第15讲控制系统的校正

1、1第15讲程向红系统的设计与校正问题常用校正装置及其特性串联校正控制系统的校正自动控制2例5-6 设一个闭环系统具有下列) 1()()(tsskshsg试确定该闭环系统的稳定性。平面ghreim100开环传递函数)()(jgjh极坐标图 图5-44解)()(sgsh在右半s平面内有一个极点ts11p图5-44中的奈奎斯特图表明，)()(sgsh轨迹顺时针方向包围-1+0点一次1r2prz这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。3例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数试确定该闭环系统的稳定性。图5-45)()(jgjh极坐标图平面ghreim1k30k40渐近线在右半s平

2、面内有一个极点1s1p因此开环系统是不稳定的)()(sgsh轨迹逆时针方向包围-1+j0一次1r0prz说明)()(1sgsh没有零点位于右半s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。 图5-45表明4例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为) 1)(1()(32221stststtksg式中312,tttk和均为正值。为使系统稳定，开环增益k与时间常数312,ttt和之间满足什么关系？ 解 ：频率特性)(23222221)(1)()1()(jettttkjg322121)(arctgttttarctg0)0(jkjg00)(jjg) 1(1)

3、()(32221jtjtjttkjg5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5real axisimag axis2, 3, 2, 1321kttt6) 1(1)()(32221jtjtjttkjg1)()()(32232213321jttjttttjtttkjttttttttk)()(12321322312令虚部为零即可 0232132ttttt32132tttttc与负实轴相交于312323122312)(1)(1)(ttttttttktttkjgcc1)(1313231ttttttk 1)(313231ktttttt展开？与负实轴的交点75.7.1相位裕度和增益

4、裕度reim01平面g大时k小时k图5-46的极坐标图)(jg5.7相对稳定性0)(dbh0判断系统稳定的又一方法)()(180ccjhjg)()(log20 xxjhjgh8相位裕度、相角裕度(phase margin)设系统的截止频率(gain cross-over frequency)为c1)()()(cccjhjgja定义相角裕度为)()(180ccjhjg当0 时，相位裕量为正值；0时，相位裕度为负值。当增益裕度、幅值裕度(gain margin)h设系统的相位穿越频率(phase cross-over frequency) 12()()()(kjhjgxxx, 1, 0 k定义幅值

5、裕度为)()(1xxjhjgh)()(log20 xxjhjgh若以分贝表示，则有x9loglogloglog90270180positive gain marginpositive phase marginnegative gain marginnegative phase marginstable systemunstable system0db902701800dbcxcx10reimh1planegpositive gain marginpositive phase margin-11reimh1planegnegative gain marginnegative phase marg

6、in-11stable systemunstable system)(jg)(jg11例5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为)05. 01)(2 . 01 ()(sssksgk=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益k的调整，使系统的增益裕度20logh=20db，相位裕度 40解：180)()()(xxxjhjg18005. 02 . 090)(xxxarctgarctg即9005. 02 . 0 xxarctgarctg2121211)(tgtgtgtgtgxxxx05. 02 . 0105. 02 . 0 005. 02 . 01xx 10 x相位穿越频率x增益裕度)()(log2

7、0)(xxjhjgdbhdb281720 在x处的开环对数幅值为12根据k=1时的开环传递函数c1)()(ccjhjg)05. 01)(2 . 01 (1)(ccccjjjjg1)0025. 01)(04. 01 (122ccc 1c10405. 02 . 090)(cccarctgarctg 76104180)(180c相位裕度增益穿越频率截止频率 13bode diagramfrequency (rad/sec)phase (deg)magnitude (db)-40-30-20-1001020100101-225-180-135-90)(dbhc1k5 . 2k2 . 5kck)(dbh

8、)(dbh14 由题意知10h1 . 0)(xjg1 . 0)0025. 01)(04. 01 (22xxxk 5 . 225. 0141101 . 0k验证是否满足相位裕度的要求。根据 40的要求，则得：1404018005. 02 . 090)(cccarctgarctg5005. 02 . 0ccarctgarctg2 . 105. 02 . 0105. 02 . 0cccc 4c1)0025. 01)(04. 01 (22ccck 2 . 502. 128. 14k不难看出，5 . 2k就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。 15例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示

9、(最小相位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求ttr)(时的稳态误差。解：由图得)51)(01. 01 ()1 . 01 ()(jjjjkjg看对数幅频特性1610-310-210-1100101102-40-20020406080-20db/dec-20db/dec-40db/dec-40db/dec0.010.115rad/sdb)(l)51)(01. 01 ()1 . 01 ()(jjjjkjg171lg20)51(1lg20)01. 01(1lg20)1 . 01(1lg20lg20222k1110010k10k)2 . 01)(1001 ()101 (

