第2节收敛数列的性质64585

1、1.2 收敛数列的性质 定理2.1 (唯一性) 若数列收敛, 则其极限唯一.证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得., 021nn ;1 axnnn时恒有时恒有当当;2 bxnnn时恒有时恒有当当一、一、 收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质 ,max21nnn 取取时有时有则当则当nn )()(axbxbann .2 axbxnn.时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故极限唯一故极限唯一.教材教材p7 反证法反证法相应的相应的, , 可以给出有可以给出有下界下界的定义的定义定义2.1 (数列有界的定义)若存在一个实数m，对数列所有的项都满足, ，对数列对数列

2、na, 3 , 2 , 1, nman.的上界的上界是是则称则称nam例如例如,;1 nn数列数列.2n数列数列有界有界无界无界一个数列即有上界又有下界一个数列即有上界又有下界, , 则称为则称为有界数列有界数列.定理定理2.22.2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axnnnn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxmn记记,mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注：有界未必一定收敛。（注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）有界性是收敛的必要条

3、件）推论推论 无界无界数列必定数列必定发散发散. .)1( 1是发散的是发散的数列数列比如：比如： nnx ; , n, , ,lim 1 o nnnannaaa有有时时当当则则且且设设 ; , n , ,lim ,lim 2 nnnnnnobannbabbaa 有有时时当当则则且且设设. , ,n, ,lim ,lim 3 babannbbaannnnnno 则则有有有有时时当当若若设设数数列列极极限限的的保保序序性性）(定理2.3 见教材见教材p8图形图形 | ,2)1(11aannnan当当取取;2 aaan即即,222 nannna当当同理，取同理，取.,max21 nannnnn当当

4、取取证明 则则令令,2)2(ab .2,| ,11baaaaannnnn 即即时时当当.2,| ,22babbbbnnnnn 即即时时当当.,max21nnbannnnn 由上得由上得当当取取.)2()3(可得可得用反证法由用反证法由注.,)3(babann 也可有也可有中即使有中即使有定理2.4二、二、 极限的四则运算极限的四则运算则则设设,lim,limbbaannnn ;lim)1(babannn ;lim)2(babannn . 0,lim)3( bbabannn其中其中证证; 由绝对值的三角不等式可得| |nnnnnna baba bababab. |bbabaannn | |nnn

5、nabbbm由 ， 收敛，可得 有界, 即,)1(2| , 011 maannnn ,)1(2| ,22 abbnnnn .|,max21 abbannnnnnn得得当当取取bbnn11lim )3( 先先证证, . , , 0112|时时当当对于对于nntsnb ,2|bbbn. 02| bbn且此时且此时有有时时所所以以当当 ,1nn . |22bbbn |11| bbbbbbnnn |bbbbnn便便有有时时因因此此当当 ,max21nnn .11lim ,bbnn 即证得即证得.)2(易见结论成立易见结论成立再由再由当当对对由由于于 . ,n 0, ,lim2tsbbnn .2| ,n

6、22 bbbnn 有有时时.|2|11| 2 bbbbbnn说明说明1 1 有有+ +无无= =无，无， 无无+ +无无= =不定；不定；; ,不定不定无无无无不定不定无无有有 .推广到有限项2 222212limnnnnn数学分析巩固与指导数学分析巩固与指导例1:.145432lim22 nnnnn求求22145432limnnnnn 原式原式221lim4lim5lim4lim3lim2limnnnnnnnnnn 52 解例2).1(lim , 1|12 nnqqqq计算极限计算极限设设).1(lim12 nnqqqqqqnnn 1lim11lim nnqqq lim1111 .11 q

7、qqnn 11lim解三、 夹逼定理证使得使得, 0, 0, 021 nn 定理2.5满足：满足：若数列若数列,nnncba则则且且,limlim, 3 , 2 , 1,nnnnnnncancba .limlimlimnnnnnncba 则则设设,limlimacannnn ,1 aannn时恒有时恒有当当,max21nnn 取取恒有恒有时时当当,nn , aaan即即,2 acnnn时恒有时恒有当当, acan上两式同时成立上两式同时成立, acbaannn,成立成立即即 abnlim.nnba例例3-13-1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnn

