第十章压杆稳定52298

1、1第十章压 杆 稳 定2第十章 压杆稳定10-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念10-2 铰支细长压杆的临界力铰支细长压杆的临界力 其它支承情况下细长压杆的临界力其它支承情况下细长压杆的临界力10-3 临界应力临界应力 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围10-4 超过比例极限时压杆的临界力超过比例极限时压杆的临界力 临临界应力总图界应力总图10-5 压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算 稳定条件稳定条件10-6 其他弹性稳定问题简介其他弹性稳定问题简介3 关于稳定性的概念关于稳定性的概念10-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念物体平衡的稳定性物体平衡的稳定性不稳定平衡不稳定平衡随随遇遇平平衡衡稳

2、稳定定平平衡衡410-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 在绪论中，我们在绪论中，我们曾经简要地介绍过，曾经简要地介绍过，细而长的受压杆件细而长的受压杆件当压力达到一定值当压力达到一定值时，可能出现突然时，可能出现突然弯曲，以致被破坏，弯曲，以致被破坏，即产生失稳现象。即产生失稳现象。 所谓压杆的稳定，所谓压杆的稳定，是指受压杆件保持是指受压杆件保持其原来受压的直线其原来受压的直线平衡状态而不发生平衡状态而不发生弯曲变形。弯曲变形。5桁架吊索式公路桥桁架吊索式公路桥6塔式吊索式公路桥塔式吊索式公路桥78压杆的工程实例压杆的工程实例 千斤鼎千斤鼎 发动机连杆发动机连杆9 由于受压杆件失稳后将丧失继

3、续承受原设计载荷的由于受压杆件失稳后将丧失继续承受原设计载荷的能力，并且失稳现象又常常是突然发生的，所以结构能力，并且失稳现象又常常是突然发生的，所以结构中中受压构件的失稳常常造成严重的后果受压构件的失稳常常造成严重的后果，甚至导致整，甚至导致整个结构的倒塌。个结构的倒塌。 例如，例如，1907年北美年北美魁比克圣劳伦斯河魁比克圣劳伦斯河上一座上一座500多米多米长的钢桥在施工修建过程中突然倒塌，长的钢桥在施工修建过程中突然倒塌，1916年再次倒年再次倒塌，都是由于其桁架中的受压杆件失稳造成的。塌，都是由于其桁架中的受压杆件失稳造成的。 受压杆件保持稳定工作状态而不发生失稳时所能承受压杆件保持

4、稳定工作状态而不发生失稳时所能承受的最大压力称为该压杆的临界载荷，用受的最大压力称为该压杆的临界载荷，用plj来表示。来表示。工程中的受压构件，所承受的轴向压力必须小于杆件工程中的受压构件，所承受的轴向压力必须小于杆件的临界力的临界力plj 。10 两端铰支的细长压杆，当其所受轴向压力达到其临两端铰支的细长压杆，当其所受轴向压力达到其临界值界值plj时，材料仍处于弹性阶段，所以这类问题称为弹时，材料仍处于弹性阶段，所以这类问题称为弹性稳定问题。性稳定问题。10-2 铰支细长压杆的临界力铰支细长压杆的临界力 当当p p达到临界力达到临界力plj时，压杆处时，压杆处于随遇平衡状态，即既可保持直于随

5、遇平衡状态，即既可保持直线形式的平衡，又可保持微弯状线形式的平衡，又可保持微弯状态的平衡。态的平衡。lpljlpljxyxym(x)= plj yd2ydx2=m(x)eipljei=k2令：令：d2ydx2plj yei=于是有：于是有：d2ydx2+k2y=0得：得：此弹性曲线微分方程的通解为此弹性曲线微分方程的通解为y=c1sinkx+c2coskx (a)11y=c1sinkx+c2coskx (a)lpljxyxy式中式中c1、c2为待定常数。可由杆为待定常数。可由杆的边界条件来确定。此杆的边的边界条件来确定。此杆的边界条件为：界条件为：x=0, y=0 (1)x=l, y=0 (2

6、)将边界条件将边界条件(1)代入代入(a)式得：式得：c2=0于是有：于是有： y=c1sinkx (b)将边界条件将边界条件(2)代入代入(b)式得：式得： c1sinkl=0(此时必须有此时必须有c1 0，否则得，否则得 y=0，杆子，杆子成为直杆，与微弯相矛盾成为直杆，与微弯相矛盾)，所以有：，所以有： sinkl=0由此得：由此得： kl=n ( n=0,1, 2, 3, n)所以得：所以得：k=n ln2 2l2k2=12所以得：所以得：k=n ln2 2l2k2=pljei=k2因为：因为：plj =n2 2eil2(n=0, 1, 2, )所以：所以：式中若式中若 n=0，则，则

