第2讲：方程的图形法迭代法直接法(第1次课)

1、1第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法第二讲 方程及方程组解法(上)方程方程 : 工程计算和科学分析的发动机。工程计算和科学分析的发动机。若干世纪来，方程是工程师和数学家花费大量时间进行研究的课题，即有古老的算法（如二分法），也有新颖的发现（如迭代的分形与混沌现象）本讲主要介绍非线性方程的实用解法，对线性方本讲主要介绍非线性方程的实用解法，对线性方程组及数值分析中的矩阵分解法略作介绍：程组及数值分析中的矩阵分解法略作介绍： 图形放大法（不要苛求精确解！）简单迭代法（迭代函数的选取）加速迭代法（加权平均的思想）2第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直

2、接法线性方程组解的存在性线性方程组的矩阵形式：线性方程组的矩阵形式：ax=bax=b的解可能出现三种情况：有解的解可能出现三种情况：有解/无解无解/无穷解无穷解a=1 2 1;2 3 1;1 -1 -2; b=1;3;0; ab=a,b;rank(a)=rank(ab) % ans=0 故原方程组无解a=0 1 -3 4;1 0 -2 3;3 2 0 -5;4 3 -5 0; b=-5;-4;12;5;ab=a,b; rank(a)=rank(ab) % ans=1 有唯一解3第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法线性方程组ax=b的求解a=0 1 -3 4;1 0 -

3、2 3;3 2 0 -5;4 3 -5 0; b=-5;-4;12;5;rank(a)=rank(a,b) x=ab %方法方法1：矩阵左除运算：矩阵左除运算x=inv(a)*b %方法方法2：逆矩阵求解法：逆矩阵求解法(须方阵须方阵)l,u=lu(a); %方法方法3：lu分解法分解法x=u(lb)q,r=qr(a); %方法方法4：qr分解法分解法x=r(qb) rref(a,b) % 方法方法5：rref化行最简形化行最简形 p134第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法代数方程求根公式的探寻.5第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法求解非

4、线性方程更一般的方法我们面对的大多数方程（组）都是非线性的。我们面对的大多数方程（组）都是非线性的。定义：一些由实际问题列出的方程中常常包含三角函数、指数函数等，它们与n=2代数方程一起统称为非线性方程（组）非线性方程（组）例如：3x-ex=0；xsinx=1；x2-3x+ex-2所以，求解这一类方程（组）更具现实意义：所以，求解这一类方程（组）更具现实意义：计算机技术和数学软件技术的飞速发展为我们实现经典方法（比如二分法）、创新新方法（比如图形放大法）提供了极大便利，甚至衍生出一些崭新的学科方向（比如课本第3章提到的 分形与混沌）6第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接

5、法最简捷和最一目了然的方法？图形放大法的最大优点在于：简捷和直观，同时也为后继的迭代法和函数法提供了可参考的初值条件演练一：演练一：p10，2.1x=-6:.001:6;plot(x,x.5+2*x.2+4,-6,6,0,0,r-, linewidth,2)%参考线参考线grid on; axis(-2 2 -200 200)%坐标区域重定义坐标区域重定义演练二：求解方程演练二：求解方程 8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0fplot(8*x5-12*x4-26*x3-13*x2+58*x+30,-1,3);set(findobj(type,line),linewidth,3

6、);hold on; line(-5 5,0 0,color,r,linewidth,3); 注意以上程序中注意以上程序中作参考线作参考线(x轴轴)的几种方法的几种方法7第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法最简捷和最一目了然的方法？图形放大法的最大局限在于：作图的显示精度以及数值的读取精度，一般不作为方程求解实际方法演练三：求解非线性方程组演练三：求解非线性方程组 ezplot(x2+y2-5, -2.5,2.5,-2.5,2.5); %定义作图区间定义作图区间hold on; ezplot(x*y-3*x+y-1, -2.5,2.5,-2.5,2.5); grid

7、on;set(findobj(type,line),color,r, linewidth,2); %加粗加粗局限：坐标刻度默认显示精度为局限：坐标刻度默认显示精度为小数点后小数点后4位位提供一个控制函数：提供一个控制函数：tickmore(w,n)tickmore(x,6); tickmore(x,6);2250310 xyxyxy 8第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法图形放大法的步骤和技巧：方程f(x)=0(1)建立坐标系，画曲线f(x)(2)观察曲线f(x)与x轴的交点(3)将其中一个交点局部放大(4)该交点的横坐标值就是方程的根技巧关键字（提高你的效率）：技巧

8、关键字（提高你的效率）：步进精度选择（要足够适应适应放大倍数）坐标区域设定设定（方便直观准确地读数）交点追踪（强调x轴轴, 双击双击reset, 放大适可适可+tickmore）延伸：能不能写出不需人工干预的图形放大法？9第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法图形放大法的步骤和技巧：交点放大提取矩阵特征10第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法简单迭代法（迭代收敛的情形）回到早先我们接触的引例：3x-ex=0 xn+1= (xn), n=0,1,2., x011第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法迭代过程的图形化体现.迭

