42罗必达法则

1、第二节第二节 洛必达法则洛必达法则一、一、 洛必达法则洛必达法则三三、小结小结型未定式解法型未定式解法二、二、00100 ,一、一、 型及型及 型未定式解法型未定式解法: 洛比达法则洛比达法则0 00 0 定理定理(或为无穷大或为无穷大);设设(1) 当当 时时, 函数函数 及及 都趋于零都趋于零;xa( )f x( )f x(2) 在在 点的某去心邻域内点的某去心邻域内, 及及 都存在都存在a( )fx ( )fx (3) 存在存在( )lim( )xafxfx ( )0;fx 且且那么那么( )( )limlim.( )( )xaxaf xfxf xfx -此法则称为此法则称为洛必达法则洛

2、必达法则. .注注:1)此法则只适用于不定式此法则只适用于不定式;2)公式右端是分子、分母分别求导；公式右端是分子、分母分别求导；3)这只是一个充分条件这只是一个充分条件.该法则仍然成立该法则仍然成立.4)( )( )limlim.( )( )xxf xfxf xfx 当当 时的未定式时的未定式 ,xa x 也有相应的法则也有相应的法则.5), ax, ax,xx,x可以继续使用洛比达法则可以继续使用洛比达法则,如果如果 仍为仍为 型型,( )( )fxfx 00且且 满足定理的满足定理的条件条件,( ),( )fx fx即即( )lim( )xaf xf x( )lim( )xafxfx .

3、 ( )lim( ) xafxfx什么时候用什么时候用:0,0 ( )( )limlim.( )( )xaxaf xfxf xfx 怎么用怎么用:6)解解例例1 求求xxxxsinlim3011 ()0 00 0解解12333221 xxxxlim原式原式266lim1 xxx.23 例例2 2.lim1232331 xxxxxx求求()0 00 0例例3 求求30 xxxxsinlim ()0 00 0解解203cos1limxxx xxx6sinlim0 61 原式原式原式原式16 230112 13 (1)limcosxxxx 解解221limxxx . 1 解解0cossinlimco

4、ssinxaaxbxbbxax . 1 ()0 00 0() axabxbbaxcoscoslim0 2211lim1xxx axbxbaxsinsinlim0 原式原式原式原式例例5 5arctan2lim.1xxx 求求例例6 60lnsinlim,(0,0).lnsinxaxabbx求求解解222seclim3sec 3xxx xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 () 原式原式例例7 72tanlim.tan3xxx 求求注意：洛必达法则是求未定式的一种有

5、注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法效方法, ,解解例例8 8.sintanlimxxxxx20 求求30 xxxx tanlim原式原式xxxx6220tanseclim 22031xxx seclimxxxtanlim031 .31 但与其它求极限方法结合使用但与其它求极限方法结合使用, , 效果更好效果更好. .30arctanlim_.ln(12)xxxx 例例9 (000203) 解解2202111lim612xxxx 320(12)lim6(1)xxx 16 (方法方法2)原式原式=302arctanlimxxxx 2206111limxxx 22206)1(limxxxx 1

6、6 (方法方法1)原式原式000,0 ,1 , 二二、型型未未定定式式解解法法关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型可解决的类型. .例例1111解解.limxxex2 求求()0 0 xexx2 lim原式原式2limxxe . 1. 0 型型步骤步骤: :10, 100.0 或或例例12 求求)(lnlim00 xxx解解lnlimxxx 0lim()xx00注注:若将极限化成若将极限化成0lim,1lnxxx 则问题会复杂化则问题会复杂化.limxxx 101原式原式解解例例1313).sin(limxxx110 求求() 00.0 0 0

7、sinlimsinxxxxx 20sinlimxxxx 2. 型型步骤步骤: :原式原式01coslim2xxx 0 1100步骤步骤: :0.1 0 ln10 ln 恒等变形恒等变形000 ln0 003. 0 ,1 , 型型解解0( 0 )xxxelnlim 0原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 0lnlim1xxxe 例例14140lim.xxx 求求解解(1 ) 1ln11limxxxe 1lnlim1xxxe 11lim1xxe .1 e解解0() )ln(cotln1lim0 xxx xxxxsincoslim0 原式原式例例1 16 61ln0li

8、m(cot ).xxx 求求例例1 15 5111lim.xxx 求求1.e 原式原式1ln(cot)ln,xxe 2011cotsinlim1xxxx 取对数得取对数得1ln(cot )xx解解1sinlim1xx ).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.1lim(1cos )xxx. 1 注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件例例1 17 7coslim.xxxx 求求原式原式原式原式 201sinlimsinxxxx 原原式式0112sincoslimcos xxxxx不存在注注意意：当当 不存在不存在, , 也不为无穷大也不为无穷大,

9、, 不不能利用能利用洛必达洛必达法则求极限法则求极限. . ()lim() xafxgx201sinlimsinxxxx201sinlim xxxx201sin. limsinxxxx例例解解2201112 sincoslimcos xxxxx xx01limsin0 xxx洛必达法则洛必达法则型型0010 ,型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取对数取对数令令gfy 三、小结作业作业: 4.2思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在

10、？举举例例说说明明. . 不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在思考题解答思考题解答一、一、 填空题：填空题： 1 1、 洛必达法则除了可用于求 “洛必达法则除了可用于求 “00” ， 及 “” ， 及 “ ”两种类型的未定式的极限外，也可通过两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决变换解决_，_ ， _ ，_，_，等型，等型的未定式的求极限的问题的未定式的求极限的问题. . 2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_. 3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_. 练练 习习 题题二二、 用用洛洛必必达达法法则则求求下下列列极极限限： 1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ； 3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx； 5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ； 7 7、xxx)arctan2(lim . . 三三、 讨讨论论函函数数 0,0,)1()