7、 plj=0，这与讨论，这与讨论的前提不符，并且的前提不符，并且n应取不为零的应取不为零的最小值，即应取最小值，即应取 n=1，所以，所以plj = 2eil2(12-1)式式(12-1)即为两端铰支细长压杆的即为两端铰支细长压杆的临界力计算公式，该式又称为临界力计算公式，该式又称为 欧欧拉公式拉公式。 必须指出，对于两端铰支的细长必须指出，对于两端铰支的细长压杆，当其失稳时，压杆，当其失稳时，首先在抗弯刚首先在抗弯刚度度ei值较小的方向上弯曲失稳值较小的方向上弯曲失稳，所，所以式中的以式中的 i 应为应为 imin。例如，对于下图所示的矩形例如，对于下图所示的矩形截面细长压杆，在计算其临截面

8、细长压杆，在计算其临界力时，应选用界力时，应选用 iz，即，即plj = 2eizl2xylpljlpljzy13lplj 将将k值代入值代入(b)式，当取式，当取n=1时，可得杆微弯时的时，可得杆微弯时的弹性曲线的方程式弹性曲线的方程式y=c1sin xl此式为一半波正弦曲线。此式为一半波正弦曲线。 当当x=l/2时，时，y=f=c1，c1为微小的不定值，这为微小的不定值，这正是压杆在临界力作用正是压杆在临界力作用下随遇平衡状态的特点。下随遇平衡状态的特点。当当n=2时：时： y=c1sin2 xl当当n=3时：时： y=c1sin3 xl图形为一完整的正弦曲线。图形为一完整的正弦曲线。但需

9、增加一个支座但需增加一个支座。图形为三个半波正弦曲线。图形为三个半波正弦曲线。但需增加两个支座但需增加两个支座。f=c1lpljpljln=1n=2n=314其它支承情况下细长压杆的临界力其它支承情况下细长压杆的临界力 杆端的支承对压杆的变形起约束作用，且不同杆端的支承对压杆的变形起约束作用，且不同的支承形式对杆变形的约束作用也不相同。的支承形式对杆变形的约束作用也不相同。因因此同一受压杆件当两端的支承情况不同时，其此同一受压杆件当两端的支承情况不同时，其临界力的大小也必然不同临界力的大小也必然不同。 各种支承情况下压杆临界力公式的推导过程与各种支承情况下压杆临界力公式的推导过程与前节推导两端

10、铰支压杆的过程完全相同。即当前节推导两端铰支压杆的过程完全相同。即当压力达到临界值时，压杆处于微弯状态的平衡，压力达到临界值时，压杆处于微弯状态的平衡，在此基础上建立压杆的弹性曲线微分方程，通在此基础上建立压杆的弹性曲线微分方程，通过解微分方程，并利用边界条件确定通解中的过解微分方程，并利用边界条件确定通解中的待定常数，便可求得临界力的计算公式待定常数，便可求得临界力的计算公式。这里。这里不再一一推导，只介绍其结果。不再一一推导，只介绍其结果。15pljl临界力公式：临界力公式：plj =pljl0.7lpljl0.5l =1 =2 =0.7 =1 2ei l2 2ei(0.5l)2 2ei(

11、0.7l)2 2eil2 2ei(2l)2pljlllpljlplj0.5l =0.50.5l0.5l =0.5 =0.50.7l0.7l =0.7 =0.70.5l0.5ll l =1 =1 =2 =2llllll =1 =1通用公式：通用公式：plj = 2ei( l)2(12-2) = 一个半波正弦曲线的长度系数一个半波正弦曲线的长度系数16图示为一端嵌固另一端自由的等截面压杆图示为一端嵌固另一端自由的等截面压杆在临界力作用下发生了失稳，已知杆在临界力作用下发生了失稳，已知杆xy平平面内的抗弯刚度为面内的抗弯刚度为eiz，试推导此杆的临界，试推导此杆的临界力计算公式，力计算公式，解解：杆

12、在临界力作用下处于图示微弯状态，：杆在临界力作用下处于图示微弯状态，杆的最大横向位移发生在自由端处，其值杆的最大横向位移发生在自由端处，其值用用 表示。此时杆的横截面上的表示。此时杆的横截面上的弯矩弯矩为为m(x) =plj( y)杆的弹性曲线的杆的弹性曲线的近似微分方程近似微分方程为为d2ydx2m(x)eizplj( y)eiz= =此式可整理为此式可整理为d2ydx2pljeizpljeiz+ y = pljeiz令式中令式中 =k2pl jy lx yyx17d2ydx2+ k2 y = k2 (a) (a)该微分方程的该微分方程的通解通解为为y =c1sinkx+c2coskx+ 杆

13、微弯后的杆微弯后的边界条件边界条件为为x=0 , =y =0 x=l , y= 对对(a)(a)式式求导求导得得y =c1kcoskxc2ksinkx (b)将边界条件将边界条件代入代入(b)式得式得y =c1kcosk0 = 0从而得从而得 c1=0于是于是弹性曲线方程弹性曲线方程为为y =c2coskx+ （c c）将边界边界条件将边界边界条件代入代入(c)(c)式得式得x=0 , y=0 y =c2cosk0+ = 0从而得从而得 c2= 将边界条件将边界条件代入代入(c)式得式得y = coskl+ = 即有即有 coskl=0所以所以 kl= (n=1, 3, 5)n 2取取n=1，

14、从而得，从而得 2lk =k 2 = ( ) 2 2lpljeiz即有即有 2(2l) 2=所以所以plj= 2eiz(2l) 2此即此即一端嵌固另一端自由一端嵌固另一端自由的受压的受压杆的临界力计算公式。杆的临界力计算公式。1810-3 临界应力临界应力 欧拉公式的欧拉公式的适用范围适用范围一、临界应力一、临界应力前面导出了计算压杆临界力的前面导出了计算压杆临界力的欧拉公式欧拉公式plj= 2ei( l) 2相应的相应的称之为压杆的称之为压杆的临界应力临界应力。 lj = = 2e( l) 2iaplja(a)令：令： =i2 , 于是上式可改写为于是上式可改写为ia lj = 2e( )

15、2 li(b)令：令： = ，则，则(b)式又可写为式又可写为 li lj= 2e 2(10-3) 该式称为该式称为临界应力计算公式临界应力计算公式。实际上该式也是实际上该式也是欧拉公式另一种欧拉公式另一种表达形式表达形式。 上式中，上式中， 称为称为“细长比细长比”。 与与 、l、i有关。有关。i 取决于截面取决于截面的形状和尺寸，的形状和尺寸， 取决于压杆的取决于压杆的的支承情况。因而从物理意义上的支承情况。因而从物理意义上看，看， 综合地反映了压杆的长度、综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况截面的形状与尺寸以及支承情况对临界应力的影响对临界应力的影响 。 越大越大 lj越

16、小，压杆就越容易失稳。越小，压杆就越容易失稳。19二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围在推导欧拉公式时应用了挠曲在推导欧拉公式时应用了挠曲线的线的近似微分方程近似微分方程d2ydx2=m(x)ei近似微分方程又是以下式为基础近似微分方程又是以下式为基础的的1 (x)=m(x)ei而此式是建立在而此式是建立在虎克定律虎克定律 =e 的基础上的，因此，欧拉公式的基础上的，因此，欧拉公式成成立的条件立的条件应该是：应该是： lj p亦即亦即 2e 2 pe p从而得从而得如令如令 e p= 1则有则有 1 = e p(10-4)此式即此式即欧拉公式适用范围的数学欧拉公式适用范围的数学表达式表

17、达式。只有满足此式时，才能。只有满足此式时，才能用欧拉公式计算压杆的临界力或用欧拉公式计算压杆的临界力或临界应力。临界应力。 1 的压杆称为的压杆称为大大柔度杆柔度杆，由此可知，由此可知，欧拉公式只欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆适用于较细长的大柔度杆。 由于每种材料都有自己的和由于每种材料都有自己的和 p值值,所以不同材料的所以不同材料的 p值也不同。值也不同。例如例如a3号低碳钢的号低碳钢的e=2.06 105mpa, p=200mpa, 所以其所以其 1 = = 100e p2.06 10520020 临界应力公式临界应力公式(12-3)所反映的所反映的 lj 与与 间的函数关系可间的函

18、数关系可用曲线图形来表示用曲线图形来表示。图中的实线部分为欧拉公式适用范围的曲线，虚线图中的实线部分为欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分的临界应力已超超过了材料的比例极限，欧拉部分的临界应力已超超过了材料的比例极限，欧拉公式已不适用。公式已不适用。 p lj p lj= 2e 221lyx图示压杆为图示压杆为20a工字型截面工字型截面, l=1. 5m, p =200mpa，e= 2.06 105 mpa，试计算，试计算 lj 。pl j解解：先判断先判断是否是否为为细长杆细长杆 p = e p li =查表得查表得: iz=0.0212m = =1422 1.50.0212 p = 2.06

19、105200 100 p 所以，所以，欧拉公式适用欧拉公式适用，其临界力为，其临界力为plj= = 2ei( l) 2 2 2.06 1011 0.158 10-5(2 1.5)2=357knyz20a22图示细长压杆图示细长压杆( p)下端为固定端，上端下端为固定端，上端在在xy平面内平面内为为既不能转动也不能水平移动的既不能转动也不能水平移动的固定端固定端，在在xz平面内平面内则则为为自由端自由端。l=4m , a=0.12m , b=0.2m , 材料的弹性模量材料的弹性模量e=10 103mpa , 试计算该压杆的试计算该压杆的临界力临界力。yzablyxpl j解：由于压杆的上端在两

