ch22求导的基本法则

1、2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第2章章 一元函数微分学及其应用一元函数微分学及其应用第第1节节 导数的概念导数的概念第第2节节 求导基本法则求导基本法则第第3节节 微分微分第第4节节 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用第第5节节 taylor定理及其应用定理及其应用第第6节节 函数性态的研究函数性态的研究2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系2 第第2节节 求导基本法则求导基本法则 1 函数的求导法则、 初等函数的求导问题 2 2 高阶导数高阶导数4 4 由参数方程由参数方程 所确定的函数的求导法则所确定的函数的求导法则5 5 相关变化率问题相关变

2、化率问题 3 3 隐函数求导法隐函数求导法2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系3xxfxxfxfx)()(lim)(0(定义定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(c )sin(x )ln(x证明中利用了证明中利用了两个重要极限两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题 1 1 函数的求导法则、初等函数的求导问题函数的求导法则、初等函数的求导问题 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系4定理定理2.1具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、的和、 差、差、 积、积、 商商 (除分母除分

3、母为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导, 且且).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu()c u c u ( c为常数为常数 )21( )( )( )vxv xvx 和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系5此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )

4、()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系6(2)vuvuvu )(证证: 设设, )()()(xvxuxf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uc )()2wvuuc wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( c为常数为常数 )

5、2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系7)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设设)(xf则有则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvcvc( c为常数为常数 )2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系8(csc )x 1sin x x2sin)(sinxx2si

6、n例例1 1 求证求证2(tan )sec,xx 证证(csc )csccot.xxx sin(tan )cosxxx x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sin2sec x xcoscsccotxx 类似可证类似可证:2(cot )csc,xx (sec )sectan.xxx 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系9反函数求导法则反函数求导法则 111( ).( )dyfxdxfydxdy ，或或1( )( )0,( )ixf yyfyyfxx 设在 上严格单调连续函数在 处可导，设在 上严格单调连续函数在 处可导，且则它的反函数在对

7、应点且则它的反函数在对应点处可导，且处可导，且定理定理2.32008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系10证证 在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知 因此因此,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyx 1 )(1yf112008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系111例例2 2 求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解解 1) 设设arcsinyx ，则则sin ,xy (,) ,22y (arcsin )x (sin )y 1cos

8、y 211sin y 211x 类似可求得类似可求得?)(arccosx21(arctan ),1xx 21(arccot)1xx 211xarccosarcsin2xx 利用利用cos0y, 则则2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系122) 设设, )1,0(aaayx则则),0(,logyyxa()xa 1(log)ay 11lnyalnya lnxaa ( e )exx )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当特别当ea时时,小结小结2008年11月3日南京航空航天大

9、学 理学院 数学系13复合函数的链式法则复合函数的链式法则( ) ( ).dydy dufu gxdxdu dx ( )( )( )ug xxyf uxuyf g xx 设设函函数数在在 处处可可导导，函函数数在在与与 对对应应的的 处处可可导导，则则复复合合函函数数在在 处处可可导导，且且链式法则链式法则ddyx ddyu ddux 关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系14 lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd证证)(ufy 在点在点 u 可导可导,故故)(lim0ufuyuuuu

10、fy)(（当（当 时时 )0u0故有故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系15例例3 3.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例4 4.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系16例例5 5 求下列导数求下列导数:(1) () ; (2) (sh ) .xx 解解 (1)l

11、n()()xxe ln xe ( ln )x x x 1x (2) (sh )2xxeex 2 xexe ch x 说明说明: 类似可得类似可得(ch )sh;xx (th )x xxxchshth2shxxeex21;ch x chcothshxxx (coth )x 21sh x 例例6 6 设设, )1(ln2xxy.y求解解 y112xx11212xx2112x记记, )1(lnarsh2xxx则则(arsh )x 211x (反双曲正弦反双曲正弦)sh2xxeex 的反函数的反函数(,)x 2(ln(arc)()h1xxx 211x (1,)x211x )11ln21( xx(arc

12、th )x ( 1,1)x (arcoth )x 11( ln)21xx 1,1xr211x 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系18初等函数的求导问题初等函数的求导问题由前面得到的由前面得到的基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式以及以及运算法则运算法则，可以得到全体初等函数的导数，可以得到全体初等函数的导数见课本见课本102页页四则运算四则运算复合函数复合函数反函数反函数 1. ln (0)xxx例例2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系19基本导数公式基本导数公式()(sin)(tan)(sec)()(log)(arcsin)(arctan)xacxx

13、xaxxx （基本初等函数的导数公式）（基本初等函数的导数公式）()(cos )(cot )(csc )()(ln )(arccos )( arccot )xxxxxexxx 0 cos x 2sec x sectanxx lnxaa 1lnxa 211x 211x 1xr sin x 2csc x csccotxx xe 1x 211x 211x 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系20幂指函数的导数幂指函数的导数 ( )( )ln ( )( )ln ( )( )( )( ) ( ) ( )ln ( )( )( ) ( ) ( )( )ln ( )( )v xv xu xv

