极限的性质与运算

1、2021年11月14日星期日12.2 2.2 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则一、一、性质性质性质性质1(唯一性唯一性) 若极限若极限lim f(x)存在，则极限唯一。存在，则极限唯一。注注 此定理对数列也成立。此定理对数列也成立。性质性质2(2(局部有界性局部有界性) )，存在，则存在，则若极限若极限0)(lim0 xfxx内有界。内有界。在在使使)(u)(00 xxf注注1、其他类型的极限对应的邻域由定义中、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范的变化范围确定。围确定。2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由具体函数确定。具

2、体函数确定。2021年11月14日星期日2性质性质3(局部保号性局部保号性)，则，则若若00)(lim0axfxx。，使使0)()(u00 xfxx性质性质4，使，使，若，若已知已知)(u0)(lim000 xxaxfxx。，则，则00)(axf注注。，结果仍是，结果仍是若已知中是若已知中是00)(axf性质性质5，使，使，若，若，已知已知0)(lim)(lim00bxgaxfxxxx。，则，则，baxgxfx)()()(ux002021年11月14日星期日3二、二、四则运算法则四则运算法则 根据极限的定义根据极限的定义, 只能验证某个常数只能验证某个常数 a是否为某个函数是否为某个函数(x)

3、的极限的极限, 而不能求出函数而不能求出函数(x)的极限的极限. 为了解决极限的计为了解决极限的计算问题算问题, 下面介绍极限的运算法则下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些并利用这些法则和一些已知结果来求函数极限。已知结果来求函数极限。定理定理. 0b,ba)x(g)x( flim)3(;ba)x(g)x( flim)2(;ba)x(g)x( flim)1(,b)x(glim,a)x( flim 其中其中则则设设2021年11月14日星期日4证证.b)x(glim,a)x( flim . 0, 0.b)x(g,a)x( f 其中其中)ba()x(g)x( f . 0.)1( 成立成立

4、)ba()x(g)x( f ab)b)(a( )ba(. 0.)2(成立成立ba)x(g)x( f baba )b(bab . 0ab . 0b)b(b2 0)b(bab .)3(成立成立2021年11月14日星期日5推论推论1 1).x( flimc)x(cflim,c,)x( flim 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. .)x( flim)x( flim,n,)x( flimnn 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2)x(falim)x(falim)x(falim)x(fa)x(fa)x(falim),n, 2

5、 , 1i (a,)x(flimnn2211nn2211ii 则则为常数为常数而而存在存在如果如果推论推论3 3)x(flim)x(flim)x(flim)x(f)x(f )x(flim),n, 2 , 1i ()x(flimn21n21i 则则存在存在如果如果推论推论4 4.)x( flim)x( flim,n,)x( flimnn 则则是正整数是正整数而而存在且不为零存在且不为零如果如果推论推论5 52021年11月14日星期日6注注应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为零、偶次根号下非负等；零、偶次根号下非负等；定理和推论中定理和推论中c、n、a

6、都是与自变量无关的常量。都是与自变量无关的常量。 如如111lim11limnnnnnn(3)(3)参加求极限的函数应为有限个参加求极限的函数应为有限个。 2021年11月14日星期日7例例。求极限求极限nnnxxaxaxa1100lim例例).nnn2n1(lim222n 求求2021年11月14日星期日8等情等情、即不会出现即不会出现当代入结果为一个数当代入结果为一个数01000(0况况)时可直接代入时可直接代入 (其理论根据是初等函数的连续性，我们在这其理论根据是初等函数的连续性，我们在这一章的最后一节学习一章的最后一节学习) 。例例。求极限求极限2arctan)2()43lg(2lim

7、2xxxxx 利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。 1、代入法代入法答案答案2注意注意 代入时把所有代入时把所有x都换成都换成x0，不能只代入一部分。，不能只代入一部分。2021年11月14日星期日9例例1 1.5x3x1xlim232x 求求解解)5x3x(lim22x 5limx3limxlim2x2x22x 5limxlim3)xlim(2x2x22x 52322 , 03 5x3x1xlim232x )5x3x(lim1

8、limxlim22x2x32x .37 3123 2021年11月14日星期日10解解)3x2x(lim21x , 0 商的法则不能用商的法则不能用)1x4(lim1x 又又, 03 1x43x2xlim21x . 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3x2x1x4lim21x 求求.3x2x1x4lim21x 2021年11月14日星期日112、消零法消零法因因子子。因因子子或或时时，可可考考虑虑尽尽可可能能化化去去或或当当出出现现000若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，再消去公因式，直至可直

