第一章、第七节重要极限

1、第七节第七节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 一、极限存在准则一、极限存在准则 二、两个重要极限二、两个重要极限 三、小结三、小结 思考题思考题一、极限存在准则一、极限存在准则i1.夹逼准则夹逼准则证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 nn ,1 aynnn时恒有时恒有当当,2 aznnn时恒有时恒有当当,max21nnn 取取上两式同时成立上两式同时成立, ), 3, 2, 1()1( nzxynnnazynnnn limlim)2(那么数列那么数列nx的极限存在，且的极限存在，且axnn lim恒有恒有时时当当,nn , ayan即即, azan, azxy

2、annn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 nn ,1 aynnn时恒有时恒有当当,2 aznnn时恒有时恒有当当,max21nnn 取取上两式同时成立上两式同时成立,注意注意: :,nnzy 与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.)()()(xhxfxg axhxgxxxxxx )(lim)(lim)2()()(00那么那么)(lim)(0 xfxxx 存在，且等于存在，且等于 a

3、 .的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且nnzy例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnac重要极限（重要极限（1）1sinlim0 xxx)20(, xxaobo 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有xobd.aco ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xoab的圆心角为的圆心角为扇形扇形,bdoab的高为的高为 ,tansinx

4、xx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxcos10 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xxxxcoslim0. 1sinlim0 xxxacxobd,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有,tansinxxx , 1sincos xxx即即)cos1(1lim0 xx )cos1(lim1lim00 xxx 1 1sincos xxx有有1sinlim0 xxx几个重要的不等式几个重要的不等式)20(,tansin)1( xxxx)2|0(|,tan|sin| xxxx或

5、或时时当当2|0)2( x,1sincos xxx,2cos102xx 容易混淆的形式容易混淆的形式1sinlim xxx 0sinlim xxx. 1coslim0 xx例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 2022sinlim21 xxx2121 .21 2022sinlim21 xxx 20,0 xuux时时20sinlim21 uuu重要极限（重要极限（1）的统一形式）的统一形式1)(sin)(lim1)()(sinlim xyxyxyxy或或0)(lim xy其中其中1sinlim1sinlim 或

6、或0lim 其中其中例例3 3xxx sinsinlim0 xxxxxsinsinlim0 xxxxxx sinlimsinlim00 11例例4 430sin22sinlimxxxx 30sin2cossin2limxxxxx 201cossinlim2xxxxx 12112 200cos1limsinlim2xxxxxx 例例5 5nnna3sin3lim aaannn 33sinlimaa 10lim, 1sinlim 例例6 6xxxarctanlim0 xuuxarctan0,0时时uuutanlim0 uuuucossinlim0 uuuuucoslimsinlim00 111 x

7、1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:am二、极限存在准则二、极限存在准则iix1x2x3x1 nxnx准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限. 准则准则ii也可以推广到函数的情形，例如也可以推广到函数的情形，例如 000:)(:xxxxfii的的某某个个右右邻邻域域在在若若准准则则.)(,0必必存存在在则则单单调调且且有有界界 xf xxxxfi i000:)(:的的某某

8、个个左左邻邻域域在在若若准准则则.)(,0必必存存在在则则单单调调且且有有界界 xf.lim,3,33-1121nnnnxxxxxx 求求，设有数列设有数列例例7 7证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32aa 2131,2131 aa解得解得(舍去舍去).2131lim nnx(2)exxx )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(1

9、1(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 重要极限（重要极限（2）).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,exxx )11(lim重要极限（重要极限（2）证明的思路：证明的思路：（1）首先证明）首先证明 x 取正整数取正整数 n 的情形的情形利用二项

10、式公式可以证明数列利用二项式公式可以证明数列nnnx)11( 单调增加且有界，因此单调增加且有界，因此存在存在nnnnnx)11(limlim 记记ennn )11(lim)71828. 2( e（2）其次证明）其次证明 x 取实数趋于取实数趋于+ 或或 - 时，函数时，函数xx)11( 的极限都存在且等于的极限都存在且等于 e，即，即exxxxxx )11(lim)11(lim例如例如 x + 时，不妨设时，不妨设 n x n + 1， 因此因此1)11()11()111( nxnnxnennnnnn 1)11(lim)111(lim,)11(limexxx ,)11(limexxx 同理同

11、理容易证明容易证明exxx 10)1(limexxx )11(lim几点说明几点说明：（：（1）极限的类型）极限的类型型型 1（2）令）令,1xz 0, zx时时则当则当ezxzzxx 10)1(lim)11(lim型型仍为仍为 1（3）统一形式）统一形式,)1lim(1e .0lim 其中其中exxx )11(limexxx 10)1(lim,)1lim(1e .0lim 其中其中两种错误的形式：两种错误的形式：exxx )11(lim)1(0exxx 1)1(lim)2(型型0 例例8 8.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例9

12、 9.)23(lim2xxxx 求求解解1)211(lim2xxx 原式原式2421ee 型型 1型型 1422)211()211(lim xxxx422)211(lim)211(lim xxxxxe 1)1lim(解解2 原式原式=xxxxx22)21()31(lim 46)21(lim)31(lim23xxxxxx 46)21(lim)31(lim23xxxxxx 46ee 2e 例例9 9.)23(lim2xxxx 求求型型 146)21()31(lim23xxxxx 例例1010.)1(lim22xxxx 求求型型 1解解xxxxxx)11(lim 原式原式xxxxxxxx)1(lim

13、)1(lim xxxxxx)111(lim)111(lim xxx)111(lim )111()111(lim1 xxxxxxxxxx)111(lim)111(lim xxx)111(lim )111()111(lim1 xxxx)111(lim)111(lim1 xxxxxee 11)111(lim exxx同理同理xxxxxx)111(lim)111(lim 原式原式11 ee三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 思考题思考题1xxxx201lim xxx2011lim 2011lim xxx2011lim xxx2e 型型因为因为02:1 xxx不能套用重要极限公式不能