20、个平面内的解：由于压杆的上端在两个平面内的约束不同约束不同，所，所以压杆在两个平面内的以压杆在两个平面内的细长比也不相同细长比也不相同。压杆将在压杆将在细长比细长比 值大的平面内失稳值大的平面内失稳。在在xz平面内：平面内： 1=2 iy = = = =0.2887biyaab312abb12 y = = =138.56 1liy2 40.2887 0.2在在xy平面内：平面内： 2=0.5 iz = = = =0.2887aizaba312aba12 z = = =57.74 2liz0.5 40.2887 0.12（ yz, 压杆在压杆在xz平面内失稳平面内失稳）plj = = =123k

21、n 2eiy( 1l)2 2 10 109 (0.12 0.2312)(2 4)2临界力为：临界力为：pljpljplj123kn23图示各杆均为圆形截面的细长压杆，已知各杆所用的图示各杆均为圆形截面的细长压杆，已知各杆所用的材料及直径均相同，各杆的长度不相同如图所示。当材料及直径均相同，各杆的长度不相同如图所示。当压力压力p从零开始以相同的速率增加时，问哪个杆首先从零开始以相同的速率增加时，问哪个杆首先失稳？（只考虑失稳？（只考虑在平面在平面失稳）失稳）解：解：此三个压杆中临界力最小者先失稳此三个压杆中临界力最小者先失稳。plj= 2ei( l) 2 由于各杆的材料及直由于各杆的材料及直径均

22、相同，所以各杆临径均相同，所以各杆临界力的大小与界力的大小与 ( l)2 成成反比。反比。 l大的临界力大的临界力小，先失稳小，先失稳。ayxpyza杆杆1.3axyzpb杆杆1.6ayxpyzc杆杆a杆：杆： l=2ab杆：杆： l=1.3ac杆：杆： l=0.7 1.6a =1.12a l=2a l=2a l=2a结论：结论：a a杆先失稳杆先失稳24 前节已指出，欧拉公式只适用于临界应前节已指出，欧拉公式只适用于临界应力不超过材料的比例极限的大柔度杆。当临力不超过材料的比例极限的大柔度杆。当临界应力超过比例极限时，材料仍将处于弹性界应力超过比例极限时，材料仍将处于弹性阶段，此类压杆的稳定

23、称为阶段，此类压杆的稳定称为弹性稳定弹性稳定。对于。对于弹性稳定的临界力和临界应力的计算，尚无弹性稳定的临界力和临界应力的计算，尚无理论公式，各国都采用经验公式作计算。经理论公式，各国都采用经验公式作计算。经验公式是在试验和实践资料的基础上经过分验公式是在试验和实践资料的基础上经过分析、归纳而得出的。析、归纳而得出的。10-4 超过比例极限时压杆的超过比例极限时压杆的临界力临界力 临界应力总图临界应力总图25 lj =a b 2 式中式中 为压杆的细长比，为压杆的细长比，a a、b b为与材料有关的常数。为与材料有关的常数。 我国根据自己的试验资料归纳出如下的我国根据自己的试验资料归纳出如下的

24、临界应力经验公式临界应力经验公式：b、抛物线公式：、抛物线公式：a、直线公式：、直线公式： lj =a b 例如：例如：由此式计算的应力单位为（由此式计算的应力单位为（mpa）a3钢：钢： lj =304 1.12 lj =235 0.00668 2 16锰钢：锰钢： lj =460 2.57 lj =343 0.0142 2 由此可见，无论压杆处于由此可见，无论压杆处于线弹性线弹性或或弹性弹性阶段阶段，其临界应力均为杆的细长比，其临界应力均为杆的细长比 的函数。的函数。26 p lj lj= 2e 20(mpa)bc pd lj =a b 2 s 1 lj lj= 2e 20(mpa)bc

25、pd s 2 lj =a b 27直线公式：直线公式： lj =a b a3钢：钢： lj =304 1.12 1 lj lj= 2e 20(mpa)bc pd lj =a b 2 s 1 lj lj= 2e 20(mpa)bc pd s当当 2 时时： lj = s直线公式适用范围直线公式适用范围: lj =a b s 2 asb 2 1 要求：要求：即有：即有：适用范围适用范围: 2 lj =a b 28 c=123 lj235 lj= 2e 2 lj =235 0.00668 21340(mpa)abc cd对对a3钢制成的压杆，当钢制成的压杆，当 c=123 时按欧拉公式计算临时按欧拉

26、公式计算临界应力和临界力，当界应力和临界力，当 c=123 时按经验公式计算。时按经验公式计算。分界点之所以取分界点之所以取 c=123，而不是而不是 c=100，是因为欧拉公，是因为欧拉公式是以理想的中心压杆导出的，与实际之间存在着差异。式是以理想的中心压杆导出的，与实际之间存在着差异。a3钢钢临临界界应应力力总总图图抛抛物物线线公公式式29 c=102 lj343 lj= 2e 2 lj =343 0.0142 21950(mpa)abc cd对对16锰钢制成的压杆，当锰钢制成的压杆，当 c=102时按欧拉公式计算时按欧拉公式计算临界应力和临界力，当临界应力和临界力，当 c=102 时按经