9、代过程体现在图像上如下图所示：12第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法迭代算法的步骤与技巧：方程f(x)=0(1)经过简单变形，化为xn+1= (xn), n=0,1,2.(2)*绘出y=x和y= (x)的图形，并观察(3)确定迭代初值x0，并代入程序进行迭代(4)序列发散回到第1步；收敛获得求解技巧关键字（提高你的效率）：技巧关键字（提高你的效率）：迭代格式格式的确定（是否唯一,是否一定收敛？）迭代初值初值的选择（迭代与初值选择是否有关?）迭代存在的缺陷（迭代能否逼近所有的解？）演练：在讲解加速迭代法后一齐举例13第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭

10、代法直接法简单迭代法的改进当遇到迭代格式不收敛怎么办？如何加快迭代速度？加速迭代法就是为了解决上述问题而产生的改进型改进型迭代法：迭代法：若迭代格式xn+1=(xn), n=0,1,2.,不收敛，则我们不直接用(x)迭代，改用(x)与x的加权平均 h(x)= (x)+(1- )x 进行迭代，基于某个确定原则，比如： =1/(1- (xn) )改进后的加速迭代格式如下：附注：确定原则一般来自理论和经验，参见p1314第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法简单迭代法的改进实践中，总结出了多种迭代格式xn+1=h(xn)构造方法15第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法

11、直接法迭代法直接法简单迭代与加速迭代的比较1用两种方法迭代方法求解方程x3-x2-x-1=0构造迭代格式：初值x0=0 x1=1; x2=1; x3=1;for k=1:20 x1=x13-x12-1; x2=(x22+x2+1)(1/3); x3=1+1/x3+1/x32;endx1, x2, x316第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法简单迭代与加速迭代的比较2格式1发散，格式2,3收敛，具体细节为：迭代格式1选取失败！迭代格式2,3成功收敛，收敛速度谁更快？17第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法简单迭代与加速迭代的比较3改进前面已经被

12、判定为“失败的”迭代格式1： x=(x)=x3-x2-1由前述确定原则有：实验发现改进后的迭代格式1能够收敛，但速度仍然不如迭代格式2和3，相对自身而言“加速”注意：改进后的迭代格式1在迭代103次后才渐近至1.8393，并且需要在变量空间中双击查看 why?18第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法除了简单迭代和加速迭代.我们知道，简单迭代法和加速迭代法在迭代格式我们知道，简单迭代法和加速迭代法在迭代格式xn+1= (xn)的选取上都是选取上都是基于方程自身基于方程自身的，其实的，其实基基于存根区间、基于函数曲线解析性于存根区间、基于函数曲线解析性还有多种算法，还有多

13、种算法，下面略作介绍下面略作介绍：介绍：介绍： p1213这些算法形式多样，目标只有一个这些算法形式多样，目标只有一个逼近逼近基于隔离存在根的区间，基于隔离存在根的区间，区间逼近：如二分法区间逼近：如二分法基于函数曲线解析特性，基于函数曲线解析特性，解析逼近：如牛顿法解析逼近：如牛顿法19第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法隔离存在根的区间，区间逼近二分法二分法: 简单，但效率很高的一种算法简单，但效率很高的一种算法20第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法函数曲线解析特性，解析逼近牛顿切线法牛顿切线法: 可变形为多种迭代格式，如割线法可变形为

14、多种迭代格式，如割线法21第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法非线性方程组的迭代法1类似于单变量方程的简单迭代法，方程组要求一次迭代过程完成对n个变量的迭代.22第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法非线性方程组的迭代法2下面以实例促进对方法的理解和掌握：问题：一次迭代过程x1的代入可以有几种选择？例123第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法非线性方程组的迭代法3实例：用迭代法求解非线性方程组(格式1) x=0,0;2,0;3,3;n=input(选择初值选择初值 1/0,0 2/2,0 3/3,3 :);x=x(n,:); %指定不同的初值，以考察初值对迭代的影响指定不同的初值，以考察初值对迭代的影响hold onfor k=1:10 x(1)=0.1*x(1)2+ 0.1*x(2)2+0.8; x(2)= 0.1*x(1)*x(2)2+ 0.1*x(1)+0.8; disp(x) plot(k,x(1),ro,linewidth,2); plot(k,x(2),bp, linewidth,2);endgrid on24第二讲第二讲 方程的图形法方程的图形法迭代法直接法迭代法直接法通用的可控精度迭代程序以方程以方程 3x-ex=0 为例，演示如何将程序通用化：diedai.m 为固定计算