10、10)(sssssg由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知1c在c处4 .1065101. 011 . 0190)(arctgarctgarctgc则得6 .73)(180c单位斜坡输入时，系统的稳态误差为1 . 01011vsske 0 系统稳定185.7.3 标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系s(s+2n)n2r(s)c(s)图3-8 标准形式的二阶系统方块图_)2()(2nnsssg)2()(2nnjjjg书上例5-13p203设截止频率14)(2222nccncjgc则有24214(ncnarctg290)(242142 arctg

11、195.7.4截止频率与带宽(cutoff frequency and bandwidth)db)(l0带宽b33图5-53 截止频率与系统带宽参看图5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率。dbjrjcjrjc3)0()0(lg20)()(lg20b对于的dbjrjc0)0()0(lg20系统dbjrjc3)()(lg20b一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。二阶系统，闭环传递函数为2222)2()1 (1)(nnj2)2()1 (2222nbnb1)21 (21222nb始开21基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对

12、系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。第六章 控制系统的校正前面几章讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。design and compensation techniques22输出量串串联联补补偿偿元元件件放放大大元元件件执执行行元元件件被被控控对对象象反反馈馈补补偿偿元元件件测测量量元元件件局部反馈为改善系统性能测量元件被控对象执行元件局部反馈放大元件串联补偿主反馈反馈补偿为改善系统性能输入量输出量在实际过程中，既要理论指导

13、，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。23目前，工业技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式进行两种指标的互换。参见书p2206.1 系统的设计与校正问题6.1.1 控制系统的性能指标时域指标稳态 型别、静态误差系数动态 超调、调整时间频域指标开环频率、闭环带宽、谐振峰值、谐振频率增益穿越频率、幅值裕度和相位裕度 24(1)二阶系统频域指标与时域指标的关系707. 02201212rm谐振频率221nr

14、带宽频率1)21 (21222nb截止频率24214(nc相位裕度242142 arctg(6-5)谐振峰值(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)超调量 %100%21e调节时间nst5 . 3 tgtsc7(6-7)(6-6)25谐振峰值sin1rm超调量8 . 11) 1(4 . 016. 0rrmm调节时间cskt8 . 11) 1(5 . 2) 1(5 . 122rrrmmmk(2)高阶系统频域指标与时域指标(6-8)(6-9)(6-10)26既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信号。在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。6.1.2系统带宽的选择

15、带宽频率是一项重要指标。如果输入信号的带宽为m0则mb)105(6-11)请看系统带宽的选择的示意图选择要求27db)(l0带宽b330m1n)(j)(jr)(jn)0(j) 0(707. 0j图6-1 系统带宽的选择噪声输入信号28校正方式串联校正 )(sr)(sc)(sg)(sh)(se)(sgc)(sgo反馈校正 )(sr)(sc)(sh)(se)(sgo)(sgc校正装置校正装置前馈校正复合校正 29前馈校正复合校正 )(sr)(sc)(sg)(sh)(se)(sg)(sgc)(sc)(sg)(sn)(sg)(sgc(b)前馈校正（对扰动的补偿）(a)前馈校正（对给定值处理）+ +-

16、- -+ +r(s)e(s)n(s)c(s)图3-26 按扰动补偿的复合控制系统)(2sg)(1sg)(sgn30(b) 按输入补偿的复合控制)(sr)(sg)(se)(1sg)(sg)(2sg)(sh)(sc)(sn)(sgc反馈校正 不需要放大器，可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响 串联校正 串联校正装置 有源 参数可调整 在性能指标要求较高的控制系统中，常常兼用串联校正和反馈校正 316.1.4基本控制规律（1）比例（p）控制规律)()(tektmp(6-12)- -)(tr)(tm)(tc)(tepk - -)(sr)(se)(sm)(sc)1 (skp（a）p控制器(b) p

17、d控制器（2）比例-微分（pd）控制规律dttdektektmpp)()()(6-13)提高系统开环增益，减小系统稳态误差，但会降低系统的相对稳定性。pd控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。在串联校正时，可使系统增加一个1的开环零点，使系统的相角裕度提高，因此有助于系统动态性能的改善。32具有积分（具有积分（i）控制规律的控制器，）控制规律的控制器，称为称为i控制器。控制器。tidttektm0)()(6-14)输出信号输出信号)(tm与其输入信号的积分成比例。与其输入信号的积分成比例。ik为可调比例系数为可调比

18、例系数)(te消失后，输出信号消失后，输出信号)(tm有可能是一个不为零的常量。有可能是一个不为零的常量。90不宜采用单一的不宜采用单一的i控制器。控制器。 （3）积分（）积分（i）控制规律）控制规律- -)(sr)(se)(sm)(scskii控制器控制器 当当在串联校正中，采用在串联校正中，采用i控制器可以提高系统的型别控制器可以提高系统的型别（无差度），有利提高系统稳态性能，但积分控（无差度），有利提高系统稳态性能，但积分控制增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生制增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生的相角滞后，于系统的稳定不利。的相角滞后，于系统的稳定不利。33具有积分比例-积分

