第2讲求导法则

1、第二讲第二讲求导法则求导法则河北理工大学轻工学院河北理工大学轻工学院 -基础教学部基础教学部微分运算法则微分运算法则反函数的求导法则反函数的求导法则知知识识要要点点复合函数的求导法则复合函数的求导法则由参数方程表示函数的导数由参数方程表示函数的导数隐函数求导法隐函数求导法四则运算求导法则四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、的和、 差、差、 积、积、 商商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导, 且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()(

2、)()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfcxcf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf推论推论 )(wvu如如wvuwvuwvu 例例1.,sin xxeyx 求求 .y解解 )(sinsin)(sin)(xxexexxexyxxxxxexxexexxxcossinsin解解:xsin41(21)1sin例例2., )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( x

3、x)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin证证: 例例3. 求证求证,sec)(tan2xx.cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx定理定理3.4 如果函数如果函数 )(yfx 在区间在区间 内单调、可导，且内单调、可导，且 i0)( yf，则它的反函数，则它

4、的反函数 )(xy在区间在区间 ),(|iyyfxxix内也可导，且内也可导，且 )( 1)(yfx 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。反函数的导数等于直接函数导数的倒数。反函数的求导法则反函数的求导法则 1例例1. 求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设设,arcsin xy 则则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用利用0cosy, 则则2) 设设, )1,0(a

5、aayx则则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当特别当ea时时,小结小结: )(c0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )

6、(arctan x211x )cot(arcx211x常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 在点 x 可导,定理定理3.5)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导)()(ddxgufxy复合函数 fy )(xg且在点 x 可导,即，因变量对自变量求导即，因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )复合函数求导法则复合函数求导法则例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构, 由外向

7、内逐层求导.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形. .例例1.1.sinln的的导导数数求求函函数数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .sinln.2的的导导数数求求函函数数例例xey :解解xevvuuy sinlndxdvdvdududydxdy xevu cos1xxxeee cossin1xxee cot 例例3.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例4.arcsin22222的导数的导数

8、求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例5. 求下列导数求下列导数:. )()2(;)() 1 (xxx解解: )()(1lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)例例6. 设设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf

9、这两个记号含义不同练习练习: 设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中例例7.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例8.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例9. .xxy2tan10 .y 求求解解)2tan(10ln10)10(2tan2tan xxyxxxx)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx 例例10. .)arcsin(lnyxxy 求求)arc

10、sin(ln xxyxxxx1)(ln11)arcsin(ln2 2)(ln11)arcsin(lnxx 解解解解:例例11.求,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例12.),0( aaaxyxaaaxa求.y设解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxalnaaxln解解:例例13. 求,1arctan2sin2 xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导31

11、 xy若由方程若由方程0),(yxf可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化 .函数为函数为隐函数隐函数 .则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法: 0),(yxf0),(ddyxfx两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)y隐函数的导数隐函数的导数)(xyy 在在 x = 0 处的导数处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75

12、xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故210ddxxy0例例1. 求由方程求由方程03275xxyy确定的隐函数确定的隐函数例例2. 求椭圆求椭圆191622yx在点在点)3,2(23处的切线方程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2( x即即03843 yx例例3. 求求)0(sinxxyx的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式xxylnsinln两边对两边对 x

13、 求导求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx对数求导法对数求导法 1) 对幂指函数对幂指函数vuy 可用可用对数求导法对数求导法求导求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明说明: :按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例例4.)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnl

14、naxb)4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数)2ln()1ln( xx )4ln()3ln( xx11x21x31x41x)4( x假定假定例例5.小结小结: :适合对数求导法的函数常见的有下面适合对数求导法的函数常见的有下面几种几种: : (1)幂指函数：幂指函数： ,)()(xvxuy (2) 连乘积形式的函数：连乘积形式的函数： ),().()(21xfxfxfyn(3) 分式形式函数：分式形式函数： )().()()().()(2121xgxgxgxfxfxfynn(4)

15、 无理函数：无理函数： mnxfxfxfy)().(21.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? ?t问题问题由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数

16、的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在在参参数数方方程程 tytx 例例1.解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .2)cos1()sin(处处的的切切线线方方程程在在求求摆摆线线 ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即例例2. 设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程组两边对方程组两边对

17、 t 求导求导 , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd微分运算法则微分运算法则求导法则求导法则 （1） )(vuvu（2） )(cucu (c是常数）是常数） （3） )(uvvuuv（4） )0(2vuvvuvu 微分法则微分法则 (1) dvduvud )( (2) cducud)( (3) udvvduuvd)(（4） )0(2vvudvvduvud例例1. 设设 xyarctan，求，求 dy。 解解 因因 xxy2111， 故故 dxxxdy)1 (21例例2. 求函数 x

18、xxxysin323的微分。 解解 )sin3(23xxxxddy)sin()()(323xxdxdxddxxxxxxxdxxxdxxdxdxx)cossin29(cossin2922【练习】求下列函数的微分【练习】求下列函数的微分 )2sin(2xy, xxyln2微分形式不变性微分形式不变性分别可微分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变性微分形式不变性复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数例例1., )1(ln2xey求求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe例例2. 设设,0)cos(sinyxxy求求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d