数量积与向量积23386

1、第二节第二节数量积与向量积数量积与向量积 cos|sfw (其中其中 为为f与与s的夹角的夹角)实例实例一、两向量的数量积一、两向量的数量积fs启示启示|cosab (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)两向量作这样的运算两向量作这样的运算, , 结果是一个数量结果是一个数量. .定义定义 cos|sfw .a b 记记为为ab向量向量与与的的数量积数量积为一个数：为一个数：|cosa bab 即即sfw 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.ab cos|baba ,prcos|bjba ,prcos|ajab |prjba bba|prj.aab 结论结论 两向量的数量积等于

2、其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积. .由数量积的定义可推出：由数量积的定义可推出：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证=,2 即即,2 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）结合律）结合律若若 为数为数： ),()()(bababa

3、若若 、 为数为数： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知由此可知两向量垂直两向量垂直的充要条件为的充要条件为解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos

4、)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabpr|)3( . 3|pr bbaajb .43 4, 1 , 1 a2 , 2, 1 bba 例例1 已知已知求（求（1）ab（2）与与的夹角；的夹角；ab在在上的投影上的投影.（3）证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(与向量与向量cacbbca)()( 例例2 证明向量证明向量垂直垂直.|foqm sin|fop 实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积lfpqo 的支点，有一力的支点，有一力为一根杠杆为一根杠杆olf设设f点处力点处力pop作用于

5、这杠杆上作用于这杠杆上与与的夹角为的夹角为m ，f力力对支点对支点o的力矩是一向量的力矩是一向量，它的模它的模mopf的方向垂直于的方向垂直于与与所决定的平面所决定的平面, 指向符合右手系指向符合右手系.定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.cab的方向既垂直于的方向既垂直于，又垂直于又垂直于指向符合右手系指向符合右手系. .)ab （其中 为 与 的夹角（其中 为 与 的夹角几何意义：几何意义：|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac |sinb 方向：方向：| |sincab 模模：bac 记为记为)()(0sin |

6、|sin0,abab 证证/ab 或或0 由向量积的定义可推出由向量积的定义可推出：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba0.ab , 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 /ab 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3 3）结合律）结合律若若 为数：为数： ).()()(bababa 不符合交换律不符合交换律,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj

7、,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示xyzxyzijkabaaabbb 由上式可推出由上式可推出yzxyxzxzyzxyaaaaaaijkbbbbbbkbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( /ab zzyyxxbababa zzyxbaaa 000, 0 yxaaxb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如例如，/ab zzyyxxbababa 两向量平行的充要条件：两向量平行的充要

8、条件：例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 4 4 在顶点为在顶点为)2 , 1, 1( a、)2 , 6, 5( b和和)1, 3 , 1( c的三角形中，求的三角形中，求ac边上的高边上的高bd.abc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面积为的面积为|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5

9、| bd例例 5 5 设设向向量量pnm,两两两两垂垂直直，符符合合右右手手规规则则，且且4| m，2| n，3| p，计计算算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，定义定义 设设已已知知三三个个向向量量a、b、c，数数量量cba )(称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为为cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式* *三、

10、向量的混合积三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义： 向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三三向向量量a、b、c共共面面. 0 cba小小 结结设设(,),xyzaaaa (,),xyzbbbb 一、向量运算一、向量运算1.1.加减加减: :(,).xxyyzzabababab 2.2.数乘数乘: :(,).xyzaaaa 3.3.点积点积: :.xxyyzza ba ba ba b 4.4.叉积叉积: :.xyzxyzabaiaabbkbj cosa ba b sinaba b 模模：, ,a b ab 方方向向：符符合合右右手手系系/0.abab .yzxxyzaaabbb a,b.nab 3.3.与与同时垂直的向量可取作同时垂直的向量可取作0.aba b 0.xxyyzza ba ba b 二、二、 向量关系向量关系: :1.1.二向量平行二向量平行2 2.二向量垂直二向量垂直思考题思考题已已知知向