第四章习题课64650

1、2积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容31 1、原函数、原函数 如如果果在在区区间间i内内，可可导导函函数数)(xf的的导导函函数数为为)(xf， 即即ix ， 都都 有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，那那么么函函数数)(xf就就称称为为)(xf或或dxxf)(在在区区间间i内内原原函函数数.定义定义原函数存在定理原函数存在定理 如果函数如果函数)(xf在区间在区间i内连续，那

2、内连续，那么在区间么在区间i内存在可导函数内存在可导函数)(xf，使，使ix ，都有，都有)()(xfxf .即：即：42 2、不定积分、不定积分(1) 定义定义 在在区区间间i内内，函函数数)(xf的的带带有有任任意意常常数数项项的的原原函函数数称称为为)(xf在在区区间间i内内的的不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(cxfdxxf )()(函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.5 dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常

3、常数数，)0 k(3) 不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( cxfdxxf)()( cxfxdf)()(63 3、基本积分表、基本积分表 kckxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 cxdxx cxxdxln)3( dxx211)4(cx arctan dxx211)5(cx arcsin xdxcos)6(cx sin xdxsin)7(cx cos xdxxtansec)10(cx sec xdxxcotcsc)11(cx csc dxex)12(cex xdx2cos)8( xdx2seccx tan xdx2sin)9( xdx

4、2csccx cot7 dxax)13(caax ln cxxdxcoslntan)16( cxxdxsinlncot)17( cxxxdx)tanln(secsec)18( cxxxdx)cotln(csccsc)19(caxadxxa arctan11)20(22cxaxaadxxa ln211)22(22caxdxxa arcsin1)23(22caxxdxax )ln(1)24(2222caxaxadxax ln211)21(22cx sh)14( xdxch xdxcx ch)15(sh85 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法定理定理 1 设设)(uf具有原

5、函数，具有原函数，)(xu 可导，可导，则有换元公式则有换元公式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式（第一类换元公式（）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.9;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 106 6、第二类换元法、第二类换元法定理定理 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并是单调

6、的、可导的函数，并且且0)( t ，又设，又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.第二类换元公式第二类换元公式11常用代换常用代换:.,)(. 1rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函数代换.tan,)(22taxxaxf令令.1. 3tx 令令倒倒置置代代换换127 7、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 139 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有

7、理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp 11101110)()(其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数；naaa,10及及mbbb,10都是实数，并且都是实数，并且00 a，00 b.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法14四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;ln. 1caxaaxadx ;)(1()(. 21caxnaaxadxnn ;arctanln2. 342422222cqxqnqpxxmdxqpxxnmxpppmp dxqpxxnqpxxdxpxmd

8、xqpxxnmxnmpnn)()()2(2)(. 42222此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式15令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxr)cos,(sinduuuuuur22221211,12 （2） 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxr16（3） 简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：),(nbaxxr ),(necxbaxxr 解决

9、方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令17，设设cxdxxxfarcsin)(例例1 1.)(1dxxf计算计算解解 等式两边对等式两边对 求导得求导得 x,11)(2xxxf.11)(2xxxf即即)1 (1211)(1222xdxdxxxdxxf.)1 (31232cx二、典型例题二、典型例题18.)(ln112dxxx例例2 2.)arcsin(lnln)(ln112cxxdxdxxxsincos3例3例3xdxxxdxxsin)sinsin1(sinsinsin12.sin21sinln2cxx19dxxx22cos2sin1例例4 4x

10、dxdxxxtan2tan12tancos1222dxxxx2)ln(1ln1例5例5.)lnarctan()ln()ln(112cxxxxdxx.2tan2tanln221cxx20dxxexxx)1 (1例6例6)()1 (1)1 () 1(xxxxxxxxxedxexexexedxxexeexdxxxx11ln112例例7 7.11ln4111ln11ln212cxxxxdxx.1lncxexexx21dxxx22112例例8 8，令令txtan1，则则tdtdx2secdttttdtttdxx)sec1sec(secsec1sec1) 1(1122dttt)cos11(secdtttt

11、2cos121tansecln2.1122|221|ln22cxxxxxxcttt2tantansecln22例例9 9解解.1122dxxxx求求tx1dttttt)1(1)1(111222原式原式dttt21122212)1 (11ttddttctt 21arcsin.1arcsin12cxxx23dxxx2) 1(12例例1 10 0tx1122221)1(2)11 (11ttdtdtttt2) 1(2) 1(ttdct21arcsin.) 1(22arcsincxx24dxxxx42cossin3例例1 11 1xxdxdxxx3223tansectanxdxxxxtan)(secta

12、n123.coslntan21tan23cxxxx25dxxxx2/32)1 (ln例12例12dxxxxxxxd222111ln11ln22/11)/1 (1lnxxdxx.)111ln(1ln22cxxxx解解原式原式26dxexxxxxsin23cossincos例例1 13 3dxxxexdxxexx2sinsincossincos.cossinsincxexexxxdexdexxcos1sinsindxedxexexxexxxsincossinsinsin27dttttx)1)(2(122sindttdttdttttt22222221311131)1)(2()1 ()2(31cttt

13、2arctan23111ln61.2sinarctan231sin1sin1ln61cxxxdxxx cos)sin2(12例14例14)sin1)(sin2(sincos)sin2(cos2222xxxddxxxx28例例1515dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932dxxxxx求求1)23()23(23ln12xxd123ln12tdtdttt)1111(23ln21ctt11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21cxxxx tx )23(令令29例例1616解解.cos1)sin1 (dxxxex求求dxxxxex2cos2)2cos2sin21 (2原式

14、原式dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan(xxdexxde)2tan(xedx.2tancxex30例例1717解解.15)1ln(22dxxxx求求 5)1ln(2xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232cxx )1221(1122xxxx 31例例1818解解.)1ln(arctan2dxxxx求求dxxx)1ln(2由由)1 ()1ln(2122xdx.21)1ln()1 (21222cxxx21)1ln()1(21arctan222xxxxd原式原式xxxxarctan)1ln()1(21222dxxxx1)1l

15、n(21222.2)1ln(2 3)1ln()1(arctan212222cxxxxxxx32例例1919解解1.)2(10 xxdx求求)2(10109xxdxx原式原式)2()(101101010 xxxdcxx)2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110cxx解解2 2)21 (1011xxdx原式原式101021)(101xxd.)21ln(20110cx33例例2020解解.) 1() 1(342xxdx求求.) 1()11() 1() 1(234342xxxxx,11xxt令令,) 1(22dxxdt则有则有 原原式式234) 1()11(xxxdxdtt3421ct3123.11233cxx34例例2121解解.cos1sindxxxx求求dxxxxx2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx2tan2cos22dxxdxxxx2tan2tan2tan.2tancxx35例例2222解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22)()()()(xfxfdxfxf.)()(212cxfxf36例例2323解解., 1maxdxx求求, 1max)(xxf 设设,1,11