数学：第三章圆复习课件(北师大版九年级下)

1、点的轨迹三种位置关系垂径定理圆心角定理圆周角定理弦切角定理圆的内接四边形定理切线的性质与判定定理切线长定理相交弦定理两圆公共弦定理圆的公切线圆内正多边形弧长、扇形面积公式侧面展开图 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长

2、为半径的圆；半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线到两条直线距离都相等的一条直线集合：轨迹：点与圆直线与圆圆与圆点

3、在点在圆内圆内 dr 点点a在圆外在圆外 r d d c b a o直线与圆直线与圆相离相离 dr 无交点无交点 直线与圆直线与圆相切相切 d=r 有一个交有一个交点点 直线与圆直线与圆相交相交 dr+r外切外切（图（图2） 有一个交点有一个交点 d=r+r相交相交（图（图3） 有两个交点有两个交点 r-rdr+r内切内切（图（图4） 有一个交点有一个交点 d=r-r内含内含（图（图5） 无交点无交点 dr-r 图1 r r d 图2 r r d 图3 r r d 图4 r r d 图5 r r d垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推

4、论推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧另一条弧 以上共以上共4个定理，简称个定理，简称2推推3定理：此定理中共定理：此定理中共5个结论中，只个结论中，只要知要知道其中道其中2个即可推出个即可推出 其它其它3个结论，即：个结论，即： ab是直径是直径 abcd ce=de

5、或或 或或 推论推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在即：在 o中，中，abcd o e d c b a o c d a bbcbdacadacbd圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称此定理也称1推推3定理，即上述四个结论中，定理，即上述四个结论中，只要知道其中的只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的个相等，则可以推出其它的3个结个结论论 也即：也即：aob=doe ab=de oc=of 或或 f e d c b a obaed

6、圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：即：aob和和acb是是 所对的圆心角和圆周角所对的圆心角和圆周角 aob=2acb圆周角定理的推论：圆周角定理的推论：推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧所对的弧是等弧即：在即：在 o中，中，c、d都是所对的圆周角都是所对的圆周角 c=d推论推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径

7、圆，所对的弦是直径即：在即：在 o中，中，ab是直径是直径 或或c=90 c=90 ab是直径是直径推论推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三角形即：在即：在abc中，中，oc=oa=ob abc是直角三角形或是直角三角形或c=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。中线等于斜边的一半的逆定理。ab c b a o d c b a o c b a o c b a o o c b n m a弦切

8、角定理弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论推论1：如果两个弦切角所夹的弧相等，那：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。么这两个弦切角也相等。即：即：mn是切线，是切线，ab是弦是弦 bam=bca e d c b a圆的内接四边形定理圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。补，外角等于它的内对角。 即：在即：在 o中，中， 四边形四边形abcd是内接四边形是内接四边形 c+bad=180 b+d=180 dae=c n m a o（1）判定定理判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线：

9、过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：即：mnoa且且mn过半径过半径oa外端外端 mn是是 o的切线的切线（2）性质定理性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心即：过圆心 过切点过切点 垂直切线中知道其中两个条件推出最后垂直切线中知道其中两

10、个条件推出最后一个条件一个条件 mn是切线是切线 mnoa p b a o切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。的夹角。即：即：pa、pb是的两条切线是的两条切线 pa=pb po平分平分bpa圆内相交弦定理及其推论：圆内相交弦定理及其推论：（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在即：在 o中，中，弦弦ab、cd相交于点相交于点p papb=pcpa（2）推论推论：如果弦与直径垂

11、直相交，那么弦的一半是它分直径所成的：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。两条线段的比例中项。即：在即：在 o中，中，直径直径abcd （3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在即：在 o中，中，pa是切线，是切线，pb是割线是割线 （4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）的交点的两条线段长的积相等（如上

12、图）即：在即：在 o中，中，pb、pe是割线是割线 pc pbpd pe p o d c b a o e d c b a d e c b p a o22cedeea eb2papc pb b a o1 o2圆公共弦定理圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦：连心线垂直平分公共弦 即：即： o1、 o2相交于相交于a、b两点两点 o1o2垂直平分垂直平分ab c o2 o1 b a两圆公切线长的计算公式：两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长公切线长：在：在rto1o2c中，中，（2）外公切线长外公切线长：co2是半径之差；是半径之差； 内公切线长内公切线长：co2是半径之和是半径之和 22221122abcoooco（1）正三角形）正三角形 在在 o中中 abc是正三角形，有关计算在是正三角形，有关计算在rtbod中进行，中进行，od:bd:ob=（2）正四边形）正四边形同理，四边形的有关计算在同理，四边形的有关计算在rtoae中进行，中进行，oe :ae:oa=（3）正六边形）正六边形同理，六边形的有关计算在同理，六边形的有关计算在rtoab中进行，中进行，ab:ob:oa=1:3:21