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文档简介
1、1 1、多元函数的极限、多元函数的极限说明:说明:(1)定义中)定义中 的方式是任意的;的方式是任意的;0pp (2)二元函数的极限运算法则与一元)二元函数的极限运算法则与一元函数类似函数类似存在性存在性定义,夹逼定理定义,夹逼定理不存在不存在特殊路径、两种方式特殊路径、两种方式求法求法运算法则、定义验证、夹逼定理运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等消去致零因子、化成一元极限等2 2、多元函数的连续性、多元函数的连续性)()(lim00pfpfpp 3 3、偏导数概念、偏导数概念定义、求法定义、求法偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系高阶偏导数高阶偏导数纯偏导、混
2、合偏导纯偏导、混合偏导4 4、全微分概念、全微分概念定义定义可微的必要条件可微的必要条件可微的充分条件可微的充分条件利用定义验证不可微利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导5 5、复合函数求导法则、复合函数求导法则),(),(),(yxvvyxuuvufz xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 法则22 “分道相加,连线相乘分道相加,连线相乘”法则的推广法则的推广任意多个中间变量,任意多任意多个中间变量,任意多 个自变量个自变量如何求二阶偏导数如何求二阶偏导数6 6、全微分形式不变
3、性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数,它的全微分形式是一样的的函数,它的全微分形式是一样的.zvu 、vu 、dvvzduuzdz .7 7、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则0),()1( yxf0),()2( zyxf 0),(0),()3(zyxgzyxf 0),(0),()4(vuyxgvuyxfzyzxffyzffxz ,公式法公式法直接法直接法全微分法全微分法8 8、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线求直线、平面的方程求直线、平面的
4、方程定点(过点)、定向(方向向量、法向量)定点(过点)、定向(方向向量、法向量)曲线:参数式,一般式给出曲线:参数式,一般式给出曲面:隐式、显式给出曲面:隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法求隐函数偏导数的方法1010、多元函数的极值、多元函数的极值9 9、方向导数与梯度、方向导数与梯度定义定义计算公式(注意使用公式的条件)计算公式(注意使用公式的条件)梯度的概念梯度的概念向量向量梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件极值、驻点、必要条件充分条件充分条件) 0(2 acb求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤:极值的一般步骤:(3 3)点集点集e的聚点可以属于的聚点可以
5、属于e,也可以不属于,也可以不属于e10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0, 0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合(1 1)内点一定是聚点;内点一定是聚点;(2 2)边界点可能是聚点;边界点可能是聚点;10| ),(22 yxyx例如,例如,(0, 0) 既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点注意注意: 是指是指 p 以任何以任何方式趋于方式趋于p0 .0pp ,)(lim00axfxx ,)(lim00axfxx .)(lim0axfxx 一一元元中中多多元元中中,)(lim0ax
6、fpp . )() ( 0ppaxf以以某某种种方方式式趋趋于于axfyyxx )(lim00ayxfyyxx ),(lim00) (0px轴轴沿平行沿平行ayxfyyxx ),(lim00) (0py轴轴沿平行沿平行) )( (000pxxkyy 沿沿ayxfxx ),(lim0000)(yxxky (1) (1) 令令),(yxp沿沿)(00 xxkyy 趋向于趋向于),(000yxp, 若极限值与若极限值与k有关,则可断言极限不存在;有关,则可断言极限不存在; (2) (2) 找两种不同趋近方式,使找两种不同趋近方式,使),(lim00yxfyyxx存在,但存在,但 两者不相等,此时也可
7、断言两者不相等,此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxp 处极限不存在处极限不存在 确定极限确定极限不存在不存在的的方法方法:例例3 3 设设解解 . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyyxf但取但取,kxy ),(lim00yxfkxyx 2200)(limkxxkxxkxyx 其值随其值随 k 的不同而变化。的不同而变化。不存在不存在).,(lim 00yxfyx求求 ),(lim00yxfyx, 00lim 0 y ),(lim00yxfyx, 00lim 0 x.12kk 故故),(lim00yxfyx设设0p是函数是函数)(pf的定义域的聚点,
8、如果的定义域的聚点,如果)(pf在点在点 0p处不连续,则称处不连续,则称0p是函数是函数)(pf的的间断点间断点. . 注意注意:二元函数可能在某些孤立点处间断,也可能:二元函数可能在某些孤立点处间断,也可能 在曲线上的所有点处均间断。在曲线上的所有点处均间断。例如,例如, . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyyxf. )0 , 0(是是间间断断点点.),(2xyxyyxf 时,时,当当 2xy . ),(无定义无定义yxf因此,因此,的间断点。的间断点。上的所有点均是上的所有点均是 ),( 2yxfxy 例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(,
9、0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 当当 时时 220yx 2)0 , 0(),(fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化,的不同而变化,极限不存
10、在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续偏导数偏导数xu 是一个整体记号,不能拆分是一个整体记号,不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明:有关偏导数的几点说明:、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;定义求;解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf .),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏导数的偏导数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解解,)0 , 0(),(时时当当 yx22222)(2)(),(yxxyx
11、yxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx ,)0 , 0(),(时时当当 yx按定义可知:按定义可知:xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yy,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy2 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系
12、例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 依定义知在依定义知在)0 , 0(处,处,0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续,多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续,连续,问题:问题:混合偏导数都相等吗?混合偏导数都相等吗?.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(223的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数求求设设yxfyxyxyxyxyxf 例例 8 8解解,)0 , 0(),(时时当当 yx2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx ,)(232224222yxyxyxyx ,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy ,)0 , 0(),(时时当当 yx按定义可
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