ch74向量的概念和运算

1、三、向量及向量运算的坐标表示三、向量及向量运算的坐标表示 一、向量的概念一、向量的概念二、向量的运算二、向量的运算 7.4 7.4 向量的概念和运算向量的概念和运算 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m为起点，为起点，2m为终点的有向线段为终点的有向线段.1m2m a21mm模长为模长为1 1的向量的向量. .21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或|a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. . 0零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的向径：向径： 起点在坐

2、标原点的向量起点在坐标原点的向量. . 自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. . 可以平行移动可以平行移动. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a a相等向量：相等向量：ab大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .平行向量：平行向量：方向相同或者相反的两个向量（方向相同或者相反的两个向量（共线共线）. .ba/向量共面：向量共面：设有设有 k（k）个向量，当把它们的起点）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果放在同一点时，如果 k 个终点和公共起点个终点和公共起点在一个平面上，则称这在一个平面上，则称这 k 个向量

3、个向量共面共面. ., 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 空间两向量的夹角空间两向量的夹角oab当当 时，称时，称 规定零向量与任意向量垂直规定零向量与任意向量垂直.2 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角. .,0 ,0 .0 方向角与方向余弦方向角与方向余弦非零向量

4、非零向量 的的方向角方向角：a 、 、 xyzo 1m 2m 方向角的余弦称为向量的方向角的余弦称为向量的方向余弦方向余弦. .方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. . 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若abac|bac 分为同向和反向分为同向和反向ac|bac （三角形法则）（三角形法则）二、向量的运算二、向量的运算、向量的加法、向量的加法abcbb向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)(

5、 aaabcba cba bc 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab2、向量的减法、向量的减法.baba 三角不等式, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa a2a21 3、向量与数的乘法、向量与数的乘法a同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个一个与原向量同方向的单位向量与原向量同方向的单位向量.数

6、与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(0.ababa 设设向向量量，那那么么向向量量平平行行于于 的的充充分分必必要要条条件件是是：存存在在唯唯一一的的实实数数 ，使使定定理理两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然，下证必要性充分性显然，下证必要性.ab设设ab 取取.取正值，取正值，同向时同向时与与，当，当 ba.abba 取取负负值值，即即有有反反向向时时与与当当.baabaa 同向，且同向，且与与因为此时因为此时ab 再证唯一性再证唯一性，设设ab

7、，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即例例1 1 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证ammc bmmd ad am mdmc bmbc ad与与 平行且相等平行且相等,bc结论得证结论得证.abcdmab例例3 3 试用向量方法证明：空间四边形相邻各边试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形中点的连线构成平行四边形.证证: 只要证只要

8、证 hgef abcdefgh111222efebbfabbcac hgef 111222hghddgaddcac 解答解答bcad am md).(21ba dc ab am mb).(21ba abcdmab练习练习已知平行四边形已知平行四边形abcd的对角线的对角线ac,a bdb 试用试用 表示平行四边形四边上表示平行四边形四边上对应的向量对应的向量.ba, cos|sfw (其中其中 为为f与与s的夹角的夹角)启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba 实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义4 4、两向量的数量积

9、、两向量的数量积ab 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 ).0, 0(|arccos),()3( babababa数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()

10、()(baba u mm 向量在轴上的投影向量在轴上的投影.轴轴确定确定及单位向量及单位向量设点设点ueoo e r向量投影的性质向量投影的性质性质性质1 性质性质2 .prpr)(prbjajbajuuu 性质性质3 .pr)(prajajuu 性质性质4；，则，则若若ajbbabbpr|0 .pr|0bjabaaa ，则，则若若.,cospr轴的夹角轴的夹角与与为向量为向量其中其中uaaaju 证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(. 5例例.pr,pr,3),(, 1, 2,3,32ajbjbababababbaaba 求求设

11、设 .解解.3128pr,3728pr,31,3728376)3()32(2222 bbaajababjbbbaaabbaababababaaba u22:()0,.baab aa ab ab aubaaa 即即0, auauabuaub垂直于垂直于 例例6 设以向量设以向量 和和 为边做平行四边形，求平行为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于四边形中垂直于 边的高线向量边的高线向量.aba:解解则则设高线为设高线为 ,u|foqm sin|fop 实例实例5、两向量的向量积、两向量的向量积lfpqo sin|bac (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积

12、叉积”、“外积外积”.abc 关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( baabc )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin ,0 或或 )(0sin . 0sin| baba证证ba/ba/或或0 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）反交换律反交换律.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa |ba 表表示示以以 a和和 b为为邻邻边边 的的平平行行四四边边形形的的面面积积. abbac 向量积的几何意义向量积的几何意义解解),si

13、n(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向， (1) 向量混合积的几何意义：向量混合积的几何意义： 向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac . 0 cba(轮换对称性)6.6.向量的混合积向量的混合积定义定义 已知已知2 cba， 计算计算)()()(accbba .解解)()()(

14、accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例8x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系ijk三、向量及向量运算的坐标表示三、向量及向量运算的坐标表示.,称为基本单位向量称为基本单位向量表示表示以以一个单位向量一个单位向量沿三个坐标轴方向各取沿三个坐标轴方向各取在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，kji1.1.向量的坐标表示向量的坐标表示,oroqopampaopomr ),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0

15、(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb), 0 ,(zxc, rommr ，使使，对对应应有有点点任任给给向向量量则则，设设,kzorj yoqi xop. kzj yi xomr r.向向量量沿沿三三个个坐坐标标轴轴方方向向的的分分称称为为向向量量、的的坐坐标标分分解解式式，上上式式称称为为向向量量rkzj yi xr.kzj yi xomr 之之间间有有一一一一对对应应关关系系、与与三三个个有有序序数数、向向量量点点zyxrm).,(zyxkzj yi xomrm );,(zyxr 记作记作.的的坐坐标标一一致致的的坐坐标标表表示示式式与与其其终终点点向向径径momr

16、 有序数有序数 x 、y 、z 称为称为向量向量 r 的坐标的坐标,),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2. 向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的

17、坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ( 行列式计算见行列式计算见 附录附录3 ) 3. 其它坐标表示其

18、它坐标表示),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ba.,zzyyxxbababa 222|zyxaaaa 0a. 0, 0, 0 zyxaaa222222),cos(zyxzyxzzyyxxbbbaaababababa 0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 xyzo 1m 2m xxabyyabzzabba/ ba0 zzyyxxbababa共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa).cos,cos,(cos

19、特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为|0aaa 解解),(111zzyyxxam ),(222zzyyxxmb 设设),(zyxm为直线上的点，为直线上的点，abmxyzo由题意知：由题意知：mbam ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzm为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c.5152 kj|0ccc abc解解d)3,

20、4 , 0( ac)0 , 5, 4( ab三角形三角形abc的面积为的面积为|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bdacs |521225bd . 5| bd内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba思考与练习思考与练习1. 设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦 .(1,1, 3) 1cos,2 3 11sin12 答案答案: :2. 2. 用向量方法证明正弦定理用向量方法证明正弦定理: :sinsinsinabcabc,a b1,a bab 2,aijk bij ,a bab及及babcac证证: : 由三角形面积公式由三角形面积公式sinb ca sinc absin