27、验公式计算。时按经验公式计算。16锰锰钢钢临临界界应应力力总总图图抛抛物物线线公公式式30a3钢钢临临界界应应力力总总图图直直线线公公式式100 lj235 lj= 2e 2 lj =304 1.12 1340(mpa)abc cd61.43116锰锰钢钢临临界界应应力力总总图图直直线线公公式式100 lj306 lj= 2e 2 lj =460 2.57 1950(mpa)abc cd6032表表11.2 直线公式的系数和适用范围直线公式的系数和适用范围材材 料料a/mpab/mpa 1 2a3钢钢 s=235mpa b 372mpa3041.1210061.4优质钢优质钢 s=306mpa

28、 b 470mpa4602.5710060硅钢硅钢 s=353mpa b 510mpa5773.7410060铬钼钢铬钼钢9805.2955/硬硬 铝铝3923.2650/铸铸 铁铁331.91.45380/松松 木木39.20.19989/4033综上所述，受压杆件可分为以下三类：综上所述，受压杆件可分为以下三类：（1）大柔度杆（细长杆）：）大柔度杆（细长杆）：当当1时，是在比例极限范围内丧失稳时，是在比例极限范围内丧失稳定性，其临界应力直接用欧拉公式计算。定性，其临界应力直接用欧拉公式计算。（2）中柔度杆（中长杆）：）中柔度杆（中长杆）：当当 2 1时，是在比例极限和屈服极时，是在比例极限

29、和屈服极限之间丧失稳定性，其临界应力用直线限之间丧失稳定性，其临界应力用直线公式和抛物线公式计算。公式和抛物线公式计算。（3）小柔度杆（粗短杆）：）小柔度杆（粗短杆）：当当 2时，是轴向压缩强度问题，按压时，是轴向压缩强度问题，按压缩强度条件设计计算。缩强度条件设计计算。34 图示压杆，两端为固定端约束，材料为图示压杆，两端为固定端约束，材料为a3钢，钢，弹性模量弹性模量e=200gpa，横截面形状有两种，但其面，横截面形状有两种，但其面积均为积均为314（mm2），试计算它们的临界应力。），试计算它们的临界应力。 解解：因为两端固支，故：因为两端固支，故 =0.5。1、实心圆截面杆的临界应力

30、计算：、实心圆截面杆的临界应力计算： 判断压杆类型：计算压杆柔度。判断压杆类型：计算压杆柔度。a已知，已知，d= 4a/ = 4 314/ =20mm /i = 0.5 1200/5=120 1 =100 结论：结论：实心压杆为细长压杆。实心压杆为细长压杆。 临界应力计算：临界应力计算：用欧拉公式：用欧拉公式：1200mmpdd1dd1=0.6di= i/a = / = =5mm d464 d24d4 lj= 2e 2= =137mpa 2 200 1031202352、空心圆截面杆的临界应力计算：、空心圆截面杆的临界应力计算： 判断压杆类型：计算压杆柔度。判断压杆类型：计算压杆柔度。d= a

31、/0.16 = 314/0.16 =25mm /i = 0.5 1200/7.29=82.3结论：结论：空心压杆为中长压杆。空心压杆为中长压杆。 临界应力计算：临界应力计算： 用直线公式：用直线公式：a= (d2-d2)/4= d2-(0.6d)2/4=0.16 d2i= (d4-d4)/64= d4-(0.6d)4/64=0.0136 d4i= i/a = = 0.29d =7.29mm0.0136 d40.16 d2d1=0.6d=15mm61.4= 2 1=100细长杆细长杆用欧拉公式：用欧拉公式：p lj= 2ea 2= =119kn 2 200 103108.22 (d2 d2)4压

32、杆类型：压杆类型： d2+d2416mm校核稳定性：校核稳定性：n=plj/ nab=119/26.67= 4.46 nw =3稳定稳定！40某发动机连杆如图示。已知连杆的横截面面积某发动机连杆如图示。已知连杆的横截面面积a=552 mm2，惯性矩，惯性矩iz=7.42 104(mm4), iy=1.42 104 (mm4), 材料为方便用材料为方便用45号钢号钢，所受最大压力为所受最大压力为30kn，稳定安稳定安全系数为全系数为nw=5，试进行稳定校核。，试进行稳定校核。yz6 24 62212580750580解解：计算压杆柔度：计算压杆柔度：若在若在x-y平面内失稳：平面内失稳：i= i

