隐函数的微分06

1、隐函数的微分法 第六节 与一元函数的情形类似, 多元函数也有隐函数.如果在方程式0),(zyxf中,2),(ryx时, 相应地总有满足该方程的唯一的 z 值存在, 则称该方程在 内确定隐函数. ),(yxfz 注意, 隐函数不一定都能显化.隐函数(二元)的概念如果在方程式0),(uxf中, nrx时, 相应地总有满足该在 内确定隐函数. )(xfu 方程的唯一的 u 值存在 , 则称该方程 将概念推广到一般情形一. 一元函数的隐函数的求导法 利用多元函数的偏导数求 一元函数的隐函数导数的公式设0),(yxf确定隐函数. )(xfy 两边关于 x 求导, 得若,),(1cyxf则对方程0),(y

2、xf0ddxyyfxf从而得到一元隐函数求导公式 )0( dd yfyfxfxy例1设,022yxxy求.ddxy解令,22),(yxxyyxf则xfyf2ln2yx故xyddyfxf2ln22ln2yxxy)02ln2(yx2ln2xy,多元隐函数 的导数一个方程确定 的隐函数 方程组确定 的隐函数 二. 由一个方程确定 的隐函数的求导法 定理(隐函数存在定理)设 1. ;),(u(),(0001zyxczyxf2. ;0),(000zyxf3. ,0),(000zyxfz则方程0),(zyxf在),u(00yx内唯一确定一个函数),(u(),(001yxcyxfz且, ),(000yxfz

3、 .0),(,(yxfyxf隐函数存在的条件 隐函数存在定理只是告诉我们在一定的条件下隐函数存在、唯一、可导 , 但没有告诉我们求隐函数偏导数的方法 . 怎么求隐函数的导数呢 ?由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法, 0yzzfyf因为,),(u(),(0001zyxczyxf,0),(000zyxfz由连续函数性质,),u(00yx在其中,0),(zyxfz0 xzzfxf,故zfxfxz,zfyfyz.对方程 f(x, y, z) = 0 两边关于 x , y 求偏导, 得 公式例2函数),(yxzz 的偏导数.求方程所确定的xye0zez2解z2令),(zyxfxye,ze则xf,x

4、yyeyf,xyxezf,2ze故zfxfxzzxyeye22zxyeye)02(ze例2函数),(yxzz 的偏导数.求方程所确定的xye0zez2解z2令),(zyxfxye,ze则xf,xyyeyf,xyxezf,2ze故)02(zezfyfyzzxyexe22zxyexe例3设0),(xyzzyxf确定),(yxzz 求,xz,yz其中,.1cf 解xf,21fyzfyf,21fxzfzf,21fxyfxz21fyzf21fxyfyz21fxzf21fxyf故)0(21fxyf 请同学们运用点函数, 将上面的隐函数 存在定理推广至一般的 n 元函数情形.设1. ；),(u(),(001

5、uxcuxf2. ；0)(0xf3. ,0),(00uxfu则方程0),(uxf在)u(0x内唯一确定函数)u()(01xcxfu且, )(00xfu .0)(,(xfxf 求导公式？设1. ；),(u(),(001uxcuxf2. ；0)(0xf3. ,0),(00uxfu则方程0),(uxf在)u(0x内唯一确定函数)u()(01xcxfu且, )(00xfu .0)(,(xfxf求导公式三. 由方程组确定的 隐函数的求导法 为了将一个方程确定的隐函数的求 导方法推广至由方程组确定的隐函数的 情形, 我们首先要介绍雅可比行列式.雅可比行列式),(),(2121nnxxxuuuj ),(),

6、(2121nnxxxfff11xf21xfnxf112xf22xfnxf21xfnnnxf2xfn ), 2 , 1( ),(),( 121nicxxxfunii设雅可比行列式记号 当所出现的函数均有一阶连续偏导时, 雅可比行列式有以下两个常用的性质：1.1),(),(),(),(21212121nnnnuuuxxxxxxuuu2.),(),(),(),( ),(),(212121212121nnnnnntttxxxxxxuuutttuuu复合函数情形问 题 1 设0),(0),(zyxgzyxf确定函数, )(xzz 求,ddxy。xzdd, )(xyy 想想, 怎么做 ？ 想想, 怎么做

7、？方程组 ,1cgf方程组中每个方程两边关于 x 求导：xfxyyfdd0ddxzzfxgxyygdd0ddxzzg移项, 得xyyfddxzzfddxfxyygddxzzgddxg 运用克莱满法则解此二元一次方程组当0),(),(zygf时, 方程组有唯一解：xydd ),(),(zxgf),(),(zygfxzdd ),(),(xygf),(),(zygf,.zgygzfyfzygf),(),( 其中zgxgzfxfzxgf),(),(,xgygxfyfxygf),(),(, 我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一).问 题 2 设0),(0),(vuyxgvuyxf确

8、定函数求方程组 想想, 怎么做 ？ 想想, 怎么做 ？, ),(yxuu , ),(yxvv ,xu,yu,xv。yv,1cgf 想想, 怎么做 ？ 利用问题 1 的结论 , 你可能已经知道应该怎么做了 .分别将 x 或 y 看成常数 依葫芦画瓢哦 ！问 题 2 想想, 怎么做 ？请自己动手做问 题 2 问 题 2 对方程组中的每个方程关于变量 x 求导, 然后解关于 xvxu 和的二元一次方程组. 将 y 看成常数问 题 2 将 y 看成常数, 0),(),( 时当vugf ),(),(),(),( vugfvxgfxu问 题 2 将 y 看成常数, 0),(),( 时当vugf ),(),

9、(),(),( vugfxugfxv问 题 2 将 x 看成常数 对方程组中的每个方程关于变量 y 求导, 然后解关于 yvyu 和的二元一次方程组.问 题 2 将 x 看成常数, 0),(),( 时当vugf ),(),(),(),( vugfvygfyu问 题 2 将 x 看成常数, 0),(),( 时当vugf ),(),(),(),( vugfyugfyv例4设0022yvuxvu确定函数),(yxuu ),(yxvv 求,xu,yu,xv。yv解令,),(2xvuvuyxf,),(2yvuvuyxg则),(),(vugfvu211214 uv),(),(vxgfv2011v2 xu14uvv2同理可得),(),(xugf0112u1),(),(vygfv21101),(),(yugf1102uu2141uvxv141uvyu142uvuyv 在实际求解时, 我们往往按照前面分析的过程, 对方程组中的每一个方程两边关于某一个变量求导, 然后解关于相应的偏导数的代数方程组.更一般的情形.问题 1 和问题 2的方法可以推广到定理设,),(u(),(001yxcyxfi；mi, 2, 11.,0),(00yxfi2.；mi, 2, 13.0)