人教版高中数学选修11阶段质量检测三 导数及其应用 Word版含解析

1、起 阶段质量检测（三） 导数及其应用 (时间：时间： 120 分钟分钟 满分：满分：150 分分) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的) 1若若 f(x)sin cos x，则，则 f(x)等于等于( ) asin x bcos x ccos sin x d2sin cos x 解析：解析：选选 a 函数是关于函数是关于 x 的函数，因此的函数，因此 sin 是一个常数是一个常数 2以正弦曲线以正弦曲线 ysin x 上一点上一点

2、 p 为切点的切线为直线为切点的切线为直线 l，则直线，则直线 l 的倾斜角的范围是的倾斜角的范围是( ) a. 0，4 34， b0，) c. 4，34 d. 0，4 2，34 解析：解析：选选 a ycos x，cos x1,1，切线的斜率范围是切线的斜率范围是1,1，倾斜角的倾斜角的范围是范围是 0，4 34， . 3函数函数 f(x)的定义域为开区间的定义域为开区间(a，b)，导函数，导函数 f(x)在在(a，b)内的图象如图所示，则函内的图象如图所示，则函数数 f(x)在开区间在开区间(a，b)内有极小值点内有极小值点( ) a1 个个 b2 个个 c3 个个 d4 个个 解析：解析

3、：选选 a 设极值点依次为设极值点依次为 x1，x2，x3且且 ax1x2x3b，则，则 f(x)在在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有是极大值点，只有 x2是极小值点是极小值点 4函数函数 f(x)x2ln x 的单调递减区间是的单调递减区间是( ) a. 0， 22 b. 22， c. ，22， 0， 22 d. 22， 0 ， 0， 22 解析：解析：选选 a f(x)2x1x2x21x，当，当 0 x22时，时，f(x)0，故，故 f(x)的单调递的单调递减区间为减区间为 0，22. 5函数

4、函数 f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是的最大值是( ) a1 b.12 c0 d1 解析：解析：选选 a f(x)312x2，令，令 f(x)0， 则则 x12(舍去舍去)或或 x12，f(0)0，f(1)1， f 1232121，f(x)在在0,1上的最大值为上的最大值为 1. 6函数函数 f(x)x3ax23x9，已知，已知 f(x)在在 x3 处取得极值，则处取得极值，则 a( ) a2 b3 c4 d5 解析：解析：选选 d f(x)3x22ax3，f(3)0. 3(3)22a(3)30，a5. 7函数函数 f(x)13ax312ax22ax1 的图象经过四个象限， 则实数的图

5、象经过四个象限， 则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) a. 310，67 b. 85，316 c. 83，116 d. ，310 67， 解析解析：选选 d f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)， 要使函数要使函数 f(x)的图象经过四个象限，则的图象经过四个象限，则 f(2)f(1)0，即，即 103a1 76a1 0，解得，解得 a67. 故选故选 d. 8.已知函数已知函数 f(x)的导函数的导函数 f(x)a(xb)2c 的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数 f(x)的图象可能的图象可能是是( ) 解析：解析：选选 d 由导函数图象可知，当由导函数图象可知，当 x0

6、 时，函数时，函数 f(x)递减，排除递减，排除 a、b；当；当 0 x0，函数，函数 f(x)递增因此，当递增因此，当 x0 时，时，f(x)取得极小值，故选取得极小值，故选 d. 9定义域为定义域为 r 的函数的函数 f(x)满足满足 f(1)1，且，且 f(x)的导函数的导函数 f(x)12，则满足，则满足 2f(x)x1的的 x 的集合为的集合为( ) ax|1x1 bx|x1 cx|x1 dx|x1 解析：解析：选选 b 令令 g(x)2f(x)x1，f(x)12， g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数，为单调增函数， f(1)1，g(1)2f(1)110，当当 x1 时，时

7、， g(x)0，即，即 2f(x)x1，故选，故选 b. 10某产品的销售收入某产品的销售收入 y1(万元万元)是产量是产量 x(千台千台)的函数：的函数：y117x2，生产成本，生产成本 y2(万元万元)是是产量产量 x(千台千台)的函数：的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产，为使利润最大，应生产( ) a6 千台千台 b7 千台千台 c8 千台千台 d9 千台千台 解析：解析：选选 a 设利润为设利润为 y，则，则 yy1y217x2(2x3x2)18x22x3，y36x6x2，令令 y0 得得 x6 或或 x0(舍舍)，f(x)在在(0,6)上是增函数，在上是增函数，在(

