第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例

1、第三第三节节 平面向量的数量积及平面向平面向量的数量积及平面向量的应用举例量的应用举例基础梳理基础梳理1.两个向量的夹角(1)定义已知两个 向量a和b,作 =a, =b,则aob=叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角的取值范围是 ,a与b同向时,夹角= ;a与b反向时,夹角= .(3)向量垂直如果向量a与b的夹角= , 则a与b垂直,记作 .oaob ab非零01800180902. 平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量 叫做a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab= ,并规定零向量与任一向量的数量积为 .(2)一向量在另一向量方向上

2、的投影定义设是a和b的夹角,则 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做 的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当090时,它是 ,当900，即ab2(a2b2)ab0.把ab3，a2b2|a|2|b|22911代入上式得321130，解得 ，又因为ab与ab的夹角为锐角，所以即1，所以 23 232118561185611851185(,)(,1)(1,)66题型四向量在几何中的应用【例4】已知等腰直角三角形aob中，ac、bd为两直角边上的中线，求ac、bd相交所形成的钝角的余弦值. 分析：角的计算，可归结为两个向量的夹角的计算本题适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标

3、及向量的坐标，即可通过运算求解. 解析：如图，分别以等腰直角三角形aob的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设a(2a,0)，b(0,2a)，则d(a,0)，c(0，a)(a0 )， (2a，a)， (a，2a)ac、bd相交形成的钝角即为 与 的夹角，cos即ac、bd相交形成的钝角的余弦值为 . acbd acbd 222 , 24455|55ac bda aaaaaacbdaa 4522221ad =(ab +ac )22bc变式4-1已知abc中，ad为中线，求证：解析：以b为坐标原点，以bc所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设a(a，b)，c(c,0)，则 ，则 (ca，b

4、)， =(c,0),02cd,=(-a,-b)2cadababao acbcoc 222222()-ac+a +b24ccadab222222222221|1()()()22244bccabacabcabcabac 22221|()()|22bcabacad 所以即22221ad =(ab +ac )22bc易错警示【例1】若正abc的边长为1，则 =_.错解由于正abc的边长为1，所以a=b=c=60，所以 bc ba 1cos c= 2bc babc ba 正解： 与的夹角为180bca120，所以 . bcca 与1cos c=- 2bc babc ba 993 2【例2】设e1、e2是夹角为45的两个单位向量，且a=e1+2e2，b=2e1+e2，求|a+b|的值错解a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2，a+b=(3,3)，|a+b|=.正解：ab3(e1e2)，|ab|3(e1e2)|3 212ee2221212122212123323 |2|453 22cos eeeee eeeee(2010重庆)已知向量a，b满足ab=0，|a|=1，|b|=2，则|2a-b|=_.知识准备：1. 要熟悉向量模的