第一章5基本初等函数的导数

1、1.2.2基本初等函数的导数一、教学要求：一、教学要求： 第一课时：能利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数。第二课时：理解复合函数的定义，掌握复合函数的求导公式。 二、重难点：二、重难点：第一课时：两个函数商的导数公式的运用 第二课时：复合函数的分解我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa af

2、xefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则知识点拨1.对公式的理解在上述公式中,可分为四类:(1)(2）属于幂函数,f(x)=xn中的n可推广到全体实数;(3)(4)属于三角函数;(5)(6)属于指数函数,ex是ax的特例;(7)(8)属于对数函数，lnx是logax在a=e时的特殊情况2.简单函数的求导对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为可以直接用公式的基本函数模式,以免求导过程中出现指数或系数的运算失误.例1 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5，物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有

3、如下函数关系 tptp%)51 ()(0 品的p0=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?其中p0为t = 0时的物价。假定某种商解：根据基本初等函数导数公式表，有05. 1ln05. 1)( ttp)/(08. 005. 1ln05. 1)10( 10年元 p因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为)10080(1005284)(xxxc求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）

4、90 （2）98解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数)1005284()( xxc2)100()100(5284)100(5284xxx2)100() 1(5284)100(0 xx2)100(5284x84.52)90100(5284)90( ) 1 (2c因为所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨1321)98100(5284)98( )2(2c因为所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨例6 已知曲线s1:y=x2与s2:y=-(x-2)2,若直线l与s1,s2均相切,求l的方程.解:设l与s1相切于p(x1,x12),l与s2相切于q(x2

5、,-(x2-2)2).对于 则与s1相切于p点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.,2,1xys 对于 与s2相切于q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2xys因为两切线重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.1.过曲线y=x2上点p（2，4）的切线方程为（ ） a. y=2x 4 b. y=4x4 c. y=2x+4 d. y=4x+4巩固练习b【解析】y = (x2 ) =2x,k = y | x=2 = 4所以，所求切线方程为：y4 = 4（ x2），即y = 4x4故选.b.2.已知（x）=xa,若 （1）=4，则的 值等于（ ） a.4 b.4 c.5 d.5a.a.4)1(, 41)(11故选）（，又）（【解析】aaaxxxaaa3.(2007,全国)已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐 标为（ ）a.1 b.2 c.3 d.4241xy 21.a