第八章第1节向量极其线性运算2

1、1第一节、向量及其线性运算第一节、向量及其线性运算第三节、曲面及其方程第三节、曲面及其方程 第第8 8章章 本章内容：本章内容：第二节、数量积第二节、数量积 向量积向量积 * *混合积混合积第八章第八章空间解析几何空间解析几何 与向量代数与向量代数第四节、空间曲线及其方程第四节、空间曲线及其方程第五节、平面及其方程第五节、平面及其方程第六节、空间直线及其方程第六节、空间直线及其方程2四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方

2、向角、投影 向量及其线性运算向量及其线性运算 第第8 8章章 3.a或表示法表示法: :向量的模向量的模 : : 向量的大小向量的大小, ,21mm记作记作一、向量的概念一、向量的概念向量向量: :( (又称又称矢量矢量). ). 1m2m既有既有大小大小, ,又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量向径向径 ( (矢径矢径):):自由向量自由向量: : 与起点无关的向量与起点无关的向量. .起点为原点的向量起点为原点的向量. .单位向量单位向量: : 模为模为 1 1 的向量的向量, ,.a或或记作记作 a零向量零向量: :模为模为 0 0 的向量的向量, ,.00 或或，记作记作有向线段有

3、向线段 m m1 1 m m2 2 , ,或或 a ,a ,a或.a或如：力、力矩、位移、速度、加速度如：力、力矩、位移、速度、加速度（简称向量）（简称向量）（几何上为有向线段的长度）（几何上为有向线段的长度）其方向是任意的其方向是任意的4规定规定: :零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ；若向量若向量a a 与与b b大小相等大小相等, ,方向相同方向相同, , 则称则称a a 与与 b b 相等相等, ,记作记作 a a b b ; ;若向量若向量a a 与与b b方向相同或相反方向相同或相反, , 则称则称a a 与与 b b 平行平行, ,a ab b ；与与a a的模相同的模相

4、同, ,但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a a 的的负向量负向量, ,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上, , 故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线 . .若若k k(3)(3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上 , , 则称此则称此k k 个向量个向量共面共面 . .记作记作a a ; ;5二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 1. 向量的加法向量的加法(2)(2)三角形法则三角形法则: :(1)(1)平行四边形法则平行四边形法则: :运算规律运算规律: :交换律交换律结合律结合律bbabba cba )()

5、(cba cba abba cb)(cba cba )(aaba ba 1fcf2f三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 . .6s3a4a5a2a1a54321aaaaas72. 2. 向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式ab )( ab baba abababababa 两向量两向量a与与b的差为的差为 8aa 3. 3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数 ,.a 规定规定 : :时，时，0 ，同向同向与与aa ,0时时 ,0时时 .0 a ;aa ;1aa可见可见;1aa;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量, ,记作记作，反向反

6、向与与aa 总之总之: :运算律运算律: : 结合律结合律)(a )(a a 分配律分配律a)( aa )(ba ba , 0 a若若 a则则有有单单位位向向量量.1aa因此因此aaa 9定理定理1.1. 设设a a 为非零向量为非零向量, ,则则( ( 为唯一实数为唯一实数) )a ab bab 例例1.1. 设设m m 为为mbacd解解: :abcd abcd 对角线的交点对角线的交点, ,ba,aab ,bda acmc2 ma2 bdmd2 mb2 .,mdmcmbmaba表示表示与与试用试用 ba ab)(21bama )(21abmb )(21bamc )(21abmd （证明略

7、）（证明略）104 4、数轴上的点、向量、实数之间的关系、数轴上的点、向量、实数之间的关系数轴数轴: :给定了原点给定了原点, o方向和单位长度的直线。方向和单位长度的直线。由于一个单位向量即确定了方向，又确定了单位长度由于一个单位向量即确定了方向，又确定了单位长度因此，只要给定了原点和一个单位向量就确定了一个因此，只要给定了原点和一个单位向量就确定了一个数轴。数轴。ox轴由原点轴由原点o和单位向量和单位向量i所确定所确定oxi在在ox轴上任取一点轴上任取一点pp对应有向量对应有向量opop对应由实数对应由实数x（坐标）（坐标）iopixop11xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条

8、互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. . 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x x轴轴( (横轴横轴) )y y轴轴( (纵轴纵轴) )z z 轴轴( (竖轴竖轴) )过空间一定点过空间一定点o,o,o 坐标面坐标面 卦限卦限( (八个八个) )面xoy面yozzoxzox面面1. 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念12xyzo向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点坐标轴上的点p p, ,q q, ,r r ；坐标面上的点坐标面上的点 a a, ,b b, ,c c点点 m m特殊点的坐标特殊点的坐

9、标 : :有序数组有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc( (称为点称为点 m m 的的坐标坐标) )原点原点 o o(0,0,0) (0,0,0) ；rrm13坐标轴坐标轴 : : 轴轴x00 zy00 xz轴轴y轴轴z00 yx坐标面坐标面 : :面面yox0 z面面zoy0 x面面xoz0 yxyzo142. 2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下, ,设点设点 m m , ),(zyxm则则沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量. .kzjyixr

