第八九十节函数的连续性与间断点

1、第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 函数的增量函数的增量变量变量u由始值由始值u1变到终值变到终值u2则则u的增量为：的增量为： y终值始值终值始值u2u1 yf（x0 x）f（x0）yf（x）yoxx0 x0 xf(x0)f(x0 x)一，函数的连续性一，函数的连续性连连续续。那那么么就就称称函函数数在在点点处处的的函函数数值值，即即它它在在点点时时的的极极限限存存在在，且且等等于于当当如如果果函函数数的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，在在点点设设函函数数：定定义义00000 )()(lim )( )( 10 xx

2、fxfxxxxfxxfyxx 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间连续。的连续函数，或者说函数在该区间连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.xy0 xy00 xxx 0)(xfy 0 xxx 0y )(xfy x x y 连续。在点也趋于零，则称函数增量数值的趋向于零时，对应的函自变量的增量如果的某一邻域内有定义，在点设函数：定义0000)()(2xxfyyyxxxxxf一切基本初等函数在其定义域内是连续的。一切基本初等函数在其定义域内是连续的。证明函数证明函数ysinx

3、在区间在区间(-,)内是连续的。内是连续的。单侧连续（左右连续）单侧连续（左右连续）;)(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxf 例例1 1.0, 0, 2, 0, 2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx),0(f

4、)2(lim)(lim00 xxfxx),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf2 2 xyo二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf)(lim)(lim;)(lim)2(00000 xfxfxfxxxxxx即存在).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述

5、述三三个个条条件件中中只只xfxxxf例例1 讨论函数讨论函数 在在 点处的连续性点处的连续性xxftan)( 2 x例例2 讨论函数讨论函数 在在 点处的连续性点处的连续性xxfsgn)( 0 x例例3 讨论函数讨论函数 在在 点处的连续性点处的连续性11)(2 xxxf1 x2 xy o2 23 11xyoxyo112无穷间断点无穷间断点跳跃间断点跳跃间断点可去间断点可去间断点oyx振荡型间断点振荡型间断点间断点分类：间断点分类：x0是函数是函数 f(x)的间断点，若左极限的间断点，若左极限 f(x0-0)和和右极限右极限 f(x0 0+0)存在，存在，x0 0是是第一类间断点第一类间断点

6、。否则称为否则称为第二类间断点第二类间断点。是是是否是否否否函数在某一点的间断点类型函数在某一点的间断点类型判断流程图判断流程图左右极限存在左右极限存在左右极限相等左右极限相等等于函数值等于函数值函数在该点连续跳跃间断点可去间断点左右极限等于左右极限等于无穷大无穷大无穷间断点其他间断点第一类间断点第一类间断点oyx第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x可去型可去型跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第九节第九节 连续函数的运算与连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数的连续性第九节第九节 连续函数的运算与连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数的连续性一，连续函数的和、积

7、、商的连续性一，连续函数的和、积、商的连续性返回定理定理1 （四则运算）（四则运算） 两个在某点连续函数的两个在某点连续函数的和和、差差 、积、积 、商商（只要（只要分母在该点不为零）也在分母在该点不为零）也在 该点连续，。该点连续，。二，反函数与复合函数的连续性二，反函数与复合函数的连续性（或减少）且连续。、单调增加也在对应的区间上单值反函数那么它的加（或减少）且连续，某区间上单值、单调增在）如果函数（反函数的连续性定理定理)()(4yxxfy连续的。连续的。也是也是在点在点连续，那么复合函数连续，那么复合函数在点在点，而函数，而函数连续，且连续，且在点在点理）设函数理）设函数（复合函数的连

8、续性定（复合函数的连续性定定理定理00000)()()()(5xxxfyuuufyuxxxxu 三，初等函数的连续性结论：结论：基本初等函数在其定义域内都是连续的！基本初等函数在其定义域内都是连续的！一切初等函数在其定义域区间内都是连续一切初等函数在其定义域区间内都是连续的！的！定义域区间：包含在定义域内的区间。定义域区间：包含在定义域内的区间。第十节第十节 闭区间上连续函数的性质定理定理 1 闭区间上连续函数一定在该区间有最大 值和最小值。一，最值定理）上的最大值（或最小值上的最大值（或最小值在区间在区间是函数是函数则称则称或者或者都有都有任意的任意的，如果对于，如果对于的定义域为的定义域为最值的定义：设函数最值的定义：设函数ixfxfxfxfxfxfixixf)()()()()()(,)(, 1000 定理定理2（有界性定理）（有界性定理）闭区间上的连续函数在该区间 有界。返回二，介值定理的零点。为函数，则称使得若)(0)(, 1000 xfxxfx0)()(),()()(,)(3fbaxfbabfafbaxf）使得（一点的一个零点。即至少有内至少存在函数异号，那么在开区间与且上连续，在闭区间数（零点存在定理）设函定理xyabcfbacbababbfaaf)(),(,)( ,)(,)(4，使得至少有一点内在开区间之间的任意一个常数与那么对于端点取值不同间闭区间上连