14、xu xv xu xev x uxevxu xu xv x uxu xvxu xu x 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系21(1) () ;xx (2) ()xxx 例例7 7 求下列导数求下列导数:解解 (1)ln()()xxxxe lnxxe ( ln )xx xx ( ln1 )x ln(2) ()()xxxxxxe ln(ln )xxxxexx ln(ln )xxxxexx xxx 1xx (ln1 )ln xxxx2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系22111.,11xxyxx 112.ln,11xxyxx 3.,yxxx2sin24.arctan

15、1 ,xyex22211115.arctan 1ln,2411xyxxex ex 求下列函数的导数求下列函数的导数y6. 设设,)(xfffy 其中其中)(xf可导可导, 求求.y2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系231. 解解:,1111xxxxy21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx112.ln,11xxyxx 解解:211ln11ln(1) ,xxyxxxx 211yxx 2(1)1xx 211x (1)x 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系243.yxxx解解:1()2yxxxxxx11(1()22xxxxxxx 111(1(1

16、) )222xxxxxx 4218xxxxxxxxxx 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系25解解:1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导2sin24.arctan1xyex5.,1111ln411arctan21222xxxy解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)

17、2(1xxx2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系276. 设设,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 其中其中)(xf可导可导, 求求.y2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系28定义定义若函数若函数( )yf x 的导数的导数( )yfx 可导可导, ,或或,dd22xy即即()yy 或或22ddd()dddyyxxx )(xf的的二阶导数二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为则称则称( ),fx 2 2 高阶导数高阶导数1 1、高阶导数的概念、高阶导数的概念2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系29类似地

18、类似地 , 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数 ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y (4),y( ),ny或或33d,dyx44d,dyxd,dnnyx依次类推依次类推 ,分别记作分别记作( ),fx (4)( ),fx( ),( ),nfx2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系30设设2012,nnyaa xa xa x求求( ).ny解解1ya 22a x 1nnna x 22 1ya 33 2a x 2(1)nnn na x 依次类推依次类推 ,( )!nnyn a 233a x 例例1 1思考思考 设设() ,yxr ( )?

19、ny ( )()(1)(2)(1)nnxnx 问问可得可得直接法直接法 -由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数. .则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系31(1)nx 3,axya e 例例2 2 设设求求解解特别有特别有:解解(1) !n 规定规定 0 ! = 1思考思考,axye .)(ny,axyae 2,axya e ( )nnaxya e ( )()xnxee 例例3 3 设设ln(1) ,yx求求( ).ny1,1yx 21,(1)yx 231 2(

20、 1),(1)yx ( )ny 1( 1)n ln( 1) ,yx( )ny 11yx y (1) !(1)nnx 21(1)x ,(1)n 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系32注意注意： 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)(

21、nxxn同理可得同理可得2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系33例例5 5 ( )( )().nf xnf axb 已知的 阶导数存在，求已知的 阶导数存在，求解解()()f axbafaxb ( )( )()()nnnf axba faxb 2()()f axba faxb 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系34则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nncucu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvucuvvukknnn

22、vunnvnuvuvu 莱布尼兹（莱布尼兹（leibniz）公式）公式2 2、高阶导数的运算法则、高阶导数的运算法则2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系353u v ()uv u vuv()uv ()u vuv u vu v 2uv ()uv u v 3u v uv 用数学归纳法可证用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立成立 . .2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系36例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(

23、2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系37(1)(1)02 !nn ny )(nyn例例7.7. 设设arctan,yx 求求( )(0).ny解解21,1yx 即即2(1)1xy 用莱布尼兹公式求用莱布尼兹公式求 n 阶导数阶导数2(1)x 2x2令令0 ,x 得得(1)(1)(0)(1)(0)nnyn ny (1 , 2 ,)n 由由(0)0 ,y 得得(0)0 ,y (4)(0)0 ,y ,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mym

24、m)0(! )2() 1(ymm(2)(0)0my (1)ny ( )0 ,2(0)( 1) (2) ! ,21nmnmymnm 即即), 2, 1 , 0(m由由(0)1 ,y 得得(21)(0)( 1) (2) !(0)mmymy 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系38常用高阶导数公式常用高阶导数公式( )(4) ()nx ( )(5) (ln )nx ( )(2) (sin)nkx ( )(3) (cos)nkx ( )(1) ()xna ( )()xne ( )1()nx 间接法间接法: :利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则运算运算, 变

25、量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.ln(0)xnaaasin()2nkkxn xecos()2nkkxn (1)(1)nnx 1(1)!( 1)nnnx 1!( 1)nnnx 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系39例例8 8 (5)21,.2yyxx 设求设求解解212yxx (5)y661140(1)(1)xx ( )?ny 11111( 1)!3(1)(2)nnnnxx 111()312xx6615!5!3 (1)(2)xx 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系40例例9.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos

26、)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x 53cos488x ).24cos(483)( nxynn降幂降幂2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系41(1) 直接法直接法逐阶求导法逐阶求导法 利用归纳法利用归纳法(2) 间接法间接法 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式(3) 利用莱布尼兹公式利用莱布尼兹公式高阶导数的求法高阶导数的求法2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系42xy121( )1!2 ( 1)(1)nnnn