8、nnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn, 1lim 1 nnn由由于于知知由夹逼定理由夹逼定理 ,.11lim1成成立立对对 aann于是于是这时这时再设再设 , 1 ),1, 0(1 aa111lim1limnnnnaa11.1nnna111 有有时时当当先设先设 , 1, ana 证证1lim: 0, 1 naan求求证证设设例例4123-2: lim ()nnnnn例求极限1122nnnnnnnnn112n1122133nnnnnn123-3: lim (2)nnnn

9、例求极限22nn2 22nnnn例5.kaaa 210设设则则12limnnnnkknaaaa证明：knnknnknnnnkkakaaaaaa 21由夹逼定理，由夹逼定理，knnknnnaaaa 21lim由不等式定义定义2.2 数列数列中任意抽取中任意抽取无限多项无限多项并并保持保持nx这些项在这些项在原数列中的先后次序原数列中的先后次序，这样得到的一，这样得到的一个数列称为原数列个数列称为原数列nx的的子数列子数列，简称简称子列子列. knx记为记为 knk(教材教材p12)四、子列极限取取,nk 则当则当时时kk ，.nnnnnkk .lim,|axaxkknnn 证得证得于是于是 证证

10、设设是数列是数列的任一子列，由的任一子列，由knxnx,limaxnn 故对于任意给定的正数故对于任意给定的正数 存在着正整数存在着正整数,n当当nn 时时， |axn成立。成立。一子数列也收敛于一子数列也收敛于 .na定理2.6 如果数列如果数列收敛于收敛于a，那么它的任，那么它的任a定理的逆否命题此证明数列发散：sin n.)1( 1是发散的是发散的数列数列比如：比如： nnx na na则若数列的一个子列发散或有两个子列收敛于不同的极限, 一定发散.发散(教材教材p12)数列数列收敛于收敛于a na na21ka2ka的奇数项子列的奇数项子列和偶数项子列和偶数项子列都收敛于都收敛于a。

11、对于对于单调数列单调数列, 有一收敛子列则原数列收敛有一收敛子列则原数列收敛.对于对于单调数列单调数列, 数列收敛数列收敛的充分必要条件是的充分必要条件是有一收敛子列有一收敛子列.(证明在单调有界定理证明在单调有界定理)或或结论结论1 1结论结论2 2五、 无穷小. , 0简简称称无无穷穷小小这这个个数数列列称称为为无无穷穷小小列列那那么么的的极极限限为为如如果果收收敛敛数数列列na; | 1 为无穷小为无穷小为无穷小的充要条件是为无穷小的充要条件是nnoaa; , ,0 4*也是无穷小也是无穷小那么那么为无穷小为无穷小如果如果设设nnnnoabnnba ; , , 3为无穷小为无穷小那么那么

12、为有界数列为有界数列为无穷小为无穷小设设nnnnoacca;)( 2仍是无穷小仍是无穷小或差或差两个无穷小之和两个无穷小之和o.lim 5为无穷小为无穷小的充要条件是的充要条件是aaaannno 定义定义2.3 定理定理2.7 0)()()(lim21 naaaaaann例例6 6分析：分析：anaaann .lim 21. 0lim 21 nnn 则则0)(limlim aaaannnn, aann 令令, 0lim nn 若若则所证结论转化为则所证结论转化为.lim ,lim :421anaaaaannnn 求证求证已知已知例例证明：证明：, aann 令令, 0lim nn 若若. 0l

13、im 21 nnn 则则:则则待待证证结结果果转转化化为为, 0lim nn 由由 0, 对对.2 , nnn时时当当,n* n使得使得所以所以2)(|21 nnnnnnnn 212|21 nn12 nn而是有限数（当 取定）,n 1*1nnn 所以所以,1时时使得当使得当nn ,2|21 nn,22nnn 212|21 nn111lim12nnn12limnnna aaa 0lim, nnnaaa已知且求证12. lim, lim.nnnnaaaaaan已知求证（练习）（练习）（夹逼定理，调和平均（夹逼定理，调和平均几何平均几何平均 算术平均算术平均）p14 7.证明证明证明：,lim21saaann ）（若若, 02lim21 nnaaann）（则则12,lim.iiiisaaass令则nanasnnaaannn）（）（)1(2221 nsssssssnnnnn)()()(121 nsssnsnn)(21 1()nnss