第一节导数的概念76682

1、第一节第一节 导数的概念导数的概念一、问题的提出一、问题的提出二、导数的定义二、导数的定义三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系一、问题的提出一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于, t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00)()(tttsts ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得tstvt 00lim)(瞬时速度瞬时速度0.gt,21)(2gttss 位位置置函函数数为为2t)(tlim00 gtt例例 瞬时速度问题瞬时速度问题设质点沿直

2、线运动的位置函数为设质点沿直线运动的位置函数为 s = s(t) ，求其在时刻求其在时刻 t0 的的(瞬时瞬时)速度速度. )(0ts)(ts0ttsot0 到到 t 的平均速度为的平均速度为00)()(tttststsv 故在故在 t0 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0000)()(limlim0tttststsvttt 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放 t0 xxoxy)(xfy cnm如图如图, 如果割线如果割线mn绕点绕点m移动而趋向极限位置移动而趋向极限位置mt,直线直线mt就称为曲线就称为曲线c在点在点m处的处的切线切线.).,(),(00

3、yxnyxm设设的斜率为的斜率为割线割线 mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,mnc沿曲线沿曲线,0 xx 的斜率为的斜率为切线切线 mt00)()(limtan0 xxxfxfkxx 两个问题的两个问题的共性共性: :瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限 . .类似问题还有类似问题还有: :加速度加速度电流强度电流强度是是速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是电量增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限变化率问题变化率问题000)()(lim0tttstsvtt 00

4、)()(lim0 xxxfxfkxx 二、导数二、导数(derivative)的定义的定义, )(dd,)(,)(,)()(lim),(,),()(00000000000 xyxyxxfxxfxxfxxfxuxxxuxxfyxxx 或或记为记为点的导数点的导数在在且称极限值为且称极限值为点可导点可导在在则称则称存在存在若若且且内有定义内有定义的某个邻域的某个邻域在点在点设函数设函数 1.定义定义,)()(limdd0000 xxfxxfxyxxx 即即.dd)(00 xxxfxf 或或导数也可记为导数也可记为.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反

5、映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数ixfixfy 1、2、关于导数的说明：关于导数的说明：.),()(,),()(,),()(. 2内的可导函数内的可导函数是是称称这时也这时也内可导内可导在在则称函数则称函数都可导都可导处处内的每一点内的每一点在开区间在开区间若函数若函数baxfbaxfbaxf( , ) ,( ),( , ),( ),( ).xa bf xa bdyf xfxdx 对对总总有有唯唯一一确确定定的的导导数数与与之之对对应应 这

6、这样样在在内内定定义义了了一一个个新新的的函函数数 称称为为的的导导函函数数 记记为为或或.)()(lim)(, ),(0 xxfxxfxfbaxx 即对即对.)()(00 xxxfxf 显然有显然有. ),()(badxf 记为记为22.yxx例例求求在在处处的的导导数数. )()(00不同不同与与 xfxf注意：导数定义实质上是函数在注意：导数定义实质上是函数在 x0 关于关于 x 的的增量增量 y 与自变量的增量与自变量的增量 x 之比的极限之比的极限 ，于是，于是定义可改写为：定义可改写为：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)0()(lim)0(0 xfxffx 特

7、别地特别地,)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 得得令令,hx ,)()(lim)(000 xfxfxf 0hhh3. 求导举例求导举例);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 取极限取极限按定义求导数的步骤为：按定义求导数的步骤为：)()1 c,0 )()2 nx,1 nxn)()3 xa,lnaax )()4 xe,xe )(sin)5 x,cosx )(cos)6 x,sinx )(ln)7 x.1x 1).)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数ccxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0

8、 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即2 2).)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1rxx )( x例如例如,12121 x.21x )1( x)(1 x.12x )1( xx)(43 x4743 x3).)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 4).)(sin,sin)( xxxf求求设函

9、数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即.sin)(cos:xx 类似地有类似地有5) 求函数求函数 的导数的导数. . xxfln)( 解解hxhxxhln)ln(lim)(ln0 )1(ln1lim0 xhhh hhxh10)1(lnlim xhxhxh10)1(lnlim hxhxhx)1(lnlim10 x1 .1)(lnxx 即即)()1 c,0 )()2 x,1 x)()3 xa,lnaax )()4 xe,xe )(sin)5 x,cosx )(cos)6 x,sinx )(l

