第4章傅里叶级数和变换

1、第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析p1164.1 引言引言信号与系统的时域分析信号与系统的时域分析变换域分析（频域分析）变换域分析（频域分析）任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示1822年，法国数学家傅里叶提出；年，法国数学家傅里叶提出；poisson、gauss等将其应用到电学中；等将其应用到电学中；20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立叶分析的应用开辟了广阔的前景叶分析的应用开辟了广阔的前景周期信号周期信号傅里叶级数傅里叶级数非周期信号非周期信号傅里叶变换傅里叶变换4.

2、2 傅里叶级数傅里叶级数(fourier series)为正整数其中：ntnbtnaatfnnn1110)sin()cos()(设周期信号设周期信号f(t)，周期，周期t1，角频率角频率1=2f1=2 /t1，则：，则：一一.三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数1001)(10ttttdttfa直流分量：通常积分区间取为通常积分区间取为0t1或或-t1/2+t1/21001)cos()(12ttttndttntfa余弦分量的幅度：.2, 1)sin()(100112ndttntfbttttn其中正弦分量的幅度：被展开的函数被展开的函数f(t)需满足需满足“狄利克雷条件狄利克雷条件”

3、： (了解了解)（1）在一周期内，不连续点的个数有限，且极）在一周期内，不连续点的个数有限，且极大值和极小值的数目应有限；大值和极小值的数目应有限；（2）在一周期内，信号是绝对可积的；）在一周期内，信号是绝对可积的；dttfttt100)(即：)cos()(110nnntncctf其它形式：各个量的关系：各个量的关系：00sincoscacbcannnnnn1110)sin()cos()(nnntnbtnaatfnnabnnnnbactan22二二.指数函数形式的傅里叶级数指数函数形式的傅里叶级数)()sin()()cos(1111211211tjntjnjtjntjneetneetn)(si

4、n)(cos2121jxjxjjxjxeexeexxjxexjxeeulerjxjxsincossincos公式：ntjnneftf1)(1001)(1000ttttdttfacf222121|nnnnnbacff代入方程：和将)()sin(),cos(2111nnnjbaftntnnjnttttjnnefdtetftf1001)(11式中：例：周期矩形脉冲信号例：周期矩形脉冲信号f(t)，脉宽，脉宽，脉冲幅度，脉冲幅度e=1，周期，周期t1 ,/t1=1/4, 求三角函数和指数形式的傅里叶级数。求三角函数和指数形式的傅里叶级数。p131例题例题解：解： 三角函数形式三角函数形式1110)si

5、n()cos()(nnntnbtnaatf1001)(10ttttdttfa直流分量：t/2-/2f(t)11221teedtt1001)cos()(12ttttndttntfa余弦分量的幅度：221)cos(12dttnet21014)cos(dttnet20111sin14tnnte变变不不变变1sin2tnnean111sin2tntntnne)2(11nsaetttsasin)(定义：f(t)t（抽样函数、抽样信号）（抽样函数、抽样信号）)(211tnsate sa(t)=sa(-t) 偶函数偶函数ttsatsinlim)0(0 dttsa )( t =，2，n；sa(t)=0f(t)

6、t=1tttsasin)(定义：（抽样函数、抽样信号）（抽样函数、抽样信号）1001)sin()(12ttttndttntfb正弦分量的幅度：结论：若结论：若f(t)为偶函数，为偶函数， 若若f(t)为奇函数，为奇函数，112)cos()()(111ntntetetnsatf221)sin(12dttnet0则则bn=0则则an=01142141)cos()()(nntnsatf110)cos(nnntncc).1806cos(10.0)1805cos(09.0)03cos(15.0)02cos(32.0)0cos(45.025.011111ttttt.6cos10.05cos09.03cos

7、15.02cos32.0cos45.025.011111ttttt为什么没有为什么没有4w1的频率分量？（因为第四根谱线过零点）的频率分量？（因为第四根谱线过零点）|cn | 幅度频谱（幅度谱）；幅度频谱（幅度谱）；每一条线代表某一频率分量的幅度每一条线代表某一频率分量的幅度谱线；谱线； n 相位频谱（相位谱）；相位频谱（相位谱）；112)cos()()(111ntntetetnsatf过零点, 4, 141nmmntn|cn | 幅度频谱（幅度谱）；幅度频谱（幅度谱）；每一条线代表某一频率分量的幅度每一条线代表某一频率分量的幅度谱线；谱线； n 相位频谱（相位谱）；相位频谱（相位谱）； 指数

8、形式指数形式ntjnneftf1)(22111dteetftjnn)()(44111ntntesasa1001)(11ttttjnndtetftf式中：ntjnnesatf1)()(441njnnefnff|)(1复数频谱复数频谱 fn 复数幅度谱复数幅度谱 |fn| 复数相位谱复数相位谱 n 幅度谱为偶函数，幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数相位谱为奇函数 njnnefnff|)(1复数频谱复数频谱 fn 复数幅度谱复数幅度谱 |fn| 复数相位谱复数相位谱 n 三角形式：单边频谱三角形式：单边频谱 指数形式指数形式 ：双边频谱：双边频谱幅度关系幅度关系 ：1001)(1000ttttdttfa

9、cf222121|nnnnnbacff周期信号频谱图的特点：周期信号频谱图的特点：1. 两种频谱图的关系：两种频谱图的关系：ntjnneftf1)()cos()(110nnntncctf其它形式： 频谱由离散的谱线组成；频谱由离散的谱线组成；（离散性）（离散性） 谱线是以谱线是以1为间隔等距离分布的；为间隔等距离分布的；（谐波性）（谐波性） 谱线幅度随谱线幅度随 n 的增大而逐渐衰减至零。的增大而逐渐衰减至零。（收敛性）（收敛性）2. 频谱图的特点：频谱图的特点：概念：概念： 频率为频率为f1的分量称为的分量称为基波基波或或一次谐波一次谐波；频率为频率为2 f1， 3f1，等分量称为等分量称为

10、二次谐波、二次谐波、 三次谐波三次谐波。 通常把通常把=0 2/这段频率范围称为矩形信号的这段频率范围称为矩形信号的频频带宽度带宽度，)/(2sradb)(1hzffb或：221n 在信号的有效带宽内，集中了信在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配匹配”。信号的有效带宽有多种定义方式。幅频不变，零相位幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变幅频为常数，相位不变5.

