高一函数的奇偶性复习课教案

1、学习必备欢迎下载高一函数的奇偶性复习课教学目标：1、巩固偶函数和奇函数的定义；2、学会判断简单函数的奇偶性和利用函数奇偶性解决有关问题，进一步理解偶函数和奇函数的性质。教学重点 ：函数的奇偶性的判断和应用。教学难点 ：函数的奇偶性的应用。教学过程：一、知识回顾：1偶函数定义 ;2奇函数定义 ;3. 奇偶性： 如果函数 f (x) 是奇函数或偶函数，那么就说函数 f ( x) 具有奇偶性 .注： 函数 yf ( x) 是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所对应的区间关于原点对称 ;若奇函数在原点处有定义，则有f (0)0;若函数 y f ( x) 是偶函数，则对于定义域内的每个

2、x ，都有 f ( x ) f ( x) ;既是奇函数又是偶函数的函数是f (x)0， xA, 定义域 A 是关于原点对称的非空数集 ;函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势 . 函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是函数的局部性质 .4. 奇函数、偶函数的图象的性质：一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y 轴）对称 .二、函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：学习必备欢迎下载1.定义法：定义域（关于原点对称） 验证 f ( x)f (x) 或 f ( x)f (x) 0或 f ( x)1( f

3、 (x) 0) 下结论 .f (x)2.图像法： 一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y 轴）对称 .3. 性质法： 两个奇函数的和为奇函数；两个偶函数的和为奇函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.注：以上函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上.练习 1（1）已知分 别 是 -10,10上的奇函数和偶函数，则函数f ( x)、 g ( x)F (x)f ( x)g ( x) 的图象关于 _对称 .（2） 函 数 f ( x)a2xb x 2 a 是b定 义 在 a 1,2a 上 的 偶 函 数 ， 则a b_.练习 2判断下列

4、各函数的奇偶性：（1） f ( x) (x 1) 1 x1x（2）f ( x)x2x ( x0)x2x (x0)练习 3函数 f (x)ax2b是定义在（ -1,1）上的奇函数，且 f (1)2 ，求函数1x25f (x) 的解析式 .三、函数奇偶性的应用学习必备欢迎下载函数的奇偶性的应用主要体现在以下几个方面：1. 求函数值 .例1已知f ( x)ax3bx2cx8 , 且 f ( 2)10 ，求f (2).解：设g( x)ax 3bx2cx ，则g( x)为奇函数 .依题意可得f (2)g( 2)810, 则 g( 2)18 . g(2)g( 2)18f (2)g(2)818826 .2.

5、 求解析式 .例 2 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 , 且当 x0 时, f (x)13 x , 求 x0时, f ( x) 的解析式 .解：设 x 0 ，则 x0 .由已知 x0 时 ,f ( x)13x , 有 f ( x)13x13x .又 f (x) 为奇函数， f (x)f (x) , f (x)13x , f (x)3 x 1.当 x 0 时， f (x)3 x 1.注：此类题型的解题步骤如下：在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间里 ;利用 f ( x) 的奇偶性把 f ( x) f ( x) 或 f ( x) ；将 f ( x) 中的 x 代入已知解析式中，从而

6、解出f (x) .3. 解抽象函数不等式例3 设 f ( x) 在 R 上是 偶函 数， 在区 间（ - ， 0 ）上 递增 ，且 有f (2 a2a1)f (3a22a1) ，求 a 的取值范围 .解：由 f ( x) 在 R上是偶函数，在区间（ - ，0）上递增知 f (x) 在区间（ 0，+）上递减 .学习必备欢迎下载 2a2a12(a1)2+ 70 ， 3a22a 1 3(a1)220 ，且4833f (2 a2a1)f (3a22a1) ， 2a2a13a22a1 ，即 a23a0，解得 0a3 .注：在此用到以下结论：若函数 f ( x) 为奇函数，当 f ( x) 在区间 a,

7、b 上是单调函数时， 则 f ( x) 在区间 b,a 上也是单调的，且单调性相同；若函数 f ( x) 为偶函数，当 f ( x) 在区间 a, b 上是单调函数时， 则 f ( x) 在区间 b, a 上也是单调的，且单调性相反 .4. 函数的综合问题例4 已 知f (x) 是 定 义 在 -1,1上 的 奇 函 数 ， 且 f (1)1 ， 若a,b-1,1, ab 0 时，有 f ( a) f (b)0 成立.a b(1) 判断 f (x) 在-1,1 上的单调性，并证明；(2) 解不等式： f ( x1 )f ( 1) ；2x1(3) 若 f ( x) m22am 1对所有的 a -

8、1,1 恒成立，求实数 m 的取值范围 .解： (1)任取 x1, x2 1,1，且 x1 x2 ，则 x2 1,1，由 f ( x) 为奇函数，有f (x1)f (x2 )f ( x1 )f ( x2 )f ( x1 )f (x2 )x2 )x1(x1( x2 ) f ( x1 )f ( x2 )0 ， x1x20 ， f (x1)f (x2 )0 ，即 f (x1) f (x2 ) .x1( x2 ) f ( x) 在 -1,1 上单调递增 .(2) f ( x) 在-1,1上单调递增 ,学习必备欢迎下载11,xx121 x11, 3x1.22111.1x(3) f (1)1,f (x)

9、在-1,1上单调递增 ,在 -1,1上 f (x) 1.问题转化为 m22am1 1 ，即 m22am0 对 a 1,1恒成立 .设 g( a)2m am20 ，若 m0 ，则 g( a) 00 ，自然对 a 1,1恒成立 .若 m0 ，则 g( a)2m am2 为 a 的一次函数 , 当 m0 时，若 g (a)0 对a 1,1 恒成立，则必须 g(1)0 ，解得 m2 ；当 m0 时，若 g( a)0对a 1,1恒成立，则必须 g( 1)0 ，解得 m2. m 的取值范围是（ - ， -22 ，+） 0.练习 4 已知定义域为 R的奇函数 f ( x) ，求证：若在区间 a,b ( b a 0) 上 f ( x)有最大值 M，那么 f (x) 在区间 b, a 上必有最小值 -M.练习 5（1）已知 y f (x) 是 R 上的奇函数， 且 x