33、z/a = 7.42 104/552 =11.6mm z /i = 1 750/11.6 = 64.7若在若在x-y平面内失稳：平面内失稳：0.5i= iy/a = 1.42 104/552 =5.07mm y /i = 0.5 580/5.07= 57.2 z y 故连杆首先在故连杆首先在x-y平面内失稳。平面内失稳。计算临界力：计算临界力： 查表查表11.2a=460, b=2.57， 1 =100， 2 =60 lj = a b = 460 2.57 64.7=294mpa 稳定性校核：稳定性校核： =p/a=30000/552 10-4=54.3mpan= lj / =294/54.3

34、=5.41nw=5结论：结论：连杆稳定连杆稳定3241教教材材中中免免此此一一步步 图示压杆，上端铰支，下端固定。杆的外图示压杆，上端铰支，下端固定。杆的外径径d=200mm，内径，内径d=100mm，材料为，材料为a3钢，钢，e=200gpa，nw=4， =160mpa，若杆长，若杆长 =9000mm，试求压杆的许可载荷。，试求压杆的许可载荷。p dd解解：压杆柔度计算：压杆柔度计算： =0.7i= iad2 d2 4d4 d4 64 d2+d2455.9mm /i = 0.7 9000/55.9 = 112.7计算临界力：计算临界力： 用欧拉公式：用欧拉公式：plj= 2ea 2= =36

35、56kn 2 200 103112.72 (d2 d2)4确定许可载荷：确定许可载荷：p=plj/nw=3656/4=914kn = p /a=914000/ 0.02355 =38.8mpa 1 =10042 图示立柱，两端固定，横截面为空心正方形。材料图示立柱，两端固定，横截面为空心正方形。材料为优质钢，为优质钢，e=200gpa，nw=2.5， =200mpa，因构，因构造需要，在压杆中点造需要，在压杆中点c开一直径开一直径d=5mm的小孔，断面的小孔，断面情况如图示。当顶部压力情况如图示。当顶部压力p=40kn时，试校核其稳定时，试校核其稳定性和强度。性和强度。p解解：压杆柔度计算：压

36、杆柔度计算： =0.5i= =8.41ia 252 152 254 154 12 /i = 0.5 11000/8.41 = 65.4计算临界力：计算临界力：11001525d60= 2 nw=2.5a= 252 152 =400mm2结论：结论：稳定性满足稳定性满足c截面强度校核：截面强度校核：ac=400-2 5 5=350mm2=35 10-5m2 =p /a=40000/35 10-5=114.3mpa结论：结论：强度也满足强度也满足 =200mpa4310-6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 如前所述，压杆的临界力或临界应力的大小，如前所述，压杆的临界力或临界应力的大小，反

37、映了压杆稳定性的高低。提高压杆稳定性反映了压杆稳定性的高低。提高压杆稳定性的关键，在于提高压杆的临界力或临界应力。的关键，在于提高压杆的临界力或临界应力。而影响压杆临界应力的因素有：而影响压杆临界应力的因素有：压杆的截面压杆的截面形状、长度、约束条件、材料的性质等形状、长度、约束条件、材料的性质等。因。因而也应从这几方面来讨论提高压杆稳定性的而也应从这几方面来讨论提高压杆稳定性的措施。措施。1、选择合理的截面形状、选择合理的截面形状2、改变压杆的约束条件、改变压杆的约束条件3、合理选择材料、合理选择材料441、选择合理的截面形状、选择合理的截面形状（1）惯性矩）惯性矩i越大越大,临界压力临界压

38、力plj越大越大.plj= 2ei( )2 lj= 2e 2（2）柔度）柔度 越小越小,临界压力临界压力 lj越高越高. li = （3）提高惯性半径）提高惯性半径i的值可以减小的值可以减小柔度柔度 的值的值,使临界压力使临界压力 lj提高提高.i= ia（4）在不增大面积的情况下）在不增大面积的情况下,尽可能使尽可能使材料分布在离形心较远处材料分布在离形心较远处,以取得较大以取得较大的的i和和i,临界压力就会随之提高临界压力就会随之提高.45合理合理截面截面不合理不合理截面截面吊车起重臂的组合截面形状的合理性比较吊车起重臂的组合截面形状的合理性比较462、改变压杆的约束条件、改变压杆的约束条

39、件f=c1lpljpljln=1n=2n=3lpljyz580750580473、合理选择材料、合理选择材料（1）对于细长杆）对于细长杆(1), lj= 2e / 2选用选用e大的材料大的材料能提高细长压杆的稳定性能提高细长压杆的稳定性.但各种钢材的但各种钢材的e值大致相值大致相等等,而合金钢的价格比普通钢高得多而合金钢的价格比普通钢高得多,所以试图选用所以试图选用合金钢来提高压杆的稳定性是不合理的。合金钢来提高压杆的稳定性是不合理的。（2）对于中长杆）对于中长杆( 2 1), lj= a - b , 由于优质钢、由于优质钢、合金钢的合金钢的a值比普通碳钢高值比普通碳钢高,故选用优质钢或合金故

40、选用优质钢或合金钢来提高压杆的稳定性是可取的措施钢来提高压杆的稳定性是可取的措施.不过在设不过在设计时要对提高稳定性和构件的造价综合考虑。计时要对提高稳定性和构件的造价综合考虑。48 压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算 稳定条件稳定条件 当压杆中的应力达到其临界应力时，压杆将当压杆中的应力达到其临界应力时，压杆将要丧失稳定，因之，正常工作的压杆，其横要丧失稳定，因之，正常工作的压杆，其横截面上的应力不能超过压杆的临界应力的容截面上的应力不能超过压杆的临界应力的容许值许值 lj ，即即pa lj ljlj 为临界应力的容许值，其值为为临界应力的容许值，其值为 lj = ljnw式中式中nw为为

41、稳定安全系稳定安全系数。数。 稳定安全系数稳定安全系数nw ，一般可以从设计手册或，一般可以从设计手册或规范中查到。规范中查到。补充补充: :49 为了计算方便，将临界应力的容许值改写成下为了计算方便，将临界应力的容许值改写成下面形式面形式 lj = = ljnw 式中式中 为强度计算时的容许应力，为强度计算时的容许应力， 称为折减称为折减系数，其值小于系数，其值小于1，由上式可知，由上式可知 = ljnw 由此式可知，当由此式可知，当 值一定时，值一定时， 决定于决定于 lj与与 nw 。由于临界应力。由于临界应力 l j值随压杆的长细比值随压杆的长细比 而改而改变，而不同长细比变，而不同长

42、细比 的压杆一般又规定不同的稳的压杆一般又规定不同的稳定安全系数，所以折减定安全系数，所以折减 系数系数 也也是长细比是长细比 的函的函数。当数。当 值一定时，值一定时， 值仅决定于值仅决定于 值。在教材值。在教材的表的表12-2中列出了中列出了a3钢、钢、16锰钢和木材的折减锰钢和木材的折减系数系数 值。值。 50 应该明确：应该明确： lj与与 虽然都是虽然都是“容许应力容许应力”，但二者却有很大的不同。但二者却有很大的不同。 只决定于材料，只决定于材料，当材料一定时其为定值，而当材料一定时其为定值，而 lj除与材料有关除与材料有关外，还与压杆的长细比有关，外，还与压杆的长细比有关，因之相

43、同材料制因之相同材料制成的不同成的不同 值的值的压杆，其压杆，其 lj值是各不相同的值是各不相同的。 于是压杆的稳定条件可表示为于是压杆的稳定条件可表示为 由于折减系数由于折减系数 值可直接从表中查到，因而值可直接从表中查到，因而按式按式 (a) 进行稳定计算时，十分简便。此方法进行稳定计算时，十分简便。此方法称之为称之为实用计算方法实用计算方法。pa 或或 ( (a)a)pa 51表表12-2 12-2 折减系数折减系数 a3钢钢a3钢钢16mn钢钢16mn钢钢木材木材木材木材01020304050607080901001101201301401501601701801902001.0001

44、.0001.0000.9950.9930.9710.9810.9730.9320.9580.9490.8830.9270.8950.8220.8880.8400.7510.8420.7760.6680.7890.7050.5750.7310.6270.4700.6690.5460.3700.6040.4620.3000.5360.3840.2480.4660.3250.2080.1780.4010.3490.3060.2720.2430.2180.1970.1800.2790.2420.2130.1880.1680.1510.1360.1240.1530.1330.1170.1040.0930

45、.0830.07552 在压杆稳定计算中，压杆的横截面面积在压杆稳定计算中，压杆的横截面面积a均采用均采用“毛面积毛面积”，即当横截面有局部，即当横截面有局部削弱（如铆钉孔等）时，可不予考虑，仍削弱（如铆钉孔等）时，可不予考虑，仍采用未削弱之面积。因为采用未削弱之面积。因为压杆的稳定性取压杆的稳定性取决于整个杆的抗弯刚度决于整个杆的抗弯刚度，截面的局部削弱，截面的局部削弱对整体刚度的削弱影响甚微，但对削弱处对整体刚度的削弱影响甚微，但对削弱处应进行应进行强度强度验算。验算。53 与强度条件类似，应用稳定条件可解决下列与强度条件类似，应用稳定条件可解决下列常见的三类问题：常见的三类问题：(1)

46、稳定校核稳定校核：即当压杆的几何尺寸、所用材料、支承：即当压杆的几何尺寸、所用材料、支承情况及压力情况及压力p均为已知时，校核其是否满足稳定条件。均为已知时，校核其是否满足稳定条件。 此时应首先计算压杆的细长比此时应首先计算压杆的细长比 ，由查出相应的折减系数，由查出相应的折减系数 ，然后按稳定条件校核。然后按稳定条件校核。(2) 求稳定容许荷载求稳定容许荷载：即当压杆的几何尺寸、所用材料、：即当压杆的几何尺寸、所用材料、支承情况均为已知时，按稳定条件计算压力支承情况均为已知时，按稳定条件计算压力p值。值。(3) 选择截面选择截面：即当压杆的长度、所用材料、支承情况：即当压杆的长度、所用材料、