11、对称特性(1) 纵轴对称信号ft(t)=ft(t)220cos)(2tttntdtntfta220sin)(2tttntdtntftb纵轴对称周期信号纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流项直流项与余弦项余弦项。t0 / 2t0 / 2t0f(t)a200cos)(4tttdtntft0(2) 原点对称信号 ft(t)=ft(t)t0f(t)a-at0 / 2t0 / 2原点对称周期信号原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦项正弦项。220cos)(2tttntdtntfta220sin)(2tttntdtntftb0200sin)(4tttdtntft(3) 半波重迭信号 f

12、t(t)=f(tt/2) 半波重叠周期信号半波重叠周期信号只含有正弦与余弦正弦与余弦的的偶次谐波分量偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。t)(tft/2-t/2(4) 半波镜像信号 ft(t)=f(tt/2)半波镜像半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的周期信号只含有正弦与余弦的奇奇次谐波分量次谐波分量，而，而无直流分量与偶次谐波分量无直流分量与偶次谐波分量。t)(tft/2t0说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性)(tf0tt2t3tt2t3a)(tf0 tt2t3tt2t32/a去掉直流分量后，信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。2

13、222d)(1nnttcttftp任意周期信号的平均功率等于信号所任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。 |fn|2 随随n0 分布情况称为分布情况称为周期信号的功率频谱，简称周期信号的功率频谱，简称。例例3 3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中a=1，t=1/4，=1/20。 解：解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为)2(sa0ntafn将a=1，t=1/4， = 1/20，0= 2/t = 8 代入上式)5/(sa2 . 0)40/(sa2 .

14、 00nnfn22tatt)(tf例例3 3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 / )内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中a=1，t=1/4，=1/20。 2nc0n84040251)5(sa25122nfn22tatt)(tf)5/(sa2 . 0nfn2nc0n8404025122tatt)(tf)5/(sa2 . 0nfn包含在有效带宽(0 2 / )内的各谐波平均功率为41=22044=21 |2 |nnnnfffp1806. 0%90200. 01806. 01pp信号的平均功率为2 . 0d)(12/2/2ttttftp)5(sa25122nfn2 .

15、0d14d14d)(140/140/12/2/2/2/2ttttftptt周期信号的频谱如图，试写出周期信号的频谱如图，试写出信号的信号的fourier级数表示式。级数表示式。40f31f12f23f由图可知由图可知tnnnftf0je)()ee (2)ee ()ee ( 34000000j3j3j2j2jjtttttt)3cos(4)2cos(2)cos(64000ttt第4章 周期信号的频域分析小结n分析问题使用的数学工具为傅里叶级数傅里叶级数n最重要概念：频谱函数频谱函数n要点要点1. 频谱的定义、物理意义2. 频谱的特点对概念的理解，测试： 给出频谱图，写出傅里叶级数何时使用三角函数形

16、式？或指数函数形式？5.1 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换t1 ，1 t1，1 01001)(11ttttjnndtetftfntjntnteesatf111)()(一一.从周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶变换从周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶变换 傅里叶正变换傅里叶正变换212111)(1频谱：)(1ttdtetftfeftftjnnntjnn212111)(21ttndtetffttjnfndtetfftjftjntfn)(limlim)(120111傅立叶级数展开式傅立叶级数展开式物理意义物理意义: f(j)是单位频率所具有的信号频谱，是单位频率所具有的信号

17、频谱，称之为非周期信号的称之为非周期信号的频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱函数频谱函数。 傅里叶反变换傅里叶反变换ntjnneftf1)()()()(12211111netfnntjnfn1, ,)(, 0,1111ndnnt当dejftj)(21傅立叶级数展开式傅立叶级数展开式dejfjfftftj)()()(211dtetftffjftj)()()(二二.定义定义原函数原函数f(t) 象函数象函数f(j) f(j)一般为复数，一般为复数，)()()(jejfjf|f(j)| 幅度频谱幅度频谱|()| 相位频谱相位频谱三三. . 频谱函数与频谱密度函数的区别频谱函数与频谱密度函数的区

18、别（1）周期信号的频谱为周期信号的频谱为离散离散频谱，频谱，非周期信号的频谱为非周期信号的频谱为连续连续频谱频谱。（2）周期信号的频谱为周期信号的频谱为fn的分布，的分布，表示表示每个谐波分量的复振幅每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为非周期信号的频谱为t fn的分布，表示的分布，表示每单位带宽内每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。，即频谱密度函数。两者关系：00020limlim)(nfnttfjf5.2 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱一一.矩形脉冲信号矩形脉冲信号 （p156 例例5-1）tf(t)e/2-/2dtetfjftj)()(22dteetj)(2saet/2-/2f(t)tf(t)e/2-/2周期性矩形脉冲信号的频谱