19、控制规律的控制器，称为pi控制器。 - -)(sr)(se)(sm)(sc)11 (stkippi控制器tippdttetktektm0)()()(输出信号)(tm同时与其输入信号及输入信号的积分成比例。pk为可调比例系数it开环极点，提高型别，减小稳态误差。右半平面的开环零点，提高系统的阻尼程度，缓和pi极点对系统产生的不利影响。只要积分时间常数it足够大，pi控制器对系统的不利影响可大为减小。（4）比例-积分（pi）控制规律(6-15)为可调积分时间系数pi控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。34（5）比例（pid）控制规律- -)(sr)(se)(sm)(sc)11 (sstkip具有

20、比例-积分-微分控制规律的控制器，称为pid控制器。dttdekdttetktektmptipp)()()()(0(6-16)11 ()(sstksgipc)1(2sststtkiiipssstkip) 1)(1(21(6-17)411 (211iitt)411 (212iitt如果14itpid控制器35i 积分发生在低频段，稳态性能(提高)d微分发生在高频段，动态性能(改善)ssstksgipc) 1)(1()(21增加一个极点，提高型别，稳态性能两个负实零点，动态性能比pi更具优越性两个零点一个极点36一般而言，当控制系统的开环增益增大到满足其静态性能所要求的数值时，系统有可能不稳定，或

21、者即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。在这种情况下，需在系统的前向通路中增加超前校正装置，以实现在开环增益不变的前题下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。6.2 常用校正装置及其特性无源校正网络超前校正有源校正网络1.无源超前校正滞后校正滞后超前校正先讨论超前校正网络的特性，而后介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。37rucu1r2rc t1t10j假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计，而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为图6-8无源超前网络scrrrsgsusucrc12211)()()(csrrrr11221csrrrrcsrr211212)1 ()/()()/()1 (

22、2121212112rrcsrrrrrrcsrr2121rrcrrt时间常数221rrra分度系数crat1tsatsasgc111)(6-18)(a)(b)382121rrcrrt时间常数221rrra分度系数crat1tsatsasgc111)(6-18)注：采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降因此需要提高放大器增益加以补偿tsatssagc11)(6-19)倍rucu1r2rca图6-9带有附加放大器的无源超前校正网络此时的传递函数39超前网络的零极点分布1a故超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之间的距离由常数 决定。a可知改变a和t(即电路的参数crr,2

23、1超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动。t1t10j由于)的数值，40 对应式(6-19)得22)(1lg20)(1lg20)(lg20tatsgc(6-20)arctgtarctgatc)(画出对数频率特性如图6-10所示。显然，超前网络对频率在(6-21)tsatssagc11)(6-19)tat11至之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。4110-210-11001010510152010-210-11001010102030405060at1t120db/dec42由(6-21)arctgtarctgatc)( 2)

24、(1) 1(tataarctgatm111arcsin21aaaaarctgm(6-24)1aa21ammasin1sin1(6-22)(6-23)故在最大超前角频率处m具有最大超前角mm正好处于频率at1与t1的几何中心tat11与的几何中心为mmattatlglg211lg21)1lg1(lg2122即几何中心为m(6-25)最大超前角频率求导并令其为零4310-210-11001010510152010-210-11001010102030405060(a)频率特性1,10ta20db/decat1t1malg20alg10m442222)(1)(1lg20)(1lg20)(1lg20)

25、(mmmmmctattatlatm122aalg10lg20 aalmclg10lg20)(6-26)ma但a不能取得太大(为了保证较高的信噪比),a一般不超过20这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大于65如果需要大于65的相位超前角，则要在两个超前网络相串联来实现，并在所串联的两个网络之间加一隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。 11arcsin21aaaaarctgm45024681012141618200102030405060700246810121416182002468101214(b) 最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线alg10malg10dbmoa462.

26、无源滞后网络1rrucu2rc如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗为无穷大，则滞后网络的传递函数为scrrscrsgsusucrc11)()()(1221)(1212csrrcsr1)(12122121csrrcsrrrrrcrrt)(21时间常数1212rrrb分度系数crbt2tsbtssgc11)(6-27)图6-11无源滞后网络4710-1100101102-20-15-10-5010-1100101102-60-50-40-30-20-100图6-12无源滞后网络特性1, 1 . 0tb-20db/decbt1t1mblg20m48同超前网络，滞后网络在t1时，对信号没有衰减作用btt

