Ch32多元函数求积分求导

1、二、多元微分学二、多元微分学 1.多元偏导和全微分多元偏导和全微分 如同一元函数的导数如同一元函数的导数, 多元函数的偏导仍用多元函数的偏导仍用 表示表示.diff例例9 求函数求函数 的偏导与全微分的偏导与全微分.arctanxzy输入命令输入命令结果为结果为 在上例中继续可以求出二阶偏导在上例中继续可以求出二阶偏导:继续执行命令继续执行命令 2.微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 绘制法线绘制法线功能：绘制功能：绘制(x,y,z)所表示的曲面的法所表示的曲面的法 线，且在点线，且在点(x,y,z)处曲面的法线。处曲面的法线。格式：格式：例例10 绘制圆柱面绘制圆柱面的法线的法线.程序

2、如下程序如下221xy图形为图形为 切线与法平面切线与法平面画切线与法平面需先求出它们的方程画切线与法平面需先求出它们的方程 设空间曲线设空间曲线 :,xx tyy tzz tt 当当 时时, 相应的切线方程和法平面方相应的切线方程和法平面方,0tttsx y z程为程为切线方程切线方程 000000,. tttxx tt x tyy tt y tzz tt z t法平面方程为法平面方程为:000000( )( )( )0.x txxy tyyz tzz求切向量求切向量 的命令为的命令为:( , , , )ajacobian x y z t ( ),( ),( )x ty tz t a的三个元

3、素分别为三个导数的三个元素分别为三个导数例例11 设曲线设曲线 :3sin ,3cos ,5 ,xt yt zt求曲线求曲线 在在 所对应点的切线和法平面方程，并画出曲所对应点的切线和法平面方程，并画出曲94t 切点的三个坐标切点的三个坐标a1为切向量为切向量线、切线和法平面方程线、切线和法平面方程.故所求的切线方程为：故所求的切线方程为：结果为：结果为：1 2.1213 -2.1213 5.0000a 02.1213, 02.1213, 03.9270 xyz0001(1)1(2)1(3)xxyyzzaaa法平面方程为：法平面方程为：1(1)(0)1(2)(0)1(3)(0)0axxayya

4、zz下面画曲线，切线和法平面：下面画曲线，切线和法平面：切线与法平面切线与法平面 切平面与法线切平面与法线则曲面在点则曲面在点000,xyz处的法向量为处的法向量为 ,xyznf f f或或, 10 .xynzz则相应的切平面为则相应的切平面为0000,xyzfxxfyyfzz或或 0000.xyzxxzyyzz 设空间曲面设空间曲面, ,0f x y z,zf x y或或：法线方程为法线方程为0000.1xyxxyyzzzz用用 函数可求出给定函数的法向量函数可求出给定函数的法向量.jacobian( )例例12：结果为：结果为：例例12 求出曲面求出曲面22:3zxy在点在点 处的切平面处

5、的切平面1,1,4和法线方程，并画出曲面、切平面和法线和法线方程，并画出曲面、切平面和法线.解：解：结果为：结果为：因此所求切平面方程为因此所求切平面方程为6(1)2(1)(4)0 xyz法线方程为：法线方程为：114621xyz 下面画曲面、切平面和法线下面画曲面、切平面和法线图形为图形为:它的意义是：函数它的意义是：函数 f ( x, y )在点在点( x 0 , y 0 )处沿着这处沿着这个梯度所指方向的变化率是最大的，这个变化率为个梯度所指方向的变化率是最大的，这个变化率为该梯度的模。该梯度的模。在高数书中，梯度是一个这样的向量：在高数书中，梯度是一个这样的向量：(,)(,)xyfxy

6、 ifxyj 0000它称为函数它称为函数( , )f x y在点在点(,)xy00的梯度的梯度. 梯度梯度梯度的计算方法：梯度的计算方法：1)jacobian命令命令函数函数zxy22在点在点( , )x y梯度为：梯度为：x iy j 22 数值梯度数值梯度 格式格式f ,f gradient( , )xyf h 功能功能对已知函数求两个方向上的梯度对已知函数求两个方向上的梯度.例例13 已知二元函数已知二元函数22exyzx及区域及区域 2,2,x y 求梯度向量并作图求梯度向量并作图.程序为程序为: 4.多元函数的极值多元函数的极值 求极值方法求极值方法 格式格式1 0fminsear

