第一节二重积分的概念与性质

1、一、二重积分的概念一、二重积分的概念二、二重积分的性质二、二重积分的性质第十章第十章重重 积积 分分第一节二重积分的概念与性质第一节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念一、二重积分的概念例例 1 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积. 设有一立体的底是设有一立体的底是 xy 面面 上的有界闭区域上的有界闭区域 d， 侧面是侧面是以以 d 的边界曲线为准线、的边界曲线为准线、 母母线平行于线平行于 z 轴的柱面，轴的柱面， 顶是由顶是由二元非负连续函数二元非负连续函数 z = f ( (x, y) ) 所表示的曲面所表示的曲面. 这个立体称为这个立体称为 d 上的上的曲顶柱体曲顶柱体.试求该曲顶柱体的

2、体积试求该曲顶柱体的体积 .1. 引例引例dxyzo称为子域：称为子域： 1, 2 , , n , 并以并以 i ( (i = 1, 2, , n) )表示第表示第 i 个子域的面积，个子域的面积，( (1) ) 分割分割. 将区域将区域 d 任意分成任意分成 n 个小区域，个小区域， 然后对每个子域作以它的然后对每个子域作以它的边界曲线为准线、边界曲线为准线、母线平行母线平行 z 轴的柱面轴的柱面. 这 些 柱 面 就这 些 柱 面 就把原来的曲顶柱体分成把原来的曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体个小曲顶柱体.解解 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积( (2) ) 近似近似. 在每个小曲顶柱体的底在每

3、个小曲顶柱体的底 i 上任取一上任取一点点 ( i , i) (i = 1, 2, , n)，用以用以 f ( i , i) 为高、为高、 i为为底的平顶柱体的体积底的平顶柱体的体积 f ( ( i , i) ) i ， 近似替代第近似替代第 i 个个小曲顶柱体的体积，小曲顶柱体的体积， 即即 vi f ( i , i ) i .( (3) ) 求和求和.将这将这 n 个小平顶柱体的体积相加，个小平顶柱体的体积相加， 得得到原曲顶柱体体积的近似值，到原曲顶柱体体积的近似值，即即.),(11iniiiniifvv ( (4) ) 取极限取极限. 将区域将区域 d 无限细分且每一个子域趋无限细分且

4、每一个子域趋向于缩成一点，向于缩成一点， 这个近似值就趋向于曲顶柱体的体这个近似值就趋向于曲顶柱体的体积，积， 即即其中其中 是这是这 n 个子域的最大直径个子域的最大直径 ( (有界闭区域的直径有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值是指区域中任意两点间距离的最大值).).,),(lim10 niiiifv 例例 2 设有一平面薄片占有设有一平面薄片占有 xy 平面上的区域平面上的区域 d，如图，如图，平面薄片的质量平面薄片的质量.它的面密度它的面密度( (单位面积上的质量单位面积上的质量) )为为 d 上的连续函数上的连续函数 ( x , y ).求该平面薄片的质量求该平面薄片的质

5、量.即其质量可近似看成是均匀分布的即其质量可近似看成是均匀分布的. 于是在于是在 i 上任上任取一点取一点 ( i , i )， 第第 i 块薄片的质量的近似值为块薄片的质量的近似值为.),(iiiim 将薄片将薄片( (即区域即区域 d) )任意分成任意分成 n 个子域个子域 1 , 2 , , n ， 并以并以 i ( i = = 1, ,2, , , ,n)表示第表示第 i 个子域的面积个子域的面积 . .解解( (1) ) 分割分割. 因此当因此当 i 的直径很小时，的直径很小时，( (2) )近似近似 由于由于 (x , y) 在在 d 上连续上连续， 这个子域上的面密度的变化也很小