8、6，)上是减函数，上是减函数，x6 时时y 取得最大值取得最大值 11已知定义在已知定义在 r 上的函数上的函数 f(x)，f(x)x f(x)0，若，若 ab，则一定有，则一定有( ) aaf(a)bf(b) baf(b)bf(a) caf(a)bf(b) daf(b)bf(a) 解析：解析：选选 c x f(x)xf(x)x f(x)f(x)x f(x)0， 函数函数 x f(x)是是 r 上的上的减函数，减函数， ab，af(a)bf(b) 12若函数若函数 f(x)sin xx，且，且 0 x1x2b bab cab da，b 的大小不能确定的大小不能确定 解析：解析：选选 a f(x

9、)xcos xsin xx2，令，令 g(x)xcos xsin x，则，则 g(x)xsin xcos xcos xxsin x. 0 x1，g(x)0，即函数，即函数 g(x)在在(0,1)上是减函数，得上是减函数，得 g(x)g(0)0，故，故 f(x)b，故选，故选 a. 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上) 13若若 f(x)13x3f(1)x2x5，则，则 f(1)_. 解析：解析：f(x)x22f(1)x1，令，令 x1，得，得 f(1)23. 答案：答案：23 14曲

10、线曲线 c：yln xx在在点点(1,0)处的切线的方程为处的切线的方程为_ 解析：解析：由由 yln xx，得，得 y1ln xx2，所以，所以 y| x11，即切线，即切线 l 的斜率为的斜率为 1.又切线又切线 l 过过点点(1,0)，所以切线，所以切线 l 的方程为的方程为 yx1，即，即 xy10. 答案答案：xy10 15已知函数已知函数 f(x)满足满足 f(x)f(x)，且当，且当 x 2，2时，时，f(x)xsin x，设，设 af(1)，bf(2)，cf(3)，则，则 a，b，c 的大小关系是的大小关系是_ 解析：解析：f(2)f(2)，f(3)f(3)， 因为因为 f(x

11、)1cos x0， 故故 f(x)在在 2，2上是增函数，上是增函数， 22130， f(2)f(1)f(3)，即，即 cab. 答案：答案：ca0. (1)求求 f(x)的单调区间和极值；的单调区间和极值； (2)证明：若证明：若 f(x)存在零点，则存在零点，则 f(x)在区间在区间(1， e 上仅有一个零点上仅有一个零点 解：解：(1)由由 f(x)x22kln x(k0)， 得得 x0 且且 f(x)xkxx2kx. 由由 f(x)0，解得，解得 x k(负值舍去负值舍去) f(x)与与 f(x)在区间在区间(0，)上的情况如下：上的情况如下： x (0， k) k ( k，) f(x

12、) 0 f(x) k(1ln k)2 所以，所以，f(x)的单调递减区间的单调递减区间是是(0， k)，单调递增区间是，单调递增区间是( k，) f(x)在在 x k处取得极小值处取得极小值 f( k)k(1ln k)2. (2)证明：证明：由由(1)知，知，f(x)在区间在区间(0，)上的最小值为上的最小值为 f( k)k(1ln k)2. 因为因为 f(x)存在零点，所以存在零点，所以k(1ln k)20，从而，从而 ke. 当当 ke 时，时，f(x)在区间在区间(1， e)上单调递减，且上单调递减，且 f( e)0， 所以所以 x e是是 f(x)在区间在区间(1， e 上的唯一零点上

13、的唯一零点 当当 ke 时，时，f(x)在区间在区间(1， e 上单调递减，且上单调递减，且 f(1)120，f( e)ek20， 所以所以 f(x)在区间在区间(1， e 上仅有一个零点上仅有一个零点 综上可知，若综上可知，若 f(x)存在零点，则存在零点，则 f(x)在区间在区间(1， e 上仅有一个零点上仅有一个零点 19(本小题满分本小题满分 12 分分)某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为 k 米的米的圆在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，圆在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有

