第五节极限运算法则

1、第五节极限运算法则第五节极限运算法则一极限运算法则一极限运算法则二极限的不等性二极限的不等性三求极限方法举例三求极限方法举例四小结与思考判断题四小结与思考判断题定理定理1. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf其中其中则则设设证.)(lim,)(limbxgaxf . 0, 0.)(,)( 其中其中bxgaxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则, ,得得极限的四则运算法则一、极限的运算法则. 0)()()(baxgxf 成立.成立.)1()()()(baxgxf abba )( )(ba.

2、 0(2)成立.(2)成立.baxgxf )()(baba )( bbab. 0 ab, 0, 0 b 又又, 0 ,00时时当当 xx,2b bbbb21 b21 推论1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2,21)(2bbb ,2)(12bbb 故故有界，有界，(3)成立.(3)成立.定理定理1 1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到给出了极限的四则运算法则，它可以推广到ab

3、或或以及（以及（3）中的某些情形：）中的某些情形：（1）当时，而）当时，而时，ab)()(limxgxf（2 2）当时，而时，）当时，而时，a0b)()(limxgxf（3 3）当时，而时，）当时，而时，ab)()(limxgxf（4 4）当时，而时，）当时，而时，ab0)()(limxgxf（5 5）当时，而时，）当时，而时，0b0a)()(limxgxf关于数列极限也有类似的四则运算法则关于数列极限也有类似的四则运算法则定理2（复合函数的极限运算法则）设函数是由函数与)(xfy )(ufy )(xu 复合而成，)(xfy 在点的某去0 x心邻域内有定义若0)(lim0uxxx aufuu)

4、(lim,0且存在，当时，00 ),(000 xux有0)(ux 则aufxfuuxx)(lim)(lim00 证按函数极限的定义，需要证：对任意的按函数极限的定义，需要证：对任意的0 0 00 xx axf)(，存在存在，当当由于由于，对任意，对任意，存在，存在aufuu)(lim00 0 当时，当时， 00uu auf)(又由于又由于,)(lim00uxxx 对上面得到的对上面得到的，0 存在存在01 00 xx，当时，当时， 0)(ux由条件当时，由条件当时，),(000 xux0)(ux 取取,min10 ，则当，则当时，时， 00uu 0)(ux0)(0ux 及及同时成成立即同时成成

5、立即 0)(0ux成立，从而成立，从而 aufaxf)()(成立成立此定理给出了求复合函数的极限的公式此定理给出了求复合函数的极限的公式)(lim)(lim00ufxfuuxx 二、极限的不等性证明：令证明：令 0)()()( xgxfxf根据保号性定理，有根据保号性定理，有0)()(lim)(lim xgxfxf从而，从而，0)(lim)(lim baxgxf即即.ba baxgxfbxgaxf 则有则有且且若若)()(,)(lim,)(lim定理3例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2

6、222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 三、求极限方法举例小结:则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xqxqxpxf)(lim)(lim)(lim000 xqxpxfxxxxxx )()(00 xqxp ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用可用推广的则商的法则不能应用可用推广的若若 xq公式求公式求例2

7、.12lim21 xxx求求解（也可由无穷小的倒数为无穷大来求）（也可由无穷小的倒数为无穷大来求）22lim1 xx0)1(lim,21 xx商的法则不能用，但由推广的公式（商的法则不能用，但由推广的公式（5）可得）可得.12lim21 xxx例3求.93lim21xxx6131lim)3)(3(3lim93lim1121 xxxxxxxxx解当时，分子、分母的极限都为零，此时当时，分子、分母的极限都为零，此时不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约去无穷小因子的方法将函数变形后求极限去无穷小因子的方法将函数变形后求极限1x例4.147532li

8、m2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)例5求极限求极限2324123limxxxxx 解当时，分子分母都趋于无穷大，当时，分子分母都趋于无穷大，用无穷大因子去除分子分母，然后再求极限用无穷大因子去除分子分母，然后再求极限 x3x014123lim4123lim32232 xxxxxxxxxx例6求极限求极限1234lim222 xxxxx用去除分

9、子分母，然后求极限用去除分子分母，然后求极限解2x222212314lim1234limxxxxxxxxx也可利用例也可利用例5的结果求极限的结果求极限“非零无穷小的倒数为非零无穷小的倒数为无穷大无穷大”的结论得到例的结论得到例6的结果的结果综合例综合例4 4、例、例5 5、例、例6 6的结果，可有：的结果，可有：为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无

10、穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .例7求) 15()2(lim2432xxxxx5858lim) 15()2(lim662432 xxxxxxxx解例8求)21 (21lim222nnnn 解322) 1() 12)(1(61lim)21 (21lim2222 nnnnnnnnnnn例9求xxxarctanlim解当时，为无穷小，而是当时，为无穷小，而是xx1xarctan有界函数，所以有界函数，所以0arctanlimxxx例10).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)

11、1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; ;b.b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限; ;c.c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; ;d.d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; ;e.e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. .四、小结与思考判断题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限

12、，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxx