矢量运算基础与微积分初步

1、矢量运算矢量运算的基本知识的基本知识和微积分初步和微积分初步 标量只有标量只有大小（当然有正负）大小（当然有正负），例如：质量、，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。长度、时间、密度、能量、温度等。 矢量既有矢量既有大小大小又有又有方向方向，并有，并有一定的运算规一定的运算规则则，例如：位移、速度、加速度、力等。，例如：位移、速度、加速度、力等。矢量运算基础1 1、矢量的定义：、矢量的定义：2 2、矢量的几种表示方式：、矢量的几种表示方式：),(321aaaa 大小大小aa3 3、矢量相等：、矢量相等： 大小相同，方向相同。大小相同，方向相同。 标量不能与矢量相等，即：标量不能与矢量相

2、等，即：（矢量的模）（矢量的模）字母上面加箭头，或用黑体字（课本）字母上面加箭头，或用黑体字（课本）aaa解析表示：解析表示：几何表示：有指向的线段几何表示：有指向的线段矢量运算基础4 4、矢量的运算法则：、矢量的运算法则：(1) (1) 加减法加减法 含含平行平行四边形法则四边形法则和和三角形法则三角形法则ababccbacbac矢量运算基础(2) (2) 数乘数乘acacacca平行于平行于方向大小 0 0 一个矢量也可写成一个矢量也可写成 : 它的大小乘上它的单位矢量，它的大小乘上它的单位矢量，如：如：0raaaaaar0矢量运算基础(3)(3)矢量的分解矢量的分解在一个平面内，若存在两

3、个不共线的矢量在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 则平面内的任一矢量可以分解为：则平面内的任一矢量可以分解为：21ee和2211eaeaa21ee 常用常用称为正交分解称为正交分解在直角坐标系，在直角坐标系，kajaiaazyx222zyxaaaaa其大小其大小矢量运算基础rp pxyzo oxyzijk kzj yi xr222zyxrr矢量运算基础cosaaxcosaaycosaaz三个坐标轴的夹角与分别是zyxa,kbajbaibabazzyyxx)()()(同一方向上的分量的运算如同标量一样。同一方向上的分量的运算如同标量一样。不同方向上的分量不能合并同类项，要按矢量加法法不同方向上

4、的分量不能合并同类项，要按矢量加法法则叠加。则叠加。矢量运算基础(4)(4)矢量的标积（点积，点乘）矢量的标积（点积，点乘）方向的投影。在为为单位矢量，若的夹角与为bababbaabba) (cos特别注意：特别注意：02aaa若若0 ba可能可能baba000,900,900,90000bababa矢量运算基础abcosb矢量运算基础abbacabacba)(遵守交换律遵守交换律遵守分配律遵守分配律01ikkjjikkjjiizzyyxxzyxzyxbababakbjbibkajaiaba)()(abcosb标积的标积的性质：性质：(5)(5)矢量的矢积（叉积、叉乘）矢量的矢积（叉积、叉乘）

5、是一个轴矢量是一个轴矢量方向：方向：大小：平行四边形面积大小：平行四边形面积右右手手螺螺旋旋前前进进) 0(sin abbacab c右手四指由叉乘号前的矢量方向，沿右手四指由叉乘号前的矢量方向，沿小于小于的夹角旋转到叉乘号后的矢量的夹角旋转到叉乘号后的矢量方向时拇指的指向。积矢量垂直于两方向时拇指的指向。积矢量垂直于两叉乘矢量所确定的平面。叉乘矢量所确定的平面。矢量运算基础cba矢积的性质：矢积的性质： 0 )( aacabacbaabba不遵守交换律不遵守交换律但遵守分配律但遵守分配律jikikjkjikkjjii0zyxzyxbbbaaakjiba矢量运算基础(6)(6)矢量的非法运算包

6、括矢量的非法运算包括decba,ln,1矢量与标量不能相等。矢量与标量不能相等。 ！即：矢量不能作除数、取对数；即：矢量不能作除数、取对数； 不能开方、作指数。不能开方、作指数。注意：严格区分矢量的叉乘与点乘！注意：严格区分矢量的叉乘与点乘！ “”、“ ”不能随便乱用。不能随便乱用。矢量运算基础（7）矢量的导数还是个矢量）矢量的导数还是个矢量 若在直角坐标系，坐标轴方向不变，各分量互不若在直角坐标系，坐标轴方向不变，各分量互不相干，分别求导。如：相干，分别求导。如：kdtdajdtdaidtdadtadzyx但一般但一般dtdadtad（除非定向运动。）（除非定向运动。）如：速度的导数是加速度

7、，速率的导数是加速度的切向如：速度的导数是加速度，速率的导数是加速度的切向分量。分量。dtrdardtdadtadraa000则若矢量运算基础即：即：矢量的导数的模矢量的导数的模一般不等于一般不等于矢量的模的导数矢量的模的导数在直角坐标系中在直角坐标系中222dtdadtdadtdadtadzyxkajaiaazyxkdtdajdtdaidtdadtadzyx222zyxaaaaadtaaaddtdazyx222矢量运算基础（8 8）矢量的积分）矢量的积分,adtbdba系内，且都在同一平面直角坐标和若dtabd则有dtjaiayx)(量各自积分：矢量对标量积分，各分jbibjdtaidtad

8、tabyxyx)()(各分量方向不变即,dtabdtabyyxx 第一种情况：第一种情况：矢量运算基础第二种情况，对矢量点乘积分：第二种情况，对矢量点乘积分：dzfdyfdxfrdfwdzfdyfdxfrdfdwzyxzyx总功元功变力沿曲线作功，如 :还有，对矢量叉乘积分，以后在电磁学里再讲。还有，对矢量叉乘积分，以后在电磁学里再讲。矢量运算基础微积分基础2yxddyyx已知：已知： 求：求：2( )f xx( ),(1)fxf初等函数的导数公式（一）（一） 不定积分的概念不定积分的概念 已知函数 ，如果存在一函数 ，使得 则称 为 的一个原函数。由于常数c的导数恒等于零，因此，任意可积函数的原函数都有无穷多个。 原函数 又称 的不定积分，记为： f x f x fxfx f x f x f x f x f xf x dxc 1 f xg x dxf x dxg x dxf x g x dxf xg x dxfxg x dx dx、2、1(1) 0(2) 1(3) 1(4) 1(5) ln(6) sincos(7) cossinnnxxdxcadxaxcx dxxcne dxecdxxcxxdxxcxdxxc 设一元函数y=f(x) ,在区间（a, b）内有定义。将区间（a, b）分成n个小区间(a, x0) (x0, x1) (x1, x2) .(xi, b)