27、11时，对信号有积分作用，呈滞后特性t1时，对信号衰减作用为blg20同超前网络，最大滞后角，发生在btt11与几何中心，称为最大滞后角频率，计算公式为btm1(6-28)bbm11arcsin( 6-29)b越小，这种衰减作用越强由图6-12可知49采用无源滞后网络进行串联校正时，主要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相角裕度。滞后网络怎么能提高系统的相角裕度呢？50在设计中力求避免最大滞后角发生在已校系统开环截止频率 c附近。选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率bt1远小于 c一般取101 cbt此时，滞后网络在 c处产生的相角滞后按下式确定2 )(1) 1

28、()(cccccctbtbarctgtarctgbt将btc10 代入上式)1( 1 . 0100) 1(10)10(110) 1()(2 barctgbbarctgbbbbarctgcc)( ccb与和20lgb的关系如图6-13所示。(6-30)(6-31)51-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-40-200-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-10-50图6-13 b与)( cc和20lgb的关系b0.010.1120lgb)( cc6100db523.无源滞后-超前网络1rrucu2r1c2c图6-14 无源

29、滞后-超前网络传递函数为2211221111)()()(scrscrscrsususgrcc1)() 1)(1(212211222112211scrcrcrscrcrscrscr) 1)(1() 1)(1(21ststststba11crta22crtb设att 1attttba1211a则有aatt 1attb221crttatatbaba式(6-32)表示为) 1)(1() 1)(1()(satsatststsgbabac(6-32)a是该方程的解5310-210-1100101102103-20-15-10-5010-210-1100101102103-60-40-200204060图6

30、-15 无源滞后-超前网络频率特性aaabbadb)()(l1) 1)(1() 1)(1()(jatjatjtjtsgbabac(6-33)54求相角为零时的角频率10)(11111atarctgarctgatarctgtarctgtbaba01)(1)(211211atatatatarctgttttarctgbabababa121batt batt11batt11(6-34)1的频段，1的频段，当校正网络具有相位滞后特性校正网络具有相位超前特性。baaabaj055实际控制系统中广泛采用无源网络进行串联校正，但在放大器级间接入无源校正网络后，由于负载效应问题，有时难以实现希望的规律。此外，复

31、杂网络的设计和调整也不方便。因此，需要采用有源校正装置。6.2.2有源校正网络56谢谢！ 结束5758频率法对系统进行校正的基本思路是：通过所加校正装置，改变系统开环频率特性的形状，即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点：6.3串联校正6.3.1串联超前校正（基于频率响应法）用频率法对系统进行超前校正的基本原理，是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量，以达到改善系统瞬态响应的目点。为此，要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率（剪切频率）处。中频段的幅频特性的斜率为-20db/dec,并具有较宽的频带，这一要求是为了系统具有满意的动态性能；高频段要求幅值迅速衰减，以较

32、少噪声的影响。低频段的赠以满足稳态精度的要求；59用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为：根据稳态误差的要求，确定开环增益k。根据所确定的开环增益k，画出未校正系统的波特图，c 关键是选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即cm 以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性。显然，cm 成立的条件是allcccolg10)()( 由上式可求出a atm1验证已校系统的相角裕度 计算未校正系统的相角裕度根据截止频率的要求，计算超前网络参数a和t；(6-36)(6-35)求出60用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为：根据稳态误差的要求，确定开环增益k。确定开环增益k

33、后，画出未校正系统的波特图，计算未校正系统的相角裕度由给定的相位裕量值 计算超前校正装置提供的相位超前量补偿校正前给定的 m是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统截止频率增大而增加的相角滞后量。值通常是这样估计的：如果未校正系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜率为-40db/dec，一般取105如果为-60db/dec则取2015根据所确定的最大相位超前角m按mmasin1sin1算出a的值。 61计算校正装置在m处的幅值10lga 由未校正系统的对数幅频特性曲线，求得其幅值为-10lga处的频率，该频率m就是校正后系统的开环截止频率c即mc确定校正网络的转折频率21和am1am2画出校正后

34、系统的波特土，并演算相位裕度时候满足要求？如果不满足，则需增大值，从第步开始重新进行计算。 62例-1.设一单位反馈系统的开环传递函数为)2(4)(ssksg试设计以超前校正装置，使校正后系统的静态速度误差系数120skv,相位裕度 50，增益裕量hlg20不小于10db。解：根据对静态速度误差系数的要求，确定系统的开环增益k。202)2(4lim0kssksksv10k10k时，未校正系统的开环频率特性为290)2(120)2(40)(2arctgjjjg绘制未校正系统的伯特图，如图6-16中的蓝线所示。由该图可知未校正系统的相位裕量为17 当*也可计算1)2(120217. 696.1763100101102-60-40-2002040100101102-180-160-140-120-10064根据相位裕量的要求确定超前校正网络的相位超前角38517501由式(6-37) 2 . 438sin138sin1sin1sin1mma超前校正装置在m