6、，这个子域上的面密度的变化也很小，( (4) ) 取极限取极限. . 当当 n 个子域的最大直径个子域的最大直径 0 时，时，上述和式的极限就是所求薄片的质量，上述和式的极限就是所求薄片的质量，即即 niiiim10.),(lim 将这将这 n 个看成质量均匀分布的小块的个看成质量均匀分布的小块的质量相加得到整个平面薄片质量的近似值，质量相加得到整个平面薄片质量的近似值， niniiiiimm11.),( ( (3) ) 求和求和. .即即2. 二重积分的定义二重积分的定义定义定义 设二元函数设二元函数 z = f ( (x, y) )定义在有界闭区域定义在有界闭区域 d 上上. 将区域将区域

7、 d 任意分成任意分成 n 个子域个子域 i ( (i = 1, 2, , n) ),并以并以 i 表示第表示第 i 个子域的面积个子域的面积. 在在 i 上任取一点上任取一点 ( ( i , i ) )，作和作和.),(1 niiiif 如果当各个子域的如果当各个子域的直径中的最大值直径中的最大值 趋于零时，趋于零时， 此和式的极限存在，此和式的极限存在， 则则称此极限为函数称此极限为函数 f ( (x, y) )在闭区域在闭区域 d 上的二重积分上的二重积分，.),(limd),(10 dniiiifyxf 这时，这时， 称称 f ( (x, y) )在在 d 上可积上可积， 其中其中 f

8、 ( (x, y) )称为被积称为被积函数函数， d),(yxf称为被积表达式，称为被积表达式， d 称为面积元称为面积元素，素， d 称为积分域，称为积分域， 称为二重积分号称为二重积分号.记为记为 dyxf,d),( 即即 二重积分二重积分 的的几何意义几何意义 dyxf d),(就是曲顶柱体的体积；就是曲顶柱体的体积； 当当0),( yxf时，时，柱体在柱体在 xy 平面的下方，平面的下方，二重积分二重积分 dyxf d),( 表示该柱体体积的相反值，表示该柱体体积的相反值， 即即 f ( (x , y) )的绝对值在的绝对值在 d上上的二重积分的二重积分 dyxf d),( 才是该曲顶

9、柱体才是该曲顶柱体的体积；的体积；当当 f ( (x , y) )在在 定义区域定义区域 d 上有正有负时上有正有负时, 则则二重积分二重积分 的值为的值为 dyxf d),(3. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义当当 f( (x, y) ) 0 0 时时， xy 平面上方柱体体平面上方柱体体积之和减去下方柱体体积之差积之和减去下方柱体体积之差.二、二重积分的性质二、二重积分的性质性质性质 1被积函数中的常数因子被积函数中的常数因子 可以提到二重积可以提到二重积分号的外面，分号的外面，即即. )(),(d),( ddkyxfkyxkf为常数为常数d d 性质性质 2 函数的和函数的和( (

10、或差或差) )的二重积分的二重积分 等于各个函等于各个函数的二重积分的和数的二重积分的和( (或差或差) )，即即.d),(d),(d),(),( dddyxgyxfyxgyxf 性质性质 3如果区域如果区域 d 被分成两个子区域被分成两个子区域 d1 与与 d2，则在则在 d 上的二重积分上的二重积分 等于各子区域等于各子区域 d1、d2 上的二重上的二重积分之和，积分之和， 即即 dddyxfyxfyxf12.d),(d),(d),( 这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 .性质性质4如果在如果在 d 上，上， f(x, y) = 1，且且 d 的面积为的面积为 ，则则 d.d 性质性质 5如果在如果在 d 上，上，则则推论推论函数在函数在 d 上的二重积分的绝对值上的二重积分的绝对值 不大于不大于函数的绝对值在函数的绝对值在 d 上的二重积分上的二重积分. 即即),(),(yxgyxf ddyxgyxf.d),(d),( ddyxfyxf.d),(d),( 性质性质 6 如果如果 m、m 分别是函数分别是函数 f( x, y) 在在 d 上上的最大值与最小值，的最大值与最