性组合，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。“远交近攻远交近攻”形象地记做：形象地记做：c bc a在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在任何时刻，该区域上每一点都有确定的量的，在任何时刻，该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间电荷在其周围空间激发的电场，电流在

11、周围空间激发的磁场等。激发的磁场等。二、矢量分析基础二、矢量分析基础场的概念：场的概念：（梯度、散度和旋度的概念）（梯度、散度和旋度的概念）撇开物理含义，若一个量是空间坐标和时间的函撇开物理含义，若一个量是空间坐标和时间的函数，则这个量叫做场。数，则这个量叫做场。 如果某个物理量是标量，空间每一点都对应如果某个物理量是标量，空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如电势场、温度场等。 如果某物理量是矢量，空间每一点都存在着如果某物理量是矢量，空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、它的大小

12、和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。速度场等。 若场中各点处的物理量与时间无关，就称为若场中各点处的物理量与时间无关，就称为恒定场。恒定场。 若物理量与坐标无关，就称为均匀场。若物理量与坐标无关，就称为均匀场。 二、矢量分析基础二、矢量分析基础（1）方向导数）方向导数方向导数是标量函数方向导数是标量函数变化率，它的数值与所取变化率，它的数值与所取( )x在一点处沿某方向在一点处沿某方向le的方向有关。在不同的方向上的方向有关。在不同的方向上/ l的值是不同的。的值是不同的。1. 标量场的梯度标量场的梯度:(gradient of scalar field)的空间的空间le/ l由于从

13、一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的（2）梯度）梯度方向导数有无穷多个。方向导数有无穷多个。二、矢量分析基础二、矢量分析基础ne设等势面的法线方向为设等势面的法线方向为，由几何关系可知，电势沿等势，由几何关系可知，电势沿等势面的法线方向的方向导数最大，等于面的法线方向的方向导数最大，等于/ n。由此引入梯度。由此引入梯度的概念。记作：的概念。记作：gradnen注意：注意：梯度是一个矢量，其大小为最大梯度是一个矢量，其大小为最大的空间变化率，方向指的空间变化率，方向指向标量增向标量增pp1p2nele等值面 等值面1c2c加最快的方向。

14、所以说，标量场的梯度是一个矢量场。加最快的方向。所以说，标量场的梯度是一个矢量场。二、矢量分析基础二、矢量分析基础增加的方向。增加的方向。它指向它指向（3）任意方向的方向导数与梯度的关系：）任意方向的方向导数与梯度的关系：是等值面是等值面ne1c上上p点法线方向单位矢量。点法线方向单位矢量。le表示过表示过p2 点的任一方向。点的任一方向。显见，当显见，当210 , 0 pppp .cosnl 时，时，所以所以coslnpp1p2nele等值面 等值面1c2c二、矢量分析基础二、矢量分析基础该式表明：该式表明：cosgradnlleeelnndgraddgraddle l l由此不难得到：由此

15、不难得到：这是标量场微分的计算公式。这是标量场微分的计算公式。即：即：le方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投影。方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投影。（4）在直角坐标系中梯度的计算公式：）在直角坐标系中梯度的计算公式：gradxyzeeexyz二、矢量分析基础二、矢量分析基础2. 矢量场的散度矢量场的散度:（divergence of vector field）设闭合面设闭合面s所包围的体积为所包围的体积为v表示平均单位体积内所发出的场线的条数。表示平均单位体积内所发出的场线的条数。0v 只包围一点时，上式的极限称为矢量场只包围一点时，上式的极限称为矢量场 f 在该点的散度。在该点的散

16、度。，则，则而而 可见，散度就是空间某点处单位体积所发出的场线的条数。可见，散度就是空间某点处单位体积所发出的场线的条数。（1）概念：）概念：当当vsdsf二、矢量分析基础二、矢量分析基础（2）在直角坐标系中散度的计算公式：）在直角坐标系中散度的计算公式：divyxzfffxyzf（3）积分变换式）积分变换式高斯定理高斯定理（gausss theorem）它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。围体积的体积分，反之亦然。vvddivdsfsf二、矢量分析基础二、矢量分析基础3. 矢量场的旋度矢量场的旋度:设闭合曲线设闭合曲线

17、l所围面积为所围面积为s，则矢量场，则矢量场 f 沿有向闭合曲线沿有向闭合曲线（1）概念：）概念：（rotation of vector field）l的环流为的环流为dlfl，设想将闭合曲线缩小到空间某一点，设想将闭合曲线缩小到空间某一点附近，那么以闭合曲线附近，那么以闭合曲线l为界的面积为界的面积 逐渐缩小，逐渐缩小，s也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作ldlfssl0dlimlf二、矢量分析基础二、矢量分析基础即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭

18、合曲线为界的面积法线方无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向向 ，ne为矢量场为矢量场 f 的旋度。且规定的旋度。且规定矢量场的旋度是矢量，其方向与矢量场的旋度是矢量，其方向与dl 的环绕的环绕方方向构向构成右手螺旋关系。成右手螺旋关系。ne的方向与的方向与dl 的环绕方的环绕方向构成右手螺旋关系。向构成右手螺旋关系。为此定义为此定义所以：所以：nsesdlimrotl0lff二、矢量分析基础二、矢量分析基础（2）在直角坐标系中旋度的计算公式：）在直角坐标系中旋度的计算公式：（3）积分变换式）积分变换式斯托克斯定理斯托克斯定理（stokes theorem）rotxyzxyzeeexy

19、zffff它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。界的任意曲面的面积分，反之亦然。nseslimd)(rotd0slsflf二、矢量分析基础二、矢量分析基础4. 算符算符:在直角坐标系中，在直角坐标系中，xyzeeexyz 算符是一个矢性微分算符，在不同坐标系中形式不同。算符是一个矢性微分算符，在不同坐标系中形式不同。所以，有所以，有()xyzeeexyz同样，同样，divffrotffgradxyzeeexyz二、矢量分析基础二、矢量分析基础1. 定理定理:三、定理及公式三、定理及公式（1）标量场的梯

20、度必为无旋场）标量场的梯度必为无旋场()0 （2）矢量场的旋度必为无散场）矢量场的旋度必为无散场()0 f（梯度的旋度恒等于（梯度的旋度恒等于0）（旋度的散度恒等于（旋度的散度恒等于0），则必存在一个矢量场，则必存在一个矢量场 a ，（4）无散场可由一个矢量场的旋度来表示。即：）无散场可由一个矢量场的旋度来表示。即：0f fa成立。成立。（3）无旋场可由一个标量场的梯度来表示。即：）无旋场可由一个标量场的梯度来表示。即：0f，则必存在一个标量场，则必存在一个标量场 f使使成立。成立。如果如果如果如果使使三、定理及公式三、定理及公式2. 公式公式: （ 附录附录p.343）() ()() fff()() fff（1）先根据）先根据算符的微分特性，依次将算符的微分特性，依次将它作用到每一个场它作用到每一个场量上，并标上角标。即：将表达式写成几项微分之和。量上，并标上角标。即：将表达式写成几项微分之和。()()() 三、定理及公式三、定理及公式（2）将各项中的）将各项中的算符算符作用到所选定的场量上，将其余场作用到所选定的场量上，将其余场量移到量移到算符的作用范围之外，同时根据算符的作用范围之外，同时根据算符的矢量特算符的矢量特性，检查每一项的矢量性。性，检查每一项的矢量性。（3）将）将算符的角标去掉。算符的角标去掉。() () 三、定理及公式三、定理及公