47、支承情况及压力及压力p均为已知时，校核稳定条件选择截面尺寸。均为已知时，校核稳定条件选择截面尺寸。 选择截面需用试算法。因为在稳定条件式中确定截面面积选择截面需用试算法。因为在稳定条件式中确定截面面积a a需知道折减系数需知道折减系数 ，但在截面（包括形状与尺寸）未定之前，但在截面（包括形状与尺寸）未定之前，无法确定压杆的长细比无法确定压杆的长细比 ，从而也就无法确定，从而也就无法确定 值，所以只能值，所以只能用下面所介绍的用下面所介绍的试算法试算法。此时应首先计算压杆的细长比此时应首先计算压杆的细长比 ，由查出相应的折减系数，由查出相应的折减系数 。54先假定一先假定一 值值(在在01之间之

48、间)，由稳定条件算出面积由稳定条件算出面积a，然后依算得的面积然后依算得的面积a及截面形状算出及截面形状算出 ，查出，查出 ，再根，再根据面积据面积a及查得之及查得之 值验算其是否满足稳定条件。如不值验算其是否满足稳定条件。如不满足，再重新修改满足，再重新修改 值或者用所查得的新值或者用所查得的新 值，重复上述值，重复上述过程（即进行叠代计算），直到满足稳定条件为止。过程（即进行叠代计算），直到满足稳定条件为止。如果有参考资料，亦可根据资料先假定一截面尺寸，如果有参考资料，亦可根据资料先假定一截面尺寸，然后算出然后算出 与查出相应的与查出相应的 ，再按稳定条件验算，可以，再按稳定条件验算，可以

49、减少试算重复次数。减少试算重复次数。在由在由 值查表求值查表求 值时，由于表中值时，由于表中 值的间距为值的间距为0.1，对，对于介于各间距之间的于介于各间距之间的 值，可用线性内插法求的较为准值，可用线性内插法求的较为准确的确的 值。值。55图示结构由两根直径相同的圆杆组成，材料为图示结构由两根直径相同的圆杆组成，材料为a3钢，钢，已知：已知：d=20mm，h=0.4m，材料的强度容许应力，材料的强度容许应力 =170mpa，荷载，荷载p=15kn，试校核此二杆的稳定性，试校核此二杆的稳定性（只考虑在平面）。（只考虑在平面）。p解解：校核二杆之稳定，需首先算出各杆：校核二杆之稳定，需首先算出

50、各杆所承受的压力。取节点所承受的压力。取节点a做分离体，并画做分离体，并画其受力图。其受力图。pnabnbca45 30 x=0 nabcos45naccos30 =0 y=0 nabsin45 +nacsin30 =0解之得：解之得：nab=0.896p nac=0.732p45 30 ddabchlab=0.566m lbc=0.8m计算长细比：计算长细比： labi1 0.5660.02/4 labd/4ab杆杆 = = =113 1= laci1 0.80.02/4 lacd/4ac杆杆 = = =160 2=查表查表求各杆的折减系数求各杆的折减系数 56用用线性内插法线性内插法查表计

51、算：查表计算： 1=0.536 3 =0.5150.536 0.46610 2=0.272按稳定条件分别校核二杆：按稳定条件分别校核二杆：pa ab杆：杆：paba 1= = =83 106pa 0.896pa 10.896 15 103 (0.02/2)2 0.515ac杆：杆：paca 2= = =128 106pa 0.732pa 20.732 15 103 (0.02/2)2 0.272结论：结论：二杆均满足稳定条件。二杆均满足稳定条件。或或pa =170mpa57图示结构中图示结构中bd杆为正方形截面的木杆，已知杆为正方形截面的木杆，已知l=2m , a=0.1m , 木材的容许应力

52、木材的容许应力 =10mpa ，试从杆的稳，试从杆的稳定性考虑，计算该结构所能承受的最大荷载定性考虑，计算该结构所能承受的最大荷载pmax。30 abcdll2p30 abcdll2p解：首先求杆的轴力与荷载解：首先求杆的轴力与荷载p之间的关系。之间的关系。取取ac杆为研究对象杆为研究对象，画其脱离体，画其脱离体受力图受力图。 ma=0 nbd lsin30p 3l/2=0nbd=3p 或或 p = nbd /3依依稳定条件稳定条件：nbda 压杆压杆bd所能承受的最大压力为所能承受的最大压力为nbd a 即有：即有： p = nbd /3 a /3所以：所以：pmax = a /3 = = = =80 lbda / 12 lbdi1 l/cos300.1/ 12计算计算bd杆的长细比杆的长细比 。58然后依然后依 =80查表得折减系数：查表得折减系数：于是有：于是有：pmax = a /3=0.12 0.47 10 106/3=15.