第三节无穷小和无穷大

1、第三节第三节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量2.3.1 无穷小量无穷小量 1.定义定义1 设设 f (x)在某在某u (x0)内有定义内有定义. 若若 则称则称 f (x)为为当当 xx0 时的时的无穷小量无穷小量.例如：例如：0limsin0 xx 由于，由于，sin0.xx 所以函数是当时的无穷小量所以函数是当时的无穷小量1lim0 xx 由于，由于，1.xx 所以函数是当时的无穷小量所以函数是当时的无穷小量( 1)lim0nnn 由于，由于，( 1).nn 所以数列是无穷小数列所以数列是无穷小数列0lim( )0,xxf x (2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小

2、量无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量. .2limsin1.xx 如如sinx是是x0时的无穷时的无穷小量，但小量，但注注 (1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆无穷小量是变量，不能与很小的数混淆; ;.2x 因因此此，它它不不是是时时的的无无穷穷小小量量(3)关于关于有界量有界量.2.无穷小量的运算性质无穷小量的运算性质时时, 有有,min21定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和 . 设设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当当100 xx时时 , 有有2, 02当当200 xx时时

3、, 有有2取取则当则当00 xx22因此因此.0)(lim0 xx这说明当这说明当0 xx 时时,为无穷小量为无穷小量 .定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xxmu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有m取,min21则当),(0 xx时 , 就有uumm故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .其中 为0 xx 时的无穷小量 . 定理定理2.3.1. ( 无穷小与函数极限的关系 )axfxx)(lim0 axf)(,证证:

4、axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 axf)(axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证 .mxf)(2.3.2、 无穷大无穷大定义定义2 . 若任给任给 m 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(xx )(x)(lim(xfx(正数正数 x ) ,记作, )(mxf总存在概念：概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中

5、的化过程中的无穷大量无穷大量.(非正常极限非正常极限).注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时 ,)(xf不是无穷大 !oxyxxycos例例 . 证明11lim1xx证证: 任给正数 m , 要使,11mx即,11mx只要取,1m则对满足10 x的一切 x , 有mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .渐近线1说明说明:xyo无穷小与无穷大的关系无穷小与无

6、穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则定理定理2.3.2 在自变量的同一变化过程中,所以所以2213lim54xxxx 2213lim.54xxxx 例 例 22154 lim = 0,3xxxx 解解因为因为2121lim .543xxxx 2.3.3 无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较,0时xxxxsin,32都是无穷小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . ,0limck,0lim若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷

7、小,)(o,lim若若若若若若, 1lim若若,0limc或或,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是关于是关于 的的 k 阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作)(o定义定义2.3.3例如例如 , 当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且例例1. 证明: 当0

8、x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb命题命题2.3.2)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx命题命题2.3.3 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim0520 ( ) ( )().f xg xxx00(i)lim( ) ( )lim( )

9、 ( );xxxxf x h xag x h xa若，则若，则无穷小量的等价替换定理无穷小量的等价替换定理 求两个无穷小量比值的极限时求两个无穷小量比值的极限时，分子及分母都可用等价无穷小分子及分母都可用等价无穷小量来代替量来代替 因此因此，如果用来代替的无穷小量选取得适当如果用来代替的无穷小量选取得适当，则可使计则可使计算简化算简化 定理定理3.12的意义的意义: :证证00( )( )(ii)limlim.( )( )xxxxh xh xbbf xg x若，则若，则0(i) lim( ) ( )xxg x h x00( )limlim( ) ( )( )xxxxg xf x h xf x1

10、;aa (ii).可类似证明可类似证明0( ), ( ), ( )(3.12)( 62)f xg x h xuxp 定理定理设函数在内有定义，且有设函数在内有定义，且有2.3.3,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等价无穷小 :xx )1ln( 32101232112yx sinyx 10143211234tanyx yx 10.500.511.510.50.511.5yx arcsinyx 21.510.500.511.521.510.50.511.5yx arctanyx 21.510.500.511.520.50.511.522xy 1cosyx 0.500.511.520.50.511.5yx ln(1)yx 无穷小量的等价替换定理的几何意义无穷小量的等价替换定理的几何意义 解解 当当x0时时 tan 2x2x sin 5x5x 所以所以 0tan2 lim.si n5xxx例例0tan2limsin5xxx 02lim5xxx 2.532011lim.1cosxxx 例例 23211 (),3xx