第五章习题课04408

1、定积分定积分 习题课习题课 一、主要内容一、主要内容问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分定积分存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分的性质的性质牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 定积分的定积分的计算法计算法二、内容提要 1 定积分的定义定积分的定义定义的实质定义的实质 几何意义几何意义 物理意义物理意义2 可积和可积和 可积的两个可积的两个条件条件3 定积分的性质定积分的性质线性性线性性 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(可加性可加性 badxxf)( bcc

2、adxxfdxxf)()(若若0)( xf， 则则0)( dxxfba )(ba 非负性非负性比较定理比较定理 若若)()(xgxf ， 则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 估值定理估值定理 )(xf在在区区间间, ba 上上的的最最大大值值及及最最小小值值， )()()(abmdxxfabmba . 积分中值定理积分中值定理如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间, ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间, ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 积分中值公式积分中值公式若若m 和和 m 是是 变上限定积分及其导数变上限定积

3、分及其导数 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. .)()(babaxfdxxf 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分的计算法定积分的计算法（1）换元法）换元法 dtttfdxxfba )()()(换元积分公式换元积分公式（2）分部积分法）分部积分法 bababavduuvud

4、v分部积分公式分部积分公式微积分基本公式微积分基本公式 如如果果)(xf是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间, ba上上的的一一个个原原函函数数，则则 )()()(afbfdxxfba 利用对称区间上奇偶函数的性质简化利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算定积分的计算广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0 badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)

5、( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0三、典型例题三、典型例题例例1 1.cossinsin20 dxxxx求求解解,cossinsin20 dxxxxi由由,cossincos20 dxxxxj设设,220 dxji则则 20cossincossindxxxxxji 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 i故得故得.4 i即即例例2广义积分中值定理广义积分中值定理设设f(x) 在在 a ,b上连续，上连续， g(x) 在在 a ,b上可积，且上可积，且不变号，则不变号，则 babadxxgfdxxgxfba)()()()(, 使使证证因因f(x) 在在

6、a ,b上连续，故上连续，故f(x) 在在 a ,b上必取得上必取得 最大值最大值m和最小值和最小值m，mxfm )(又又g(x) 在在 a ,b上不变号上不变号故不妨设故不妨设0)( xg badxxg0)()()()()(xmgxgxfxmg bababadxxgmdxxgxfdxxgm)()()()(若若0)( badxxg则由上式知则由上式知 badxxgxf0)()( babadxxgfdxxgxf)()()()( 可取可取a ,b内任一点内任一点若若 babadxxgdxxg0)(, 0)(则mdxxgdxxgxfmbaba )()()(由介值定理由介值定理 babadxxgdxx

7、gxffba)()()()(, 使使 babadxxgfdxxgxf)()()()( 例例3 证明证明01lim10 dxxxnn证一证一nnxxx 10 101010dxxdxxxnn11 n由由夹夹逼逼定定理理得得令令, n01lim10 dxxxnn由广义积分中值定理由广义积分中值定理11111111010 ndxxdxxxnn 011lim, 1|11| nn有界有界 01lim10 dxxxnn证二证二dxxxinn 101记记dxixxnn 10111则则 10111ndxxiinnn由夹逼定理得由夹逼定理得令令, n01lim10 dxxxnn例例4求极限求极限12111lim)

8、1(nnnnn nnnn!lnlim)2( nnii 1112 nnniiinin21 证三证三解解 11211111limnnnnin nninin111lim1 1010)1ln(11xdxx 2ln )21ln(1limnnnnnin nninin1)ln(lim1 101lnxdx如果能把数列的通项写成如果能把数列的通项写成)1(1)(111 nininifnnifn或的形式的形式就可以利用就可以利用)(1lim1 ninnifn或或)1(1lim1 ninnifn把数列极限问题转化为定积分把数列极限问题转化为定积分 10)(dxxf的计算问题的计算问题与数列的极限有着密切联系与数列的

9、极限有着密切联系由以上两例可见，连续函数由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分的定积分.2sinln40 xdx求求解解,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxi 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxi22ln4 . 2ln4 i例例 5 5.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 例

10、例 6 6证明证明cauchy-schwarz不等式不等式 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222证证,rt 0)()(2 xgxtf badxxgxtf0)()(2 bababadxxgdxxgxftdxxft0)()()(2)(222 bababadxxgdxxfdxxgxf0)()(4)()(4222 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222例例7记记 xaxaxadttgdttfdttgtfxf)()()()()(222 则则 xaxaxadttfxgdttgxfdttgtfxgxfxf)()()()()()()()(2)(2222 0)(

11、)()()()()()()(22222 dtxgtftgxftgtfxgxfxa单单调调减减)(xf0)()()( afxfbf bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222即即另证另证定积分不等式的证明方法定积分不等式的证明方法辅助函数法辅助函数法将一个积分限换成变量，移项使一端为将一个积分限换成变量，移项使一端为 0另一端即为所求作的辅助函数另一端即为所求作的辅助函数 f ( x ) 判定单调性，与端点的值进行判定单调性，与端点的值进行比较即得证比较即得证)(xf 求求例例8设设 0)0(, 0)0(,)( ffxf连连续续求求 xxxdttfxdttf0200)()(2

12、lim解解 xxxfxdttfxxxfi0220)()(2)(2lim xxxxfdttfxf020)()(2)(2lim)()(3)(4lim20 xfxxfxfxx )(0)0()(3)(4lim20 xfxfxfxfx 1)0()0(3)0(4 fff1sinlim020 xbxdttatxx这是这是 型未定式的极限型未定式的极限解解由由lhospital法则法则1)cos(lim20 xaxbxix0lim20 xx0)cos(lim0 xaxbx0) 1( ab00a = 0 或或 b =1将将 a = 0 代入知不合题意代入知不合题意故故b =14, 12)cos1(lim20 a