9、接代入。再消去公因式，直至可直接代入。例例。求极限求极限121672016lim23232xxxxxxx计算过程计算过程2021年11月14日星期日12解解例例3 3.3x2x1xlim221x 求求.,1x分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时.1x后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 )1x)(3x()1x)(1x(lim3x2x1xlim1x221x 3x1xlim1x .21 2021年11月14日星期日133、消最大公因子法消最大公因子法。求极限求极限74132lim3525xxxxx例例练习练习。求极限求极限1273lim534nnnn答案答案

10、 0同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、分母分母除以最高次数的项除以最高次数的项。计算过程计算过程 很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数以及以及(次数相等时次数相等时)最高次项的系数有关。最高次项的系数有关。2021年11月14日星期日14例例5 5.6xx41xx2lim2324x 求求解解0112614lim1264lim42422423xxxxxxxxxxx 6xx41xx2lim2324x例例4 4.1x4x75x3x2lim2323x 求求解解33x2323xx

11、1x47x5x32lim1x4x75x3x2lim .72 2021年11月14日星期日15例例6 6).nnn2n1(lim222n 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时,n 2n222nnn21lim)nnn2n1(lim 2nn)1n(n21lim )n11(21limn .21 先变形再求极限先变形再求极限.2021年11月14日星期日16实际实际上是上是我们我们下一下一节将节将要学要学到的到的备忘备忘时，时，000bamnmnbamn不存在不存在000mmmnnnxbxbxbaxaxa110110lim消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。消极大公因子法对分子、

12、分母含指数形式也适用。例例。求极限求极限113)2(3)2(limnnnnn计算过程计算过程。还是还是楚是楚是求分式极限，一定看清求分式极限，一定看清00注注2021年11月14日星期日174、有理化法有理化法若分子或分母有根号若分子或分母有根号(特别是有根号相减特别是有根号相减)时，可将之有理时，可将之有理 化。化。例例。求极限求极限31145limxxx计算过程计算过程练习练习。求极限求极限)()(limbxaxbxaxx答案答案ba 当当x-时结果为时结果为-(a+b)，故，故x时极限不存在时极限不存在2021年11月14日星期日18例例7 7.2xx22xlim2x 求求解解 x22x

13、2xx22xx22xlim2x 原式原式 x22x2xx22xlim2x x22x1lim2x x2lim2xlim12x2x 41 2021年11月14日星期日195、通分法通分法式式。，可可考考虑虑通通分分化化为为两两个个分分式式相相减减，若若是是00例例。求极限求极限xxx1112lim21答案答案21练习练习。求极限求极限311311limxxx答案答案 -12021年11月14日星期日206、变量代换法变量代换法例例方便时可考虑变量代换以简化计算方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之注意变化趋势也随之改变改变)。、求极限求极限)n(11lim1nmxxmnx练习练习。求极

14、限求极限1212lim110 xxx答案答案 不存在。不存在。计算过程计算过程提提 示示取取t满足满足xt=1，则，则x0-时时t-；x0+时时t+。2021年11月14日星期日217、其他其他必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。例例。求极限求极限) 1(1321211limnnn答案答案 1练习练习。求极限求极限nnn242) 12(31lim答案答案 12021年11月14日星期日22 。1032022)1612()2(lim1xxxxx 。13)21(lim2222xxxx 。)(lim3xxxxx 。)81221(lim432xxx 。x

15、x1arctanlim50计算极限计算极限。、，求，求若若babxxaxx0)1(lim2思考题思考题2021年11月14日星期日121672016lim23232xxxxxxx)3()2()5()2(lim222xxxxx735lim2xxx x3-x2-16x-20= x3+2x2-3x2-6x-10 x-20=x2 (x+2) -3x (x+2) -10 (x+2) = (x+2) (x2 -3x-10)= (x+2) (x+2) (x-5) 注意从高次幂到低次幂注意从高次幂到低次幂依次配项依次配项2021年11月14日星期日分子、分母同除以最分子、分母同除以最高次幂高次幂5x74132

16、lim3525xxxxx5253714132limxxxxx217lim1lim41lim3lim25253xxxxxxxx2021年11月14日星期日113)2(3)2(limnnnnn1)32(31)32(31lim1nnn1)32(lim31)32(lim311nnnn31分子、分母同除以分子、分母同除以“最大最大项项”。也可以也可以)3(31nn 2021年11月14日星期日平方差公式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)31145limxxxxxxxxxxxx451)1)(1 ()45)(45(lim32332331xxxxxx4511)4(5lim3231xxxx451lim3231523立方差公式立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)2021年11月14日星期日mnxxx11lim1为把两个根号同时去掉为把两个根号同时去掉,做变量代换做变量代换，即即)(mnmnxttx当当x1时时t1，因此，因此nmttt11lim1)1)(1()1)(1(lim111 nmtttttttnm消零法。例如对分子：消零法。例如对分子： -tm+1= -tm +tm-1 tm-1 +tm-2 - t