第一节重积分的概念与性质

1、平顶柱体体积平顶柱体体积=底面积底面积高高曲顶柱体体积曲顶柱体体积= ？),(yxfz d曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质一、二一、二重积分的概念重积分的概念解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),( yxfz底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 d.顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 d 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面.求其体积求其体积.“划分划分, 近似近似, 求和求和, 逼近逼近(取极限取极限)” xzyo),(yxfz d步骤如下

2、：步骤如下：xzyod),(yxfz i),(ii将将 d 任意划分任意划分为为 n 个小闭区域个小闭区域,21n 在每个在每个i 中中任取任取一点一点, ),(ii 则第则第 i 小块的体积小块的体积),2,1(),(nifviiii 总体积总体积 niivv1 niiiif1),( 取极限取极限, ,得得,),(lim10 niiiifv .最最大大值值个个小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的为为其其中中n 求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(iixyo,21n 在每个在每个i 中中任取任取一点一点, ),(ii 则第则第 i 小块的质量小块的质量),2,1(),(nimiiii 步骤

3、：步骤： 将将 d 任意划分任意划分为为 n 个小闭区域个小闭区域d,),(1 niiiim 取极限取极限, ,得得.),(lim10 niiiim 两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同 niiiifv10),(lim niiiim10),(lim 曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: “划分划分, 近似近似, 求和求和, 逼近逼近(取极限取极限)” 3. 二重积分的概念二重积分的概念如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称

4、此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 d d 上的上的二重积分二重积分，记为记为 ddyxf ),(，即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 若在直角坐标系下用若在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来平行于坐标轴的直线网来划分区域划分区域 d， dddxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：曲顶柱体体积曲顶柱体体积: dddxdyyxfdyxfv),(),( 平面薄片的质量平面薄片的质量: dddxdyyxdyxm),()

5、,( 二重积分二重积分 的几何意义：的几何意义：二重积分存在定理二重积分存在定理:(证明略证明略)定理定理： 222222ayxdyxa 例例.323a 0,01)1(yxyxdyx .,),(的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底以以其其投投影影域域为为顶顶面面以以dyxfz .61 ddyxf ),(性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( dddyxfkdyxkf 性质性质 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）二、二重积分的性质二、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加

6、性.),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 性质性质 设设 为为d的面积，的面积，.1 dddd 则则性质性质 若在若在d 上上),(),(yxgyxf .),(),( dddyxgdyxf 特别地特别地.),(),( dddyxfdyxf 则有则有),(2121无公共内点无公共内点ddddd 例例1 1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: d)(,d)(32 ddyxyx其中其中2)1()2(:22 yxd解解: 积分域积分域 d 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx 2)1()2(22 yx它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,.1相切相切与

7、直线与直线 yx, 1 yx从而从而 d)(d)(32 ddyxyx而域而域 d 位于直线的上方位于直线的上方, 故在故在 d 上上 1y2xo1d(仅在点仅在点(1,0)处取等号处取等号)解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 d 上上有有 eyx 21, 于于是是在在 d 内内有有 2)ln()ln(yxyx , 因因此此 ddyx )ln( ddyx 2)ln(.oxy121d1)ln(0 yx故故例例 3 3 判断判断 122)ln(yxrdxdyyx的符号的符号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22

8、yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解 设设m、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 d 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 d 的的面面积积，则则性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域d上上连连续续， 为为d的的面面积积，则则在在 d 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） dmdyxfm),( ),(),(fdyxfd（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(adyxede 解解 dedyx)(22 ab

9、.2aeab 区区域域 d 的的面面积积 , ab区区域域面面积积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在d上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxm),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i解解二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）小结小结被积函数被积函数相同相同, 且且非负非负, 思考与练习思考与练习yxyxiyxdd1122yxyxiyxdd12yxyxidd11113解解: 321,iii由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312iii11xyo1. 比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:2. 设设d 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则,d31dxyi,d322dxyidxyid3213的大小顺序为的大小顺序为