10、n)7 x.1x 例例1 1则则存在存在若若,)(0 xf xxfxxfx )()(lim)1(000)(0 xf hhxfhxfh)()(lim)2(000 )(20 xf hhxfhxfh)()(lim)3(000 )()(0 xf )()1(lim)4(00 xfnxfnn )(0 xf 则则令令,0hxt 原式原式htfhtfh2)()2(lim0 )(lim0tfh )(0 xf 是否可按下述方法作是否可按下述方法作: :例例 设设)(0 xf 存在存在, ,求极限求极限.2)()(lim000hhxfhxfh 解解: : 原式原式 hhxfxfhxfhxfh2)()(2)()(li

11、m00000)(210 xf )(210 xf )(0 xf )(2)()(2)()(lim00000hxfhxfhxfhxfh4. 单侧导数单侧导数2) 右导数右导数 (right hand derivative)1) 左导数左导数 (left hand derivative)000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 定理定理. )()()(000 xfxfxf 存在存在如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及 )(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导. ;)()

12、(lim000 xxfxxfx ;)()(lim000 xxfxxfx 例例2 2.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,00)( xxxxxfxfxffx)0()(lim)0(0 ,1 xfxffx)0()(lim)0(0 .1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在 xxxfxxx 0limxxx 0lim例例3 3.0)(010 )(2处的可导性处的可导性在在讨论讨论，设设 xxfxexxxfx解解xxxfxfxx0lim)0()(lim200 ,0 xexfxfxxx 1lim)0()(lim00,1 ),0()0( ff即即.0)(点

13、不可导点不可导在在 xxf )0(f )0(f5. 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy t0 xm1) 几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxmxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy .112程程处的切线方程和法线方处的切线方程和法线方在在求曲线求曲线例例 xxy解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为1xky 21()xx 12xx 2 . 所求切线方程为所求切线方程

14、为法线方程为法线方程为12(1),yx11(1) ,2yx210.yx即即210.yx即即11,xy 例例2 2.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即.)(,lim00处不可导处不可导在点在点则称则称不存在不存在若若xxfyxyx .)

15、(,)(,lim000 xfxxfyxyx并记为并记为无穷大无穷大处导数为处导数为在点在点则称则称若若 ) .)(0轴轴处切线垂直于处切线垂直于在点在点即曲线即曲线xxxfy 处处在在例如：例如：0)(3 xxxf切线方程切线方程: :)(000 xxxfyy 法线方程法线方程: :)()(1000 xxxfyy )0)(0 xf,)(0 xf曲线在点曲线在点处的处的),(00yx,0)(0 xf若若切线与切线与 x 轴平行轴平行, ,)(0 xf若若切线与切线与 x 轴垂直轴垂直 . .解解)(3 xy3231 x,13132x ,0 xy0 x,3113132 x令令,1 x得得,1 y对

16、应对应则在点则在点(1,1) , (1,1) 处与直线处与直线 平行的平行的131 xy切线方程分别为切线方程分别为),1(131 xy, )1(131 xy即即,023 yx故在原点故在原点 (0 , 0) 处有垂直切线处有垂直切线3xy 131 xy例例 问曲线问曲线 哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线 平行平行 ? 写出其切线方程写出其切线方程. .023 yx2) 物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度. .lim)(0d

17、tdststvt 例：如何用导数表示速度，线密度，功率，加速度，例：如何用导数表示速度，线密度，功率，加速度，角速度等量。角速度等量。三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系定理定理 若函数在某点处可导若函数在某点处可导, ,则函数在该点处连续则函数在该点处连续. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf, )(lim00 xfxyx 即有即有,)(0 xfxyxxxfy )(0即即)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 其中其中三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系定理定理 若函数在某点处可导若函数在某点处可导, ,则函数在该

18、点处连续则函数在该点处连续. .若若函数不连续，则一定不可导函数不连续，则一定不可导.,)(badxf ,)(bacxf 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立,即即连续函数不连续函数不一定可导一定可导.(连续是可导的必要不充分条件连续是可导的必要不充分条件.)连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例xy2xy oxy 例例1,0,0,)(2 xxxxxf.0处连续但不可导处连续但不可导在在 x例例2, 1)(3 xxf.1处连续但不可导处连续但不可导在在 xxyo131 xy,0, 00,1sin)( xxxxxf例例3.0处连续但不可导处连续但不可导在在 x011/1