27、yx xxxy1112( )1!,3(1)nnnynx 1. 如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?1(1)1xyx 3(2)1xyx 解解解解 练习练习2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系432212.()d yyfxdx 求求练习练习2( )3.lnnyxxy 求求12121212,(0,0)()()()(1)1,10( )xxxxf xxf xf xfxfxx 1 1. .对对任任意意的的有有，且且证证明明：当当时时，2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系44证明证明000()( )( )lim (1)( )(1)limlim(1)xxxf x

28、xf xfxxxxf xf xfxxfxx (1)0f 12121212,(0,0)()()()(1)1,10( )x xxxf xxf xf xfxfxx1 1 对任意的对任意的 有，且有，且 证明：当时，证明：当时，1212121,1()()()xxf xxf xf x取，由取，由得，得，11(1)fxx(0)x 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系45)1(21)1( )1)(1(342xfxxxfyxxfy 解解2212.()d yyfxdx 求求2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系46 3. 3.隐函数求导法则隐函数求导法则定义定义: :.)(称为隐函

29、数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxf)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.2sin1 (01)xyy 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系47例例1 10.xyxyeedyydx求由方程所确定的隐函数求由方程所确定的隐函数的导数的导数解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexye

30、dxdy 22?d ydx 2()()()(1)()xxyxyyydeyeyxeeye ydxxexe 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系48( )yy x 由方程由方程yexye确定确定 , (0) ,y 解解方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得0ye yyxy再求导再求导, 得得2ye y ()yex y 20y 当当0 x 时时,1 ,y 故由故由 得得1(0)ye 再代入再代入 得得21(0)ye 求求(0) .y 例例2 2 设设2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系49解解00(,)30 xyyxx设曲线在点的切线与平行设曲线在点的切线与平行将

31、曲线方程两边对 求导得将曲线方程两边对 求导得:()2 22 2aayx 法线方程为法线方程为:()2 22 2aayx 切线方程为切线方程为03000301x xydyyxdxx 00,2 22 2aaxy 代入曲线方程得代入曲线方程得例例3 322233330 xyayx在曲线上哪一点的切线与直线在曲线上哪一点的切线与直线平行？写出该切线方程与法线平行？写出该切线方程与法线方程。方程。2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系50ex.ex.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲

32、线设曲线ccxyyxc 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 33332223 33 32( , )( , )2 22 2yxyyx . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系51多个函数乘积的导数多个函数乘积的导数对数求导法对数求导法对数求导法的步骤对数求导法的步骤: :1. 1. 两端取绝对值之后两端取绝对值之后, , 再取自然对数再取自然对数. .2. 2. 等式两端分别对自变量求导等式两端分别对自变量求导. .3. , (

33、 ).yy x 等等式式两两端端再再乘乘以以 左左端端即即 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系52例例4 4131225(5) (4)(4), .(2) (4)xxyxyxx 设设求求先对函数取对数先对函数取对数, 得得解解131225(5) (4)lnln(2) (4)112ln(5)ln(4)5ln(2)ln(4).32xxyxxxxxx 再对上式两边分别求对数再对上式两边分别求对数, 得得215153(4)22(4)yyxxxx 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系53整理后得到整理后得到131225(5) (4)2151.53(4)22(4)(2) (

34、4)xxyxxxxxx 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系54例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系554. 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数y( ). 给给定定参参数数t t的的值值, ,代代入入到到参参数数方方程程中中, ,就就得得到到对对应应的的一一对对x x, ,y y值值, ,把把这这

35、对对x x, ,y y值值看看作作是是x x与与y y之之间间的的一一种种对对应应，则则由由此此得得到到的的函函数数，称称为为由由参参数数方方程程所所确确定定的的函函数数x(t),y(t) 设设 参参 数数 方方 程程 为为 2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系56例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数t 在实际问题中,有时消去参数比较困难,因此,我们在实际问题中,有时消去参数比较困难,因此,我们希望有一种方法能直接求出该参数方程确定的函数的希望有一种方法能直接求出该参数方程确定的函数的导数.导数.2008年11月3日南京航空航天大

36、学 理学院 数学系57),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系58,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tt

37、tttdxyd 即即( )0,t且2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系59例例6 622d( )d( )ytxt ( ),( )tt ddyx 已知已知注意注意 :解解dtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 22d ydx求求33cossinxatyat ，设设，2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系60222ln(1).arctanxtd ydxytt ，求，求22111221dytttdxt 22

38、22112241d yttdxtt ex.解解2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系61例例7 7 设由方程设由方程222 (01)sin1xtttyy 确定函数确定函数( )yy x ，求求d.dyx解解 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故ddyx (1)(1cos )tty ddytddxt2t d2d1cosytty 22tcos y ddyt0 d2 (1)dxttddytddxt2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系62.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻

39、炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv 例例8 82008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系63解解)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdyttxyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt2008年11月3日南京航空航天大学 理学院 数学系64轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvd