培训学校初二升初三暑假讲义第1-10讲

1、第一讲：一元二次方程学习目标：1 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义；2 一元二次方程的一般形式及其有关概念；3 使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式；4 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。 学前准备：1、_叫方程； _叫一元一次方程。 经典例题：1、剪一块面积为150的长方形铁片，师它的长比宽多5cm，这块铁皮该怎么剪呢？如果铁皮的宽为x（cm），那么铁皮的长为_cm、 根据题意，可得方程是：_2、一个数比另一个数小，且这两数之积为6，求这两个数。设其中较小的一个数位x，请列出满足题意的方程_、3、正方

2、形的面积是2，求它的边长？_、4、矩形花圃一面靠墙，另外三面所围得栅栏的总长度是19m，如果花圃的面积是24，求花圃的长和宽。_知识点总结：其中_叫做二次项，a叫做_,bx叫做_,b叫做_、c是常数项。_ 叫方程的解。1、下面是一元二次方程吗？（填“是”或“否”） 2、方程：3x(x-1)=2(x+2)+8(1) 是一元二次方程吗？如果是一元二次方程请将它转化成一般形式。(2) 如果是，请分别说出它的二次项，一次项，常数项和它各项的系数。3、已知x=1是一元二次方程的一个解，则m的值是多少？请写出你的思考过程。4、已知关于x的一元二次方程的一个根是0，求m的值。能力提高：1、下面的方程式一元二

3、次方程吗？如果是，请说出方程中的a,b,c分别是多少？ 2、把下列的方程先转化为一元二次方程的一般形式，再分别写出它各项的系数。 3、已知x=1是方程的根，化简；4、已知实数a满足，求的值5、已知m，n是有理数，方程有一个根是，求m+n的值。课堂练习：1、将化为，a，b，c的值分别为（ ） A、 0, -3, -3 B、 1、 -3, 3 C、 1, 3, -3 D、 1, -3, -32、若方程是一元二次方程，则m的值是（ ）A、 B、 C、 D、 3、已知方程：；其中一元二次方程的个数是（ ） A、0 B、 1 C、 2 D、 34、把方程化成一元二次方程的一般形式，再求出它的二次项系数与

4、一次项系数的和。5、下列方程中，无论a取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ） A、 B、 C、 D、6、若是关于x的一元二次方程，求m，n的值。7、当m取任意实数时，判断关于x的方程的类型。课后练习：1、若方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A、 m=±2 B、 m=2 C、 m=-2 D、 m±22、如果关于x的方程的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p的值是 （ ） A、1 B、 ±1 C、 2 D、 ±23、已知m是方程的一个根，则代数式的值为_;4、若方程的一个根是2，则k=_;5、当k满足条件_时，方程不是关于x的一元二次方程。6、若关于x

5、的一元二次方程的常数项为二次项系数的2倍，则一次项系数为_;7、已知是一元二次的解，则=_;第二讲：一元二次方程的解法（1）学习目标：1 理解一元二次方程降次的转化思想；2 会利用直接开平方法对形如的一元二次方程进行求解；3 发现不同方程的转化式，运用已有知识解决新问题。学前准备：19的平方根是_,用符号表示为_;225的平方根是_,用符号表示为_;3a 的平方根是_;经典例题1解方程：2 解方程：思考：1上述解一元二次方程的方法是什么？它的理论依据是是什么？2 方程有实数解吗？为什么？3由第2题你能得到用直接开平方法解一元二次方程需要注意什么呢？4 我们又如何检验我们所解得方程是否正确呢？5

6、 练一练：解方程：6 小明同学在解方程时是这样解的，请同学们看看他的解法对吗？如果是你解，该如何解呢？课后练习：1方程的实数根的个数是（ ）A1 B. 2 C. 0 D.以上答案都不对2方程的根是（ ）A B. C. D. 3方程的根是（ ）A. B. C. D. 4方程的根是_.5若方程有整数根，则m的值可以是_(只填一个)6当n_时，方程有根，其根为_.7已知一元二次方程，试用直接开平方法解这个方程。8.一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：，则石头经过多长时间落到地面？ 第三讲：一元二次方程的解法（2）一 学前准备：1完全平方和公式：_;

7、完全平方差公式：_2这两个公式都有什么共同特点：_3解方程：经典例题独立思考·解决问题试一试：完成下列配方过程解方程：思考：1 上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蕴含着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？2 那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是什么了吗？你能说说你发现了什么没有？3 你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？4 练一练：（1） 填空（2） 用配方法解下列方程： 课后练习：1已知一元二次方程，若用配方法解该方程时，则配方后的方程为（ ） A. B. C. D. 2用配方法解方程，应把方程的两边同时（ ） A.加 B.加 C.减 D.减34若是一个完全平方

8、式，则a=_;5用配方法解方程：（1）； （2）； （3）；能力提高：（1）的值恒为正； （2）的值恒小于0第四讲：一元二次方程的解法（3）学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程； 3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力； 4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。学前准备1 配方法解一元二次方程的关键是_;2 一元二次方程中a=_,b=_,c=_; 3 一元二次方程中a=_,b=_,c=_.4 用配方法解一元二次方程经典例题用配方法解一元二次方程；

9、请同学们独立完成此题。思考：由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a,b,c而定，因此：（1） 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形，当时，将a,b,c代入式子x=_，就得到方程的根；当时就得到方程无实数根；（2） 这个式子叫做一元二次方程的求根公式；（3） 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；（4） 由求根公式可知，一元二次方程最多有_个实数根。1：用公式法解下列方程：（1）； （2）练习：把下列方程化成的形式，并写出其中a,b,c的值；一 自我测验1用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）A. B. C D. 2方程的根是（ ）A B. C. D. 3方程的正根是（ ）4方程的

10、两根=_, =_;5一元二次方程中，=_，若=9，则m=_；6用公式法解方程：第五讲：一元二次方程的解法（4）学前准备：1.因式分解的定义_;2.因式分解与整式乘法互为_；3.因式分解有如下几种方法，分别是_,_,_;4.对以下整式进行因式分解： 5.解下列方程： 经典例题(1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0;问题：（1）你能观察出这两题的特点吗？ （2）你知道方程的解吗？说说你的理由（二）思考：因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个的值就至少有一个为_.即：若ab=0,则_或_。由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0

11、时，即可解之。这种方法叫做因式分解法。你能总结出因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？课内练习：1解方程2 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 8和183 用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0，可把其化为两个一元一次方程_,_求解。课后作业：1方程的根为（ ） A. B. C. D. 2关于方程(x-m)(x-n)=0的说法中，正确的是（ ） A. x-m=0 B. x-n=0 C. x-n=0或x-m=0 D. x-n=0且x-m=03若与是同类项，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3

12、 D. -2或-34关于x的方程ax(x-b)-(b-x)=0 (a0)的根为（ ） Aa或b B. 或b C. 或b D. a或-b5方程的根是_;6方程的根是_;7用因式分解法解下列方程：第六讲：一元二次方程的解法总结学习目标：1.会选择利用适当的方法解一元二次方程； 2.体验解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法； 3.积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最优方法，在学习活动中获得成功的体验。学前准备：1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为_，即_2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接

13、开平方法平方根的定义配方法完全平方公式公式法配方法因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于03、一般考虑选择方法的顺序是：_法、_法、_法或_法经典例题解下列方程： 思考：通过对以上方程的解法，你能总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？1.解一元二次方程（1） （2） （3） 2.填表方程两根3.思考：观察表中数据，你发现方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？4.猜想：若一元二次方有两根 则 = ， = 5.验证：若一元二次方程有两根 则 例 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：（1） （2）课内练习：1. 不解方程，求

14、下列方程两根的和与积：（1） （2）2.已知关于的方程的一个根是2，求它的另一根及的值.3已知一元二次方程的两个根为，求下列各式的值：（1） （2） 课后作业：1下列方程一定能用直接开平方法解的是（ ） A. B. C. D. 2解方程的最适当的方法应是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D.因式分解法3 设a是方程较大的一根，b是方程较小的一根，那么a+b的值为（ ） A. -4 B. -3 C. 1 D. 24已知，当A=B时，x的值为（ ） A. x=3或x=1 B. x=-3或x=-1 C. x=3或x=-1 D. x=-3或x=15方程的解是_;6已知x+y=7且

15、xy=12，则当x<y时，的值等于_.7用适当的方法解下列方程8. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） （4）9. 选择合适的方法解下列方程:10.以3和2为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D.11.设方程的两根分别为，且，那么m的值等于（ ） A. B.2 C. D.12.点P （a,b）是直线y=x+5与双曲的一个交点，则以a,b两数为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 13.已知两根之和等于两根之积，则m的值为（ ） A.1 B.1 C.2 D.214.已知a、b是关于x的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（ ） A. B. C. D.15.

16、 不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积。（1） （2）第七讲：一元二次方程解法总结学习目标:1、 对一元二次方程组解法的总结2、 直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法适当的选择。典型例题：用直接开平方法解下列一元二次方程。1、 2、 3、用配方法解下列一元二次方程。1、. 2、 3、4、 5、 6、 用公式解法解下列方程。1、 2、 3、4、 5、 6、 用因式分解法解下列一元二次方程。1、 2、 3、4、 5、 6、课内练习：用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法)1、 2、 3、 4、 5、 6、7、 8、 9、10、 11、 12、13、 14、 15、 1

17、6、 17、 18、 19 、 20、 课后作业：1、已知一元二次方程.（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根2、已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程的一个根为03、无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由4、 x2+4x-12=0 5、 6、 7、 8、3x2+5(2x+1)=0 9、 第八讲：实际问题与一元二次方程学习目标：1、运用一元二次方程分析和解决实际应用问题（细菌传播问题）2、找出可以作为列方程依据的主要相等关系，体现建模思想。3、

18、找出可以作为列方程依据的主要相等关系。课前预习：1、 解一元二次方程的方法有 。 2、选择合适的方法解下列方程 （1）1+x+x(1+x)=121 （2）x(x 1)= 15 经典例题；（一）探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人,完成下表：开始感冒人数第一轮传染的人数第一轮传染后患感冒的总人数第二轮又传染的人数第二轮传染后患感冒的总人数拓展：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？三、当堂达标1、某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是

19、91，每个支干长出多少小分支？2、要组织一次篮球联赛，计划安排15场比赛。（1）若每两队之间都赛一场，应邀请的多少个球队参加比赛？（2）是否存在每两队之间都赛两场的可能呢？若能，应邀请多少个球队参加比赛？若不能，请说明理由。3、甲型 H1N1 流感病毒的传染性极强，某地 因 1 人患了甲型 H1N1 流感没有及时隔离治 疗，经过两天传染后共有 9 人患了甲型 H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？ 如果按照这个传染速度，再经过 5 天的传染后， 这个地区一共将会有多少人患甲型 H1N1 流感？4、某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550

20、张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为() Ax(x1)2550 Bx(x1)2550 C2x(x1)2550 Dx(x1)2550×25、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？6、参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？课后作业：1、某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？2、某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程

21、为() Ax(x1)2550 Bx(x1)2550 C2x(x1)2550 Dx(x1)2550×23、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？第九讲：实际问题与一元二次方程（2）学习目标：1、运用一元二次方程分析和解决平均降低（增长）率问题2、找出可以作为列方程依据的主要相等关系3、理解平均降低（增长）率的概念经典例题：1、小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是50分，第二次月考增长了20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？2、若第一次月考数学成绩是50分，第二

22、次月考增长了x，第三次月考又增长了x，问他第三次数学成绩是多少？（请填在下表中） 分析：第一次月考数学成绩第二次月考数学成绩第三次月考数学成绩 总结：增长率= ，降低率= 变式训练：1两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，现在生产1吨甲种药品的成本是3 200元，求甲种药品成本的年平均下降率2两年前生产1吨乙种药品的成本是6 000元，现在生产1吨乙种药品的成本是4860元，求乙种药品成本的年平均下降率3、两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3200元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药

23、品成本的年平均下降率较大？课堂小结平均增长(降低)率问题：最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系： M=a(1±x)n  课内练习：1、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8712kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率。2、博兴实验中学2013级学生，在初一阶段有10人在国家级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有70人次在市级以上得奖，求这两年中得奖人次的年平均增长率。、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围成一个矩形场地。（1） 怎样围才能使矩形场地的面积为750？（2） 能否使所

24、围矩形场地的面积为810？、用一条长40的绳子怎样围成一个面积为75的矩形？能围成一个面积为101的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由。、如图所示，某小区规划在一个长16，宽9的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使期中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。如果使草坪部分的总面积为112，求小路的宽度。 能力提升：据题意列出方程，不求解。要为一幅长29，宽22的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度是多少厘米？若设镜框边的宽度是，则可列方程为 课后作业：1、在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图)的四周镶宽度相同的金色纸

25、边，制成一幅矩形挂图(如图)如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽 2、如图，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草若使每一块草坪的面积都是144 m2，求马路的宽 第十讲：一元二次方程复习学习目标：、以实际问题为背景线索，能独立回顾一元二次方程的相关知识，并能进行初步的知识组织，通过相互交流建立一元二次方程的相关知识。、一元二次方程是刻画现实问题的重要模型，请大家从简单的面积问题开始：、进一步明确列一元二次方程解应用题的一般步骤，进一步掌握两类重点问题：面积问题、增长率问题，从而

26、提高分析问题和解决问题的能力。经典例题：矩形的周长为14，面积为10，求这个矩形的边长。（1）你所设的未知数是 ， 列出的方程为 。（2）解方程：（用尽可能多的方法）（）若周长不变，面积为15，求这个矩形的边长。（）若周长为14，猜想：这个矩形的的最大面积是多少？课内练习：1、方程4x(x-3)=2-x2的一般式是 ，一次项系数是 ，常数项是 。方程的根是 。2、若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一根根是-2，则另一个根是 。3、 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A k>-1 B k>-1且k0 C k<

27、1 D k<1且k04、用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ） A 、（x+1）2=6 B 、（x-1）2=6 C 、（x+2）2=9 D、（x-2）2=95、已知x1,x2是方程x2+6x+3=0的两个根，则 的值为 。6、某市2013年GDP比2012年增长了8%，由于受到金融危机的影响，预计2014年比2013年增长7%，设这两年GDP年平均增长率为x%，则所列方程为（ ） A、8%+7%=x% B、（1+8%）（1+7%）=2(1+x%) C、8%+7%=2x% D、（1+8%）(1+7%)=(1+x%)28、选择适当的方法解方程：（1）x2=3x ; (2)4

28、(x-2)2=20; (3)x2+4x=5;问题：1 老王承包了一块长方形土地，长32米，宽20米，为了便于灌溉，他在土地上修筑了两条一样宽的水渠（如图1所示）为了使余下部分面积还剩540平方米，水渠的宽应为多少？变式1 若设计了如图所示的水渠，则水渠的宽度又为多少？（只列方程，不求解） 方程： 。变式2 若把水渠由直线改为斜线如图（3）所示，则水渠的宽度又为多少？（直接写出答案）水渠的宽度为 。20m 32m2 、老王在该土地上种植白菜喜获丰收，经计算白菜成本2元/千克,若以3元/千克的价格出售,每天可出售200千克,为了促销,他决定降价销售、经调查发现,这种白菜每降价0、1元/千克,每天可多售出40千克,另外每天的房租等固定成本需要24元、老王每天盈利200元,应将每千克白菜的售价降低多少元?3、 老王算了算2013年种植白菜共获利4320元，他记得自己2011年种植白菜共获利3000元，若从2011年到2