费马引理与罗尔中值定理

1、第三章第三章 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用3.1 费尔马引理与函数最值费尔马引理与函数最值 3.2 罗罗尔中值定理及应用尔中值定理及应用一、一、费马引理费马引理ab0 xxyo(费马引理费马引理)如果对如果对 ),(0 xux 有有 )()(0 xfxf ),()(0 xfxf 或或. 0)(0 xf则则设设 f (x)在点在点 的某邻域的某邻域 内有定义内有定义,)(0 xu0 x且在且在 处可导处可导,0 x 注：导数为零的点称为函数的注：导数为零的点称为函数的驻点驻点.证证设对于设对于),(0 xux 有有 ).()(0 xfxf 00)()(xxxfxf 0 0limxx

2、)(0 xf 由极限的保号性由极限的保号性,0)(0 xf0 00)()(xxxfxf )(0 xf 0limxx.0)(0 xf则则推论推论 (最值的必要条件最值的必要条件) ,),()()(0内的最值内的最值在在是是baxfxf设设),(0bax 如果如果 存在存在,)(0 xf 如果如果 在在a, b上连续上连续, 则则 在在a, b上一上一)(xf)(xf定有最大值和最小值定有最大值和最小值. 由最值的必要条件由最值的必要条件, 最大、最小值点只可能最大、最小值点只可能是的驻点、不可导点或区间的端点是的驻点、不可导点或区间的端点.求函数最大值与最小值的一般步骤求函数最大值与最小值的一般

3、步骤:1. 求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2. 求出区间端点及驻点和不可导点的函数值求出区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小比较大小, 其中最大者就是最大值其中最大者就是最大值,最小者就最小者就是最小值是最小值;3. 在实际问题的应用中在实际问题的应用中, 问题本身可以保证目标问题本身可以保证目标函数的最大值或最小值一定存在函数的最大值或最小值一定存在, 我们通常用这我们通常用这种思想求取应用问题的最值种思想求取应用问题的最值.例例1 求函数求函数 在在-1, 4上的最大值上的最大值解解得得令令,0)( xf计算计算与最小值与最小值.)1(666)(2 xxxxxf(-1, 4)内驻

4、点内驻点. 1, 021 xx, 0)0(, 5)1( ff80)4(, 1)1( ff2332)(xxxf 比较得比较得, 最大值最大值 最小值最小值. 5)1( f，80)4( fozyx解解hrhrv2222 ,222rhr 由由得得,)(222hhrv )0(rh )3(222hrvh h2hrr例例2 求内接于球的圆柱体的最大体积求内接于球的圆柱体的最大体积, 设球的设球的 半径半径 r.设圆柱体的高为设圆柱体的高为2h, 底半径为底半径为 r, 体积为体积为v, 圆柱体的最大体积一定存在圆柱体的最大体积一定存在, 故故唯一驻点唯一驻点3rh 就是最大值点就是最大值点, 最大体积为最

5、大体积为33222rrrv 3334r 令令, 0 hv得得3rh (舍去负值舍去负值)唯一驻点唯一驻点,)3(222hrvh 定理定理3.2 (罗尔定理罗尔定理) (1) 在闭区间在闭区间a, b上连续上连续;(2) 在开区间在开区间(a, b)内可导内可导;(3)()(bfaf ,),( 内内至至少少存存在在一一点点则则在在开开区区间间ba使得使得. 0)( f3.2 罗尔中值定理及其应用罗尔中值定理及其应用ab1 2 xyo)(xfy c证证,)(上连续上连续在在因因baxf若函数若函数 f (x) 满足满足:必有最大值必有最大值m和最小值和最小值m.,)1(mm 若若,)(,mxfba

6、x 则则),(ba . 0)( f有有),(),(bafm 设设. 0)( f,),(,)2(内内取取得得在在则则最最大大、最最小小值值有有一一个个若若bamm ),()(, fxfbax 则则由由费尔马引理费尔马引理 推论推论: 可微函数可微函数 的任意两个零点之间至少有的任意两个零点之间至少有 的一个零点的一个零点)(xf)(xf 若定理条件不全具备若定理条件不全具备, , 1,010,)(xxxxf1,1, |)( xxxf结论不一定成立结论不一定成立. . 1xyo1,0,)( xxxf1 yxo1yxo1注注例例1 证明证明 是是方程方程 的唯一实根的唯一实根.证证, 1)( xex

7、fx令令,),()(内连续、可导内连续、可导在在则则xf. 0)0( f显然显然, 00 x设设另另有有. 0)(0 xf使使), 0(0之间之间在在存在存在x )0( , 0)( f),0( , 01)( xexfx而而矛盾矛盾.0 xxex 1由由罗尔定理罗尔定理,原命题得证原命题得证.使得使得对可导函数对可导函数 f(x),之间之间,在方程在方程f (x)=0的两实根的两实根0)( xf推论推论至少存在方程至少存在方程的一个实根的一个实根.例例),4)(3)(2)(1()( xxxxxxf设设证证,4 , 0)( 连续连续在在显然显然xf. 0)4()3()2()1()0( fffff且

8、且; 0)(),1 , 0(11 xfx使使; 0)(),2 , 1(22 xfx使使; 0)(),3 , 2(33 xfx使使. 0)(),4 , 3(44 xfx使使,0)(有几个实根有几个实根 xf,)4 , 0(内可导内可导在在.4 0)( 个个实实根根有有所所以以方方程程 xf. 并说明根所在的范围并说明根所在的范围说明方程说明方程例例2 设常数设常数 满足满足:01210 ncccn试证方程试证方程010 nnxcxcc分析：分析：注意到注意到 121012nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf在在(0, 1)内存在一个实根内存在一个实根.nccc,10证证 设设,12)(

9、1210 nnxncxcxcxf,1 , 0)(上上连连续续在在xf, 0)1()0( ff且且 由由罗尔定理罗尔定理,)1 , 0( 内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在, 0)( f使得使得即即, 010 nnccc .为所求实根为所求实根即即 x在在(0, 1)内可导内可导,在在0, 1上二阶可导上二阶可导, 且且)(xf, 0)1()0( ff则在则在 内至少存在一点内至少存在一点, ),()(xxfxf ),1,0(1 例例3 若若证证)1 ,0(使得使得. 0)( f使得使得. 0)(1 f),()()(xfxxfxf 0)()0(1 ff上使用上使用罗尔定理罗尔定理, 0)(

10、1 在在对对xf ),1,0(), 0(1 使得使得. 0)( f上上在在对对 1 , 0)()(xxfxf 使用使用罗尔定理罗尔定理,两种常用的构造辅助函数的方法：两种常用的构造辅助函数的方法： 1. 常数常数k 法构造函数法构造函数 基本思路是令待证等式中的常数为基本思路是令待证等式中的常数为k， 通过通过恒等变形将含有的式子写成恒等变形将含有的式子写成 的形式，的形式， )()(bfaf 然后用罗尔定理然后用罗尔定理则则 就是需要的辅助函数就是需要的辅助函数,)(xf进行证明进行证明.例例4 设设证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在,),(,)(babaxf分析分析证证，设设kxxx

11、fxf )()(令令上使用上使用在在对对,)(baxf罗尔定理罗尔定理,)()()()( ffabaafbