第9讲初等函数的连续性与连续函数的性质fxf

1、第九讲连续函数的运算与初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质1 高等数学第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数的连续性 三、复合函数的连续性 四、初等函数的连续性第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性2 高等数学高等数学一、连续函数的和、差、积、商的连续性 tan,cotxx在其定义域内连续在其定义域内连续定理定理1则它们的则它们的设函数设函数( )f x和和( )g x在点在点0 x连续连续,积积,fg 和和(差差)(当当fg 及商及商fg0()0g x 时时) 都在点都在点0 x连续连续.例如例如sin,cosxx在在(,) 内连续内连续.

2、第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性3 高等数学高等数学二、反函数的连续性 定理定理2sinyx 在在,22 上单调增加且连续上单调增加且连续arcsinyx 在在 1, 1 上也单调增加且连续上也单调增加且连续如果函数如果函数( )yf x 在区间在区间xi上单调增加上单调增加( 或单调减少或单调减少)且连续且连续, 那么它的反函数那么它的反函数1( )yfx 增加增加( 或单调减少或单调减少)且连续且连续.也在对应的区间也在对应的区间 ( ),yxiy yf xxi 上单调上单调例如例如第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性4 高等数学高等数学三、复合函数的连续性000lim)lim

3、( )().xxuuf g xf uf u 定理定理30().f gu xd 00lim),xxg xu 复合而成复合而成 若若函数函数( )yf u 0u在在连续连续 则则 例例1 求下列各极限：求下列各极限： 01(1)limsin()xxex (2) lim sin(1)xxx0log (1)(3)limaxxx 000lim )()lim)xxxxf g xf ufg x ( )yf g x ( )yf u ( )ug x 由函数由函数与函数与函数设函数设函数000lim),lim( ),uuxxf ug xua , 0 00 000lim)lim( ).xxuuf g xf ua 若

4、若当当且存在且存在时时, ,有有 (,)xu x o0 00 00),g xu 则则 ( )yf g x ( )ug x 0().f gu xd 定理定理6 设函数设函数由函数由函数与函数与函数复合而成复合而成 ( )yf u (p48)第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性5 高等数学( )ug x 0 xx 00(),g xu ( )yf g x 0 xx 定理定理4（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）若若函数函数在点在点连续连续, ,且且而函数而函数则复合函数则复合函数在点在点000lim)().xxf g xf uf g x 也连续也连续 即即 ( )yf u 在点在点0uu (

5、 )yf g x ( )ug x 0().f gu xd 设函数设函数由函数由函数与函数与函数复合而成复合而成 ( )yf u 连续连续, ,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性6 高等数学高等数学例例2 求下列各极限：求下列各极限： 3sin0(1)lim(1 2 )xxx (1) 若若0lim( )0,xxu x 则有则有 0( )lim1( )v xxxu x0lim ( ),xxv x e 0lim ( )ln 1( )xxv xu x (2) 若若0lim ( )0,xxu xa 则有则有0( )lim ( )v xbxxu xa 0lim ( ),xxv xb ( )( )(

6、( )0, ( )1)v xyu xu xu x 幂指函数幂指函数cos0(2)lim(1 2 )xxx 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性说明说明: :7 高等数学高等数学四、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续21yx的连续区间为的连续区间为 1,1 lnsinyx 的连续区间为的连续区间为(2,(21) ),nnnzcos1yx 的定义域为的定义域为2,xnnz 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性8

7、 高等数学高等数学二、零点定理与介值定理 一、有界性与最值定理闭区间上连续函数的性质第十节第十节 闭区间上连续函数的性质9 高等数学高等数学一、有界性与最值定理0( )()f xf x 1最大(小)值定义：,xi 总有总有( )f xi0,xi 在区间在区间上有定义上有定义, ,若有若有使得使得设设0()f x( )f xi则称则称是是在区间在区间 上的最大值上的最大值( (最小值最小值),),0( ( )(),f xf x 简称最值简称最值. .第十节 闭区间上连续函数的性质10 高等数学高等数学2. 最值定理定理定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上一定在闭区间上连续的函数在该区间上一定即

8、即: 设设( ) ,f xc a b xoyab( )yf x 1 2 则则12, ,a b使使1()min( )axbff x 2()max( )axbff x 取得它的最大值和最小值取得它的最大值和最小值. .第十节 闭区间上连续函数的性质11 高等数学高等数学,(0,1)yx xxoy111, 01( )1,13 , 12xxf xxxx xoy1122第十节 闭区间上连续函数的性质12 高等数学高等数学bxoya)(xfy 12mm推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 第十节 闭区间上连续函数的性质13 高等数学高等数学定理定理2 ( 零点定

9、理零点定理 )xyoab)(xfy ( )0 .f 二、零点定理与介值定理( )f x设函数设函数设函数在闭区间设函数在闭区间 ,a b异号异号(即即( )( ) 0),f a f b 上连续上连续, 且且( )f a( )f b与与那么在开区间那么在开区间使使, ( ,)a b内至少有一点内至少有一点第十节 闭区间上连续函数的性质14 高等数学高等数学定理定理3 (介值定理介值定理)及及( )f aa ( )f bb 则对则对 a 与与 b 之间的任意一个数之间的任意一个数 c ,在开区间在开区间abxoya)(xfy bc( ).fc ( )f x设函数设函数设函数在闭区间设函数在闭区间

10、,a b上连续上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值且在这区间的端点取不同的函数值, 使得使得内至少有一点内至少有一点( ,)a b推论推论在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值 .第十节 闭区间上连续函数的性质15 高等数学高等数学例例1 证明方程证明方程32410 xx一个根一个根 .说明说明: :1,2x 11( )0,28f内必有方程的根内必有方程的根1(,1)2取取1 ,12的中点的中点3,4x 3( )0,4f 内必有方程的根内必有方程的根1 3(,)2 4二分法二分法4321x01在区间在区间(0,1)内

11、至少有内至少有则则则则取取0,1的中点的中点第十节 闭区间上连续函数的性质16 高等数学( , ),a b 例例2 设设试证：试证： ( ), ( ),f xg xc a b , ,( )( ),( )( ),f ag af bg b且且( )( )fg 使得使得例例3 任给一张面积为任给一张面积为 a 的纸片的纸片(如图如图), 证明必可将它证明必可将它一刀剪为面积相等的两片一刀剪为面积相等的两片.xoy)(s第十节 闭区间上连续函数的性质17 高等数学高等数学内容小结基本初等函数基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续说明说明: : 分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.1. .连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性内容小结18 高等数学在在1.( )f x上达到上达到最大值与最小值最大值与最小值;上上可取最大与最小值之间的任何可取最大与最小值之间的任何值值; ;4. 当当( ) ( )0f a f b 时时,