基础物理中的数学方法1

1、基础物理中的数学方法基础物理中的数学方法第一章第一章 初等函数的极限和微分初等函数的极限和微分1.1 初等函数初等函数数理难以分家，是一棵苗上的两瓣叶片。数理难以分家，是一棵苗上的两瓣叶片。数学课不仅仅是工具课，是科学思维训练。数学课不仅仅是工具课，是科学思维训练。学习物理需要数学工具，此处只解决工具问题。学习物理需要数学工具，此处只解决工具问题。王竹溪、彭桓武、林家翘的榜样。王竹溪、彭桓武、林家翘的榜样。1.1.1 函数的概念函数的概念在物理过程中，一些物理量之间有由物在物理过程中，一些物理量之间有由物理规律决定的关系理规律决定的关系-函数。函数。2021gthh例如：自由落体例如：自由落体

2、 高度随时间的变化高度随时间的变化 自变量自变量t，因变量因变量hghht/ )(20时间随高度的变化时间随高度的变化 自变量自变量h，因变量因变量t多个自变量的函数叫多个自变量的函数叫做多元函数做多元函数，例例一元函数一元函数vrtp/自变量为实数的函数叫自变量为实数的函数叫实变函数实变函数；为复数的函数叫；为复数的函数叫复变函数复变函数。)(xfy 1.1.2 常用的初等函数常用的初等函数（1）幂函数）幂函数naxy （a，n为常数）为常数） n 可为正、负、整、分数；可为正、负、整、分数；一般形式是多项式，上式只给出其中一项的函数式，一般形式是多项式，上式只给出其中一项的函数式，幂函数的

3、一种特殊形式是幂函数的一种特殊形式是n=0的情况，即的情况，即cy （常数）（常数） )cos(0tuu)cos(tax例如：交流电的电压为例如：交流电的电压为 在在x轴上以原点为中心的简谐振动为轴上以原点为中心的简谐振动为 （2）三角函数和反三角函数）三角函数和反三角函数xaey xayln（3）以）以e为底的指数函数和对数函数为底的指数函数和对数函数 ，这些函数，以及其经过有限次这些函数，以及其经过有限次四则运算与复合步骤所构成的四则运算与复合步骤所构成的函数，统称为函数，统称为初等函数初等函数。1.1.3 欧拉恒等式欧拉恒等式借助复数来简化运算过程借助复数来简化运算过程 jbaz1j，（

4、常数）（常数） 复数复数z可以用两个实数可以用两个实数a和和b来表示来表示z的共轭复数记作的共轭复数记作z* jbaz)sin(cosjz)sin()cos(jz)sin(cosj在平面直角坐标系中，又可表示为在平面直角坐标系中，又可表示为 zzba22：复数的模：复数的模ab/tan：辐角：辐角 z与与z*的模相等，辐角的符号相反。的模相等，辐角的符号相反。)sin(cosjsincosjejsincosjej)(21cosjjee)(21sinjjeej是模为是模为1的复数。高等数学可以证明的复数。高等数学可以证明这就是这就是欧拉恒等式欧拉恒等式。由上两式解得。由上两式解得欧拉恒等式的另一

5、种表示式。欧拉恒等式的另一种表示式。欧拉恒等式把指数函数和三角函数联系起来，欧拉恒等式把指数函数和三角函数联系起来，使三角函数的运算简化。使三角函数的运算简化。333)sin(cos)(jjeje)sinsincos3()sincos3(cos3sin3cos3223jj23sincos3cos3cossincos3sin3sin23解解 对对 两边同时作立方运算得两边同时作立方运算得将上式的指数函数用三角函数表示，并展开两边得将上式的指数函数用三角函数表示，并展开两边得根据复数的运算规则，两复数相等必是实部和虚部分别相等，根据复数的运算规则，两复数相等必是实部和虚部分别相等，故有故有sinc

6、osjej2121cossin2),(f1122121(,)()()2jjjjfeeeej)()(21)()()()(21212121jjjjeeeej)sin()sin(),(212121f例例2 三角函数三角函数 试变换为三角函数和差的形式。试变换为三角函数和差的形式。再将上式右边的指数用三角函数表示得再将上式右边的指数用三角函数表示得解解 将三角函数用指数表示得将三角函数用指数表示得例例1 导出正弦和余弦函数的三倍角公式。导出正弦和余弦函数的三倍角公式。)(21xxeeshx)(21xxeechx122xshxch1cossin22xx122121)(chxshxchxshxxxsh12

7、2121)(shxshxchxchxxxchxjshjxsinxchjxcos欧拉公式实质是揭示三角函数和指数函数的关系，也说明两种欧拉公式实质是揭示三角函数和指数函数的关系，也说明两种函数有相同的运算规则。由此想到，可依照欧拉公式定义一套函数有相同的运算规则。由此想到，可依照欧拉公式定义一套广义的三角函数，叫做双曲函数。双曲正弦和双曲余弦函数的广义的三角函数，叫做双曲函数。双曲正弦和双曲余弦函数的定义是定义是此式与三角函数的基本公式此式与三角函数的基本公式实际上，若以实际上，若以 jx 代替定义式中的代替定义式中的 x 即得即得 1.1.4 双曲函数双曲函数由双曲函数的定义式知由双曲函数的定

8、义式知 相似，相似，还可以证明还可以证明三角函数，也三角函数，也可视为双曲函可视为双曲函数的特例数的特例 1.2 极限极限1.2.1 直观的极限概念和无穷小量直观的极限概念和无穷小量极限是重要的基本概念。由简单物理过程，得到某些直观印象。极限是重要的基本概念。由简单物理过程，得到某些直观印象。 考虑一个交流电路和波动中常用的函数考虑一个交流电路和波动中常用的函数xxysinx在在x=0时，分子和分母都是零，这分式没有直观意义了。但可时，分子和分母都是零，这分式没有直观意义了。但可以研究以研究x由正值和负值向零无限趋近时，函数的特点。由正值和负值向零无限趋近时，函数的特点。 xacabx sin

9、adx tanabacadxxxtansin作一半径为作一半径为1的单位圆（图的单位圆（图1.2.1），），x是圆心角，是圆心角，因因所以所以 0 x,sintanxxx与xsinxxxcos1sin1sin1cosxxx因在因在附近，附近，的符号相同，的符号相同，得得或或将上述不等式除以将上述不等式除以1sinlimlim00 xxyxx上式说明上式说明 y 在在 x 趋于趋于 0 的过程中保持不大于的过程中保持不大于 1,但又不小于但又不小于 cosx但在但在x无限趋于无限趋于零零时时，cosx无限趋近于无限趋近于1，故，故y必趋于必趋于1，记为记为在在 x 趋近于趋近于零零时时 sinx

10、 随之趋于随之趋于零零。在这种情况下。在这种情况下x 和和 sinx是绝对值很小的变量，因而上面给出的分式也是有意义的。是绝对值很小的变量，因而上面给出的分式也是有意义的。这类变量的特点是：它的绝对值小于任何给定的正数，叫做这类变量的特点是：它的绝对值小于任何给定的正数，叫做无穷小量无穷小量.在自变量在自变量 x 与某一指定值与某一指定值 a 的差为无穷小量时，函数的差为无穷小量时，函数f(x)与数与数 a 的差也为无穷小量，则的差也为无穷小量，则a是在是在x趋于趋于a时的极时的极限，记为限，记为alim( )xf xa无穷小量就是以无穷小量就是以0为极限的变量为极限的变量无穷小量的两个性质：

11、无穷小量的两个性质：（1）有限个无穷小量的和是无穷小量；）有限个无穷小量的和是无穷小量；（2）有界量与无穷小量的积是无穷小量。）有界量与无穷小量的积是无穷小量。有些初等函数求极限的运算，可依据对函数的理解和直观判断有些初等函数求极限的运算，可依据对函数的理解和直观判断得到。例如得到。例如1.2.2 极限的运算规则极限的运算规则xxxxcos)cos(lim0 xxxxsin)sin(lim0一些较复杂情况，还须依据规则进行运算。常用的运算规则是：一些较复杂情况，还须依据规则进行运算。常用的运算规则是： ，1. 一个有极限的函数与常数积的极限，等于该函数的一个有极限的函数与常数积的极限，等于该函

12、数的极限与常数之积。极限与常数之积。如若如若a为常数，则为常数，则xaxxaxxaxxcos)cos(lim)cos(lim002. 有限个有极限的函数的积（商）的极限，有限个有极限的函数的积（商）的极限， 等于它们极限的积（商）。等于它们极限的积（商）。 xxxxxcos)cos(lim0)2/sin()2/sin(2limcos)cos(lim00 xxxxxxxxxx)2/sin(lim2/)2/sin(lim00 xxxxxxxxxxxxsincos)cos(lim0例例1 求求解解 由和差化积公式得由和差化积公式得变为求两个极限的积。在上式中，第一个函数的极限已给出，变为求两个极限的

13、积。在上式中，第一个函数的极限已给出，故有故有3. 有限个有极限的函数的和（差）的极限等于它们极限有限个有极限的函数的和（差）的极限等于它们极限的和（差）。的和（差）。xxxxx330)(lim)33(1lim)(lim3220330 xxxxxxxxxxxx220023lim3lim3xxxxxxx例例2 求求解解: 利用二项式公式得利用二项式公式得xxxxx330)(limxxxxxxxxxxxxx33330330)()(1lim)(limxxxxxxxxx330330)(lim)(1lim4263)3(1xxxx例例3 求求解：解：在上面的两例中在上面的两例中x也是一个独立的变量。但在求

14、极限的过程中，只是也是一个独立的变量。但在求极限的过程中，只是作趋于零的变化。因此，在作这种运算时，作趋于零的变化。因此，在作这种运算时， x是视为不变的。是视为不变的。0 x32233xxxxx以上例题，都求两个无穷小量的比值的极限。这种极限可以理解以上例题，都求两个无穷小量的比值的极限。这种极限可以理解为两个无穷小量大小的比。为两个无穷小量大小的比。如果两个无穷小量之比是不为如果两个无穷小量之比是不为0的有的有界量，则这两个无穷小量是同阶的无穷小量。界量，则这两个无穷小量是同阶的无穷小量。sinx与与x是同阶无穷小量。且因这两个无穷小量的是同阶无穷小量。且因这两个无穷小量的1.2.3 无穷

15、小量的比较无穷小量的比较例如在例如在比值的极限是比值的极限是1，可理解为在，可理解为在x趋于零时趋于零时sinx与与x趋于相等趋于相等。在例在例2中，涉及三个无穷小量的和，即：中，涉及三个无穷小量的和，即：x第一项与第一项与（无穷小量）之比为有界量，它是与（无穷小量）之比为有界量，它是与同阶的无穷小量。同阶的无穷小量。一阶无穷小量一阶无穷小量xxxx3第二项与第二项与之比为之比为，这比值是以，这比值是以0为极限的无穷小量。为极限的无穷小量。 x23xx可以认为，当与可以认为，当与相比较时，相比较时，的相对值是无穷小量。的相对值是无穷小量。 高阶无穷小量。高阶无穷小量。 1.2.4 无穷大量无穷

16、大量 前面所说的函数有极限，是指函数趋向一个确定的有界量。前面所说的函数有极限，是指函数趋向一个确定的有界量。若当自变量趋近一个指定值时，函数的绝对值大于任意给若当自变量趋近一个指定值时，函数的绝对值大于任意给定的正数定的正数n，则这个变量（函数）叫做则这个变量（函数）叫做无穷大量无穷大量或者说它或者说它趋于无穷大趋于无穷大。 xxtanlim2/2x（）xxtanlim2/2x（）左极限和右极限左极限和右极限 无穷大量与无穷小量互为倒数，也可用无穷大量与无穷小量互为倒数，也可用“阶次阶次”来描述它的大小。来描述它的大小。 无穷小量的倒数是同阶的无穷大量；反之，无穷大量的倒数无穷小量的倒数是同

17、阶的无穷大量；反之，无穷大量的倒数是同阶的无穷小量。是同阶的无穷小量。 1.3 微商与微分微商与微分1.3.1 微商的概念微商的概念微商是从大量实际问题为背景提炼出来的一种函数运算的极限，微商是从大量实际问题为背景提炼出来的一种函数运算的极限，它与物理学的许多基本规律和基本物理量的定义有密切的关系。它与物理学的许多基本规律和基本物理量的定义有密切的关系。以质点运动学为例，若一质点以质点运动学为例，若一质点m在竖直的在竖直的y轴上作非匀速运动轴上作非匀速运动, 它的位置坐标它的位置坐标y是时间是时间t的函数，可以表示为的函数，可以表示为)(tfy 20021gttvyy作竖直的抛体运动时作竖直的

18、抛体运动时ttt)(tt若要问若要问时刻质点的速度是多少，只知道时刻质点的速度是多少，只知道时刻的坐标时刻的坐标时刻附近时刻附近时刻时刻是不够的，还必须知道在是不够的，还必须知道在)(ttfyyt)()(tfttfy时间内，质点经历的距离是时间内，质点经历的距离是的位置坐标的位置坐标ytvttfttftyv)()(和和之比可认为是表示在这段时间内的平均速度，之比可认为是表示在这段时间内的平均速度，记为记为与与t的大小和符号有关的大小和符号有关 v0tty /瞬时速度瞬时速度是是时时的极限：的极限：ttfttftyvtt)()(limlim00)(xfy xxy0 xxy /y)(xf xxfx

19、xfxfyx)()(lim)(0给定一个函数给定一个函数，若与自变量在，若与自变量在点的改变量点的改变量相对应，函数值的改变量为相对应，函数值的改变量为，则当，则当，比值，比值的极限就叫做这个函数在给定点的极限就叫做这个函数在给定点x的微商，记为的微商，记为或或即)(xfy )(xfy求微商的运算叫做微分运算。求微商的运算叫做微分运算。叫原函数；叫原函数；在数学上，把在数学上，把叫做导函数，简称导数叫做导函数，简称导数常用初等函数的导数公式有常用初等函数的导数公式有 （n为常数） （c为常数） 1)(nnnxx(cosx) =-sinxxxcos)(sinxx2sec)(tanxx2csc)(

20、cotxxee )(0 c21/1)(arccosxx21/1)(arcsinxx)1/(1)(arctan2xx)1/(1)cot(2xxarcxx/1)(ln1.3.2 微商的几何意义微商的几何意义xxfxxxxy)()(tan)(tanlimtan0 xfx)(xf )(xf即：微商即：微商是曲线是曲线在自变量为在自变量为x处的切线的斜率。处的切线的斜率。2xy 抛物线的方程为抛物线的方程为 xxxx2)()(tan2在自变量为在自变量为处切线的斜率为处切线的斜率为)(xfdxdy dxxfdy)( dx叫做自变量的微分，叫做自变量的微分，dy叫做函数的微分。叫做函数的微分。 在引进微分

21、的概念后，可用符号在引进微分的概念后，可用符号dy/dx表示微商，这个符号表示微商，这个符号也可简写为也可简写为“dy”，“d” 叫做微分算符，即：叫做微分算符，即：)(xfdxdydy1.3.3 微分运算的基本规则微分运算的基本规则（1）复合函数的微分运算）复合函数的微分运算)(ufy )(xuu 复合函数的一般形式可表示为复合函数的一般形式可表示为，xy2sin定义中间变量定义中间变量xxusin)( 有函数有函数 2)(xuy 则有则有 y可视为以可视为以)(xu或者说原函数是幂函数和正弦函数的组合或者说原函数是幂函数和正弦函数的组合-复合函数复合函数。为自变量的幂函数，为自变量的幂函数

22、，duufduddy)(dxxudu)( dxxuduudfdy)()(复合函数的微商等于它对中间变复合函数的微商等于它对中间变量的微商与中间变量对自变量微量的微商与中间变量对自变量微商的积。商的积。 xy2sinxusin2uy 2 ( sin/)2sincossin2dyu dx dx dxxxdxxdx例例1 求函数求函数解解 :令令，则，则的微分的微分例例2 求函数求函数xey的微分（的微分（a为常数）为常数）axuuey dxaedxdxaxddudedyaxu)(解：令解：令，则，则（ 2）线性组合函数的微分运算）线性组合函数的微分运算naaa,21)()()()(2211xfaxfaxfaxfnn)()()()(2211xfaxfaxfaxfnn设设为有限个常数