13、axaxxx例例9 试确定试确定 a , b 的值使的值使0)(, 1 , 0)( xfxf上上连连续续在在证明证明 1010)(ln)(lndxxfdxxf证一证一由定积分的定义由定积分的定义)(ln1lim)(ln101nifndxxfnin ninnifn1)(1lnlim（ 因因 f ( x ) 是凸函数）是凸函数） ninnifn1)(1limlndxxf 10)(ln证二证二 记记 adxxf 10)(则则a 0例例10 设设xyln 上凸上凸故其上任一点的切线都在曲线的上方故其上任一点的切线都在曲线的上方在在 x = a 处的切线方程为处的切线方程为)(1lnaxaay )(1l

14、n)(ln),(atfaatftfx 有令 101010)(1ln)(lndtatfaadtdttf 101)(1lndttfaaaln 证三证三易证明当易证明当 t 0 时有时有 1ln tt或或teet 10)()(dxxfxft令又曲线又曲线1)()()(ln)(ln1010 dxxfxfdxxfxf01)()()(ln)(ln10101010 dxxfdxxfdxxfdxxf 1010)(ln)(lndxxfdxxf例例11设设 f ( x ) 在在 a , b 上连续且上连续且 f ( x ) 0 证明证明 baabdxxfdxxfdxxfba)(21)()(, 使使令令 xadtt

15、fxf)()(则则 f ( x ) 在在 a , b 上连续，在上连续，在( a , b ) 内可导内可导0)()( xfxf即即 f( x ) 单调增单调增设设)(),(bfmafm 则则 badxxfmm)(, 0 babamdxxfdxxfm)()(210由介值定理得由介值定理得 badxxffba)(21)(, 使使即即 baadxxfdxxf)(21)( babbaadxxfdxxfdxxfdxxf)(21)()()( 证证 10)(, 1 , 0)(adxxfxf上上连连续续在在设设 101)()(xdyyfxfdx计计算算解解 101)()(xdxdyyfxfi xxdttfdd

16、yyf0101)()(dxxfdttfdttfdyyfxxx)()()()(1001010 xxdttfddttfdxxfdttf01001010)()()()(2)(212210adttf 例例12例例13 设设 f ( x ) 在在 0 , 1 上连续，且单调不增上连续，且单调不增证明证明 对任何对任何有有1 , 0 010)()(dxxfdxxf证一证一1 , 0 1001)()()( dxxfdxxfdxxf由积分中值定理由积分中值定理 1010)()(fdxxf1)1)()(212 fdxxf再由再由f ( x )单调不增单调不增得得及及21 )()(21 ff 1001)()()(

17、 dxxfdxxfdxxf)1)()(21 ff)1)()(11 ff)(1 f 0101)()()(dxxffdxxf证二证二 010)()(1)(dxxfdxxff记记则则f(1)=020)()()( dxxfff再由再由f ( x )单调不增单调不增 00)()()(fdxfdxxf0)( f单调减单调减得得)( f0)1()( ff 100)()( dxxfdxxf即即证三证三 010)()(dxxfdxxf 001)()()(dxxfdxxfdxxf 01)()()1(dxxfdxxf0)()1()()1( ff证四证四tx 令令 010)()(dttfdxxf 10)( dttf

18、)()(tftf 证五证五由由f ( x )单调不增单调不增)1 ( )()(1 fdxxf 1)(11)( dxxff 10)(1)()( dxxffdxxfdxxfdxxf 01)()()1( 001)()()(dxxfdxxfdxxfdxxf 10)( 例例14 计算计算 0sin xdxxjmm解一解一 01sinsinxdxxxjmm 01)(cossinxdxxm 0101sincoscossindxxxxxxxmm= 0dxxxxmxxmmcossin) 1(sincos201 0220)sin1 (sin) 1(sin1dxxxxmxmmm= 0 002sin) 1(sin)

19、1(xdxxmdxxxmmm21 mmjmmj 0202xdxj 01sinxdxxj 奇奇数数偶偶数数mmmmmmjm 531) 1(6422642) 1(5312解二解二由定积分换元法知由定积分换元法知 00)(sin2)(sindxxfdxxxfmmij2 21 mmimmi210 ii 奇奇数数偶偶数数mmmmmmjm 531) 1(6422642) 1(5312例例15 为满足为满足设设naaa10,的的实实常常数数01210 naaan证明证明 方程方程010 nnxaxaa在在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根内至少有一根证证 xnndttataaxf010)()(记记则则 f(

20、x) 在在 0,1 上连续，在上连续，在 (0,1) 内可导内可导0)0( f 1010)() 1 (dttataafnn01210 naaan由由 rolle 定理定理0)()1 , 0( f使使nnxaxaaxf 10)(而而010 nnxaxaa故故方方程程在在 ( 0 , 1 ) 内至少有一根内至少有一根例例16 已知周期为已知周期为l的函数在的函数在2,2ll 上是连续的奇函数，证明上是连续的奇函数，证明 xadttf)(也是以也是以l为周期的函数为周期的函数证一证一 xadttfxf)()(记记)()()(xgdttflxflxa )()(xfxf )()()(xflxfxg cxfxg )()(cxflxf )()(得得令令2lx 22)()()2()2(laladttfdttflflfc 220)(lldttf)()(xflxf 对称区间上奇函数的积分对称区间上奇函数的积分证二证二dttfxflxflxx )()()( lxllllx2222 xllxlduuflutdttf22)()()(令令 220