19、/xy例例4 4.0)(,0),1(0,)(2处可导处可导在在使使求求设设 xxfbaxxbxexfax此种题型必须此种题型必须先考虑连续性先考虑连续性得到一个关系式得到一个关系式 ,再由可导再由可导得到另一个关系式得到另一个关系式 , 联立求解参数联立求解参数.分段函数求分界点导数一定要用左右导数定义求分段函数求分界点导数一定要用左右导数定义求. .四、小结四、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续

20、不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.思考与练习思考与练习1、函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？ .0)(,)(lim,0)(. 20处可导处可导在在证明：证明：存在存在且且处连续处连续在在设设 xxfxxfxxfx?0)(,| )(|, ),(. 32是否可导是否可导在在问问恒有恒有若若 xxfxxfx .)1(,12

21、)1()1(lim,)(. 40fxxffxfx 求求且且存在存在设设思考与练习思考与练习1、函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？ 区别区别: :联系联系: :,)(是函数是函数xf .)(0是数值是数值xf )()(00 xfxfxx 注意注意: : )()(00 xfxf.0)(,)(lim,0)(. 20处可导处可导在在证明：证明：存在存在且且处连续处连续在在设设 xxfxxfxxfx)(xf._)(lim,)0(,0)0(00 xxfkffx则则已知已知例例0k.0)(,)(lim,0)(. 20处

22、可导处可导在在证明：证明：存在存在且且处连续处连续在在设设 xxfxxfxxfx)(xf证证,)(lim0存在存在xxfx,0)(lim0 xfx应有应有,0)(处处连连续续在在又又 xxf,0)0( f故有故有xxfx)(lim0 xfxfx)0()(lim0 , )0(f .0)(处可导处可导在在即即 xxf._)(lim,)0(,0)0(00 xxfkffx则则已知已知例例0k?0)(,| )(|, ),(. 32是否可导是否可导在在问问恒有恒有若若 xxfxxfx 解解,0)0( f由题设可知由题设可知0)0()( xfxf, | x 0由夹逼准则得由夹逼准则得0)0()(lim0 x

23、fxfx.0)0( f且且,0 可导可导在在0)( xxf,0|lim0 xx解解.)1(,12)1()1(lim,)(. 40fxxffxfx 求求且且存在存在设设xxffx2)1()1(lim0 xfxfx2)1()1(lim0 )()1()(1(lim210 xfxfx 1)1(21 f.2)1( f一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设)(xf在在0 xx 处可导，即处可导，即)(0 xf 存在，则存在，则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物体的运动规律为已知物体的运动规律为2ts ( (米米) )，则该物体

24、在，则该物体在 2 t秒时的速度为秒时的速度为_ ._ .3 3、 设设321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 则则它们的导数分别为它们的导数分别为dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .练习题练习题4 4、 设设2)(xxf , ,则则 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 线曲 线xey 在 点在 点)1,0(处 的 切 线 方 程 为处 的 切 线 方 程 为_._.二、二、 在下列各题中均假定在下列各题中均假定)(0 xf 存在， 按照导数的定义存在， 按照导数的定义观察下列极限，分析并指出观察下

25、列极限，分析并指出 a表示什么？表示什么？ 1 1、axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、ahhfh )(lim0，其中其中)0(0)0(ff 且且存在存在； 3 3、ahhxfhxfh )()(lim000. . 三、证明：若三、证明：若)(xf为偶函数且为偶函数且)0(f 存存在，则在，则0)0( f. . 四、四、 设函数设函数 0,00,1sin)(xxxxxfk问问k k满足什么条满足什么条件，件，)(xf在在0 x处处 (1)(1)连续；连续； （2 2）可导；）可导；（3 3）导数连续）导数连续. .五、五、 设函数设函数 1,1,)(2xbaxxxxf, ,为了使

26、函数为了使函数)(xf在在1 x处连续且可导，处连续且可导，ba ,应取什么值应取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 证明：双曲线证明：双曲线2axy 上任一点处的切线与两上任一点处的切线与两 坐标轴构成的三角形的面积都等于坐标轴构成的三角形的面积都等于22a. .八八、 设设有有一一根根细细棒棒，取取棒棒的的一一端端作作为为原原点点，棒棒上上任任意意点点的的坐坐标标为为x，于于是是分分布布在在区区间间1,0上上细细棒棒的的质质量量m是是x的的函函数数)(xmm 应应怎怎样样确确定定细细棒棒在在点点0 x处处的的线线密密度度（对对于于均均匀匀细细棒棒来来说说，单单位位