14、一根直的钢管相连经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为 8k 元元/根， 且当两相邻的座位之间的圆弧长根， 且当两相邻的座位之间的圆弧长为为 x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为 (1 024 x20)x1002k 元假元假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所以座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天设座位等距离分布，且至少有两个座位，所以座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为轮的总造价为 y元元 (1)试写出试写出 y 关于关于 x 的函数关系式，并写出定义域

15、的函数关系式，并写出定义域 (2)当当 k100 米时米时，试确定座位的个数，使得总造价最低，试确定座位的个数，使得总造价最低 解：解：(1)设摩天轮上总共有设摩天轮上总共有 n个座位，则个座位，则 xkn， 则则 nkx， y8kkxkx (1 024 x20)x1002k k2 10 x1 024 x20100， 定义域为定义域为 x 0 xk2，kxz. (2)当当 k100 时，时， 则则 y100 1 000 x1 024 x20 ， 令令 f(x)1 000 x1 024 x， 则则 f(x)1 000 x25121x1 000512x32x2， 令令 f(x)0， 所以所以 x3

16、212564x 12564232516， 当当 x 0，2516时，时，f(x)0， 即即 f(x)在在 x 2516，50 上单调递增，上单调递增， 所以总造价所以总造价 y的最小值在的最小值在 x2516时取到，此时座位个数为时取到，此时座位个数为100251664 个个 20(本小题满分本小题满分 12 分分)已知函数已知函数 f(x)ln xax(a0) (1)若若 a1，求函数，求函数 f(x)的单调区间的单调区间 (2)若以函数若以函数 yf(x)(x(0,3)图象上任意一点图象上任意一点 p(x0，y0)为切点的切线的斜率为切点的切线的斜率 k12恒成恒成立，求实数立，求实数 a

17、 的最小值的最小值 解：解：(1)当当 a1 时，时，f(x)ln x1x， 定义域为定义域为(0，)， f(x)1x1x2x1x2， 当当 x(0,1)时，时，f(x)0， 所以所以 f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为，单调递增区间为(1，) (2)由由(1)知知 f(x)xax2(0 x3)， 则则 kf(x0)x0ax2012(0 x03)恒成立，恒成立， 即即 a 12x20 x0 max. 当当 x01 时，时，12x20 x0取得最大值取得最大值12，所以，所以 a12，所以，所以 a 的最小值为的最小值为12. 21(本小题满分本小题满分 12 分

18、分)已知函数已知函数 f(x)x2mln x，h(x)x2xa. (1)当当 a0 时，时，f(x)h(x)在在(1，)上恒成立，求实数上恒成立，求实数 m 的取值范围；的取值范围； (2)当当 m2 时，若函数时，若函数 k(x)f(x)h(x)在区间在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数上恰有两个不同零点，求实数 a 的的取值范围取值范围 解：解：(1)由由 f(x)h(x)， 得得 mxln x在在(1，)上恒成立上恒成立 令令 g(x)xln x，则，则 g(x)ln x1 ln x 2， 当当 x(1，e)时，时，g(x)0； 当当 x(e，)时，时，g(x)0， 所以所以 g(

19、x)在在(1，e)上递减，在上递减，在(e，)上递增上递增 故当故当 xe 时，时，g(x)的最小值为的最小值为 g(e)e. 所以所以 me.即即 m 的取值范围是的取值范围是(，e (2)由已知可得由已知可得 k(x)x2ln xa. 函数函数 k(x)在在(1,3)上恰有两个不同零点，上恰有两个不同零点， 相当于函数相当于函数 (x)x2ln x 与直线与直线 ya 有两个不同的交点有两个不同的交点 (x)12xx2x， 当当 x(1,2)时，时，(x)0，(x)递减，递减， 当当 x(2,3)时，时，(x)0，(x)递增递增 又又 (1)1，(2)22ln 2，(3)32ln 3， 要使直线要使直线 ya 与函数与函数 (x)x2ln x 有两个交点，有两个交点， 则则 22ln 2a32ln 3. 即实数即实数 a 的取值范围是的取值范围是(22ln 2,32ln 3) 22(本