16微积分公式

1、 16 极限运算法则极限运算法则一、无穷小的性质一、无穷小的性质二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则求极限举例、解题评析函数极限的四则运算法则、数列极限的四则运算法则、无穷小的性质推广与推论、复合函数的极限运算法则、 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小x0例如 lim (xsin x)0一、无穷小的性质一、无穷小的性质从而 证明 考虑两个无穷小的和设a及b 是当x x0时的两个无穷小，而g ab 则e 0，取d mind 1，d 2， 则 x: 0| xx 0 |0，x: 0| xx 0 |d 1，有| a|0，x: 0| xx 0 |d 2，有| b | 2e| a| 及| b| 2

2、e2e| g| | ab| | a| | b| e 2e2e 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小一、无穷小的性质一、无穷小的性质0arctan1limxxx例如 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小一、无穷小的性质一、无穷小的性质 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小0)sin11(lim2xxxx例如 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小一、无穷小的性质一、无穷小的性质二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则 定理（定理（3、4、5） 如果lim f (x)a，lim g (x

3、)b，则 （1）lim f (x)g(x)存在，且lim f (x)g(x)a b lim f (x) lim g (x) （2）lim f (x)g(x)存在，且 lim f (x)g(x)a b lim f (x) lim g (x) （3）当b 0时， lim 存在，且)()(xgxf)()(limxgxfba)(lim)(limxgxf证明定理 3 的证明： 因为lim f (x)a，lim g (x)=b ，由第五节定理1有 f (x)aa，g (x)bb，其中a及b 为无穷小 于是 f (x) g (x)(a a) (b b) (a b) (a b)由本节定理1，a b是无穷小再由

4、第五节定理1，得lim f (x) g (x) a b lim f (x) lim g (x) 定理3可推广到有限个函数的情形，例如，如果lim f (x)，lim g (x)，lim h (x)都存在，则由定理3有 lim f (x)+g (x)h (x)=lim f (x)+g (x)h (x) =lim f (x)+lim g (x)h (x) =lim f (x)+lim g (x)lim h (x)定理 3 的推广： 推论1 如果lim f (x) 存在，而c 为常数，则lim c f (x)c lim f (x) 推论2 如果lim f (x) 存在，而n 是正整数，则lim f

5、(x)n lim f (x)n定理 2 的推论：数列极限的四则运算法则：nlimxn a，nlimyn b ， 定理6 设有数列xn 和yn 如果 (2) nlim xn yn a b； (1) nlim( xn yn )a b； 定理7 如果j(x)f(x)，而lim j(x)a，lim f(x)b，那么ab (3) 当 yn 0(n1，2， )且 b 0 时，nlimnnyxba求极限举例： 例 1 求 1limx(2 x 1 ) 例 2 求 2limx35123xxx 例 3 求 3limx932xx 例 4 求 1limx45322xxx 例 5 求xlim3572432323xxxx

6、 例 6 求xlim52123232xxxx 例 7 求xlim12352223xxxx 例 8 求xlimxxsin极限运算法则 解1211解 例 1 求 1limx(2 x 1 ) 例 2 求 2limx35123xxx 1limx(2 x 1 )x 1 )xx2lim 11lim 1x1lim2 1xxxx2lim 11lim 1x1lim2 1xx 2limx35123xxx)35(lim) 1(lim2232xxxxx3limlim5lim1limlim2222232xxxxxxxx325)lim(1)lim(2232xxxx3102122337讨论：当x x0 时，多项式的极限极限

7、运算法则 解 解所以由第五节定理2得0，?)(lim0 xpxx有理分式的极限 例 3 求 3limx932xx 3limx932xx)3)(3(3lim 3xxxx31lim 3xx)3(lim1lim 3 3xxx61 例 4 求 1limx45322xxx 1limx32452xxx3124151245322xxx 1limx?)()(lim0 xqxpxx观察： 1limxxx2lim 11lim 1x1lim2 1xx1(2 x 1 )211)35(lim) 1(lim2232xxxxx31021223 2limx35123xxx37 3limx932xx)3)(3(3lim 3xx

8、xx31lim 3xx61 45322xxx 1limx 设多项式p(x)a0 xn a1 xn1 an ，则0lim xp(x)0lim x( a0 xn a1 xn1 an) a0 (0lim xx)n a1 (0lim xx)n1 0lim xana0 x0n a1 x0n1 anp(x0)设 q(x)也是多项式，于是0lim xq(x)q(x0)，)()(lim0 xqxpxx当 p(x0)q(x0)0 时，)()(lim0 xqxpxx?， 当q(x0)0时， 当p(x0)0，q(x0)0时，)()(00 xqxp= 先用x3去除分子及分母,然后取极限:解极限运算法则先用x3去除分子

9、及分母,然后取极限:解 例 5 求xlim3572432323xxxxxlim3572432323xxxxxlim33357243xxxx73 例 6 求xlim52123232xxxxxlim52123232xxxx332512123limxxxxxx020解 应用例6的结果并根据第五节定理2即得根据例5、6、7讨论有理函数当x时的极限：讨论：其中a00、b0 0， m和n为非负整数= 例 7 求xlim12352223xxxxxlim12352223xxxx?lim110110nnnmmmxbxbxbaxaxa结论： 当a00、b0 0， m和n为非负整数时a0b0， 当n=m， 当nm，

10、xlim3572432323xxxx73xlim052123232xxxxxlim12352223xxxx=nnnmmmxbxbxbaxaxa110110lim 解 当x时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用但这是无穷小与有界函数的乘积，所以 例 8 求xlimxxsinxxxxsin1sin，xlim0sinxx 定理8（复合函数的极限运算法则）设函数uj(x)当x x0时的极限存在且等于 a，即0limxxj(x)a，但存在点 x0的某去心邻域内j(x)a，又aulimf(u)a，则复合函数 fj(x)当 x x0时的极限也存在，且0limxx fj(x)aulimf(u)aaulim f(u)a 换成ulimf(u)a 可类似结果注： 把定理中0limxxj(x)a 换成0limxxj(x)或xlimj(x)，把. 011lim11lim)1311(lim. 131131xxxxxxx. 2)1122(lim)12)(11 (lim. 232121xxxxxxx.1sinlim,1sinlim,1sinlimlim1sinlim. 320002020不存在所以不存在因为xxxxxxxxxxxx.arctanlim,arctanlim,arctanlim. 4不存在所以不存在分子极限xxxxxxxx 检查下各题的解过程是否有误