10、),(zyx xoyzmnbcijka,轴上的单位向量轴上的单位向量分别表示分别表示以以zyxkji的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量r r 的的坐标分解式坐标分解式 , ,rkzjyix称为向量称为向量,r任意向量任意向量r r可用向径可用向径 omom 表示表示. .nmonom ocoboa , ixoa , jyob kzoc 有序数有序数),(zyx称为向量称为向量r的坐标，记为的坐标，记为15四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则则 ba),(zzyyxxbababa a ),(zyxaaa ab,0 时

11、时当当 aab xxab yyab zzab xxab yyabzzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例: :，为实数为实数 16五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx ),(zyxr 设设则有则有omr 222oroqop xoyzmnqrp由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxaab得得两点间的距离公式两点间的距离公式),(121212zzyyxx 212212212)()()(zzyyxx 对两点对两点与与)z ,y,x(b222, rom 作作omr oroqopbabaoaob

12、ba),(111zyxoa , ),(222zyxob xoyz17对上面两点对上面两点oaobba ),(121212zzyyxx 记记kzzjyyixx)()()(121212 令令121212,zzayyaxxazyx kajaiaazyx ),(zyxaaa 称称kajaiazyx,a为向量为向量a在三个坐标轴上的分向量在三个坐标轴上的分向量zyxaaa,为向量为向量a在三个坐标轴在三个坐标轴上的投影。上的投影。),(111zyxa与与, ),(222zyxb则则18oyzx2. 2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量 ,ba任取空间一点任取空间一点o o

13、, ,aoa 作作,boboab称称 =aob =aob ( (0 0 ) )为向量为向量 ba,的夹角的夹角. . ),(ab或或类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴, , 轴与轴的夹角轴与轴的夹角 . . ,0),( zyxr给给定定与三坐标轴正向的夹角与三坐标轴正向的夹角 , , rr称称 , , 为其为其方向角方向角. .方向角的余弦称为方向角的余弦称为方向余弦方向余弦. . 记作记作 ),(ba19oyzxr cosrx 222zyxx cosry 222zyxy cosrz 222zyxz 1222 coscoscos方向余弦的性质方向余弦的性质: :的单位向量的单位向量向量向量

14、rrrr )cos,cos,(cos 20例例2.2.已知两点已知两点)2,2,2(1m和和, )0,3, 1(2m的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . . 解解: :,21,23)20计算向量计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321mm(21mm21mm213 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影1 1）点）点u在在a轴上的投影轴上的投影过点过点u作一平面垂直于作一平面垂直于轴轴, ,平面与平面与u轴的交点为轴的交点为,a则则称为点称为点u在在 轴上的投影。轴上的投影。2 2）向量）向量ba、在在u轴上的投影轴上的

15、投影设点设点ab在在u轴上的投影分别是轴上的投影分别是。、ba则在则在u轴上的有向线段轴上的有向线段ba的值的值abba称为称为轴上的投影。轴上的投影。u在在记为记为rjupbaab 轴轴反反向向与与轴轴同同向向与与ubabaubababau aa aaauaa bb 22 3) 3) 向量与轴的夹向量与轴的夹角角设空间有一向量设空间有一向量,uab 和一轴uabuab,04) 4) 投影定理投影定理轴上的投影在uab等于向量的模乘以向量与轴等于向量的模乘以向量与轴之间的夹角之间的夹角的余弦，即的余弦，即rjupcosabab 例如：例如：),(zyxaaaa cosaaparjxxcosaa

16、parjyycosaaparjzzoyzxa 23说明：说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；bc(4) (4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；20)1( 2)2(2)3( a24解解,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 设向量设向量21pp的方向角为的方向角为., 例例3 3 设向量设向量,21pp已知已知221 pp它与它与x轴和轴和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为，和和43 如果点如果点1p的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1 (求点求点2p的坐标。的坐标。.32,3 21pp,301zy

17、x252121 x, 2 x222 y, 2 y, 2, 4 zz).2 , 2, 2(),4 , 2, 2()21(23 z cos121ppx cos021ppy cos321ppz 26例例4 4解解: : 因因pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji kji15713 1). 1). 设设,853kjim ,742kjin 求向量求向量pnma 3413 xajjay7 jip 5,4k 在在 轴上的轴上的x投影及在投影及在 轴上的分向量轴上的分向量. .y故在故在 轴上的投影为轴上的投影为x在在 轴上的分向量为轴上的分向量为y272).2). 设设求以向量

18、求以向量行四边形的对角线的长度行四边形的对角线的长度 . . 该平行四边形的对角线的长度各为该平行四边形的对角线的长度各为11, 3 对角线的长为对角线的长为解：解：为边的平为边的平mnnm ,|,|nm |nm )1 ,1,1( nm)1,3,1( nm3| nm11| nm,2kjn, jim 28例例5 5：一向量与一向量与zyx而与而与轴成等角轴成等角轴和轴和,轴组成的角轴组成的角是它们的两倍是它们的两倍, ,确定这向量的方向。确定这向量的方向。解：解：先求方向余弦，再求方向角。先求方向余弦，再求方向角。1coscoscos222 又又 2 12coscos222 又又 2cos1cos22 0)2cos1(2cos 02cos