7、ch f,xx 功能功能用单纯性方法求函数在指定处附近的极值用单纯性方法求函数在指定处附近的极值. 格式格式2 0fminsunc f,xx 功能功能用牛顿方法求函数在指定处附近的极值用牛顿方法求函数在指定处附近的极值.http:/ 16 求函数求函数44,54f x yxyxy在原点附近在原点附近 的极值的极值.先作出曲面大致图形先作出曲面大致图形,观察到在原点附近有观察到在原点附近有极大值或极小值极大值或极小值. 程序为程序为:结果为结果为:三、多元函数积分三、多元函数积分 1.二重积分计算二重积分计算 格式格式:int, , ,f x a b 功能功能:求函数求函数 f 对变量对变量 x

8、 在指定区域上在指定区域上a,b的的定积分定积分. 例例 17 计算二重积分计算二重积分2110dd .yyxx输入命令输入命令注：积分区域为矩形注：积分区域为矩形积分区域确定方法如下：先画出积分区域的边界积分区域确定方法如下：先画出积分区域的边界.注：要确定积分区域，才能使用注：要确定积分区域，才能使用int函数函数.例例18 求积分求积分22ed ,xyd其中其中d221,2 ,xyyx2.5x 在第一象限在第一象限是由是由围成的部分围成的部分.在在matlab命令窗口中输入：命令窗口中输入： 可以看到，可以看到，需要求出抛物线需要求出抛物线和双曲线的交点和双曲线的交点22edxyda22

9、2.5(2* )1/2sqrtxxyaxdxedy22yx 12yx 下面求抛物线和双曲线的交点下面求抛物线和双曲线的交点下面计算积分：下面计算积分：例例 19 求二重积分求二重积分22d ,dxy其中其中 由由d20.5,yx围成围成.,152yx yx解解 先作出区域的图形先作出区域的图形.需要求出这些曲线的交点需要求出这些曲线的交点求交点的坐标求交点的坐标a.xb.xc.xa.yb.yc.y 22.20.522.15 222.()()db xxa xxc xxb xxxyddxxydydxxydy .20.52222.()b xxa xxdxyddxxydy .()b xxa xxdxx

10、ydy 20 522.()b xxa xxdxxydy 15222.()c xxb xxdxxydy 15 222 二重积分二重积分 格式一：格式一：dblquad , , , ,f a b c d注：这里函数注：这里函数f是指是指m文件函数文件函数 功能：功能： 对指定函数在矩形区域上作二重对指定函数在矩形区域上作二重数值积分数值积分.dblquad命令：命令： 格式二：格式二：dblquad, , , ,f a b c d注：这里函数注：这里函数f是指用是指用inline命令建立的命令建立的内联函数内联函数例例20 计算积分计算积分221/2221desind .xxxyy输入输入也可先定

11、义函数文件也可先定义函数文件, 再调用求解函数再调用求解函数. 注意要使用点乘，这是因为注意要使用点乘，这是因为dblquad是进行数值积分，是进行数值积分，里面涉及到向量或矩阵的运算里面涉及到向量或矩阵的运算然后在然后在matlab命令窗口中输入：命令窗口中输入：例例21 计算积分计算积分22222ln 1d ,:4.dxxyd xy先将此积分转化为极坐标下的积分先将此积分转化为极坐标下的积分:2222232200ln 1ddln 1cosd . dxxy再输入再输入: 3.三重积分计算三重积分计算 格式格式triplequad, 1, 1, 2, 2, 3, 3f a b abab 功能功能求函数在指定（长方体）区域上的三重积分求函数在指定（长方体）区域上的三重积分. 例例22 计算三重积分计算三重积分222d ,xyzv其中