第八章第5节平面及其方程

1、1第一节、向量及其线性运算第一节、向量及其线性运算第三节、曲面及其方程第三节、曲面及其方程 第8章 本章内容：本章内容：第二节、数量积第二节、数量积 向量积向量积 混合积混合积* *第八章 空间解析几何 与向量代数第四节、空间曲线及其方程第四节、空间曲线及其方程第五节、平面及其方程第五节、平面及其方程第六节、空间直线及其方程第六节、空间直线及其方程2平面及其方程第五节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角四、小结及作业四、小结及作业3xyzo0mm 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量

2、法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,cban ),(0000zyxm设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxmnmm 0必有必有00 nmm一、平面的点法式方程n:平面的法向量平面的法向量4zz ,yy,xxmm0000 0)()()(000 zzcyybxxa平面的点法式方程平面的点法式方程 其中法向量其中法向量,c,b,an 已知点已知点).,(000zyx:用法用法.方程方程就可写出平面的点法式就可写出平面的点法式及一个法向量及一个法向量只要知道平面上的一点只要知道平面上的一点51例例.1, 9 ,14)4 , 1, 2(0的平面

3、方程的平面方程且垂直于向量且垂直于向量求过点求过点 nm:解解 由由点点法法式式得得0)4()1(9)2(14 zyx015914 zyx6解解6, 4, 3 ab1, 3, 2 ac取取acabn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx132643 kji73例例)yoz(zy),(面上面上夹角平分线夹角平分线轴轴轴与轴与且垂直于且垂直于已知平面过点已知平面过点321xyzo:解解,j010 ,k100 在角平分线上在角平分线上,kj110 ,n110 方程方程032 )z()y(5 zy即即8由平面的点法式方

4、程由平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,cban 二、平面的一般方程二、平面的一般方程9平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( d平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( a , 0, 0dd平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.104例例.)1,

5、3, 4(轴的平面方程轴的平面方程和和求过点求过点x :解解,轴轴平面过平面过x0 czby可设方程为可设方程为代入代入将点将点)1, 3, 4( 03 cbbc3 03 bzby即即03 zy11例例 5 5 求过点求过点)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解12例例 6 6 设平面过原点及点设平面过原点及点)2, 3, 6( ，

6、且与平面，且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. 设平面为设平面为, 0 dczbyax由平面过原点知由平面过原点知, 0 d由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 cba,2 , 1, 4 n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解?:怎样求点法式方程怎样求点法式方程问题问题omnn0取13例例 7 7 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程. 设平面为设平面为, 0 dczbya

7、x将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解14,ada ,bdb ,cdc 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距15例例 8 8 求平行于平面求平行于平面0522zyx而与三个坐标而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 设平面为设平面为, 022 dzyxxyzo, 122 dzdydx即即解解1)2)(261 ddd由题意由题意332 d平面方程为平面方程为032223 zyx

8、16定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1111cban ,2222cban 三、两平面的夹角17按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|coscbacbaccbbaa 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 18例例9 9 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组

9、里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos 19)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.20外一点外一点, ,求求),(000

10、0zyxp0 dzcybxa222101010)()()(cbazzcyybxxa 222000cbadzcybxad 0111 dzcybxa解解: :设平面法向量为设平面法向量为),(1111zyxp在平面上取一点在平面上取一点是平面是平面到平面的距离到平面的距离d .d .0p, ,则则p p0 0 到平面的距离为到平面的距离为01prjppdn nnpp 010p1pnd, ),(cban ( (点到平面的距离公式点到平面的距离公式) )例例10.10.设设21例例1111：一平面通过：一平面通过 轴，且与平面轴，且与平面0 yx的夹角为的夹角为,3求此平面方程。求此平面方程。解：解：由题意设所求平面方程为：由题意设所求平面方程为：0 czby其与平面其与平面0 yx的夹角为的夹角为,3由公式可得由公式可得222113)(cbbcos bcb 2222平方后移项得平方后移项得：bc 代入所设平面方程：代入所设平面方程：0 )zy(b0 b所求平面方程为：所求平面方程为：0 zy或或0 zyx221.1.平面基本方程平面基本方程: :一般式一般式点法式点法式截距式截距式0 dczbyax)0(222 cba1 czbyax0)()()(000 zzcyybxxa)0( abc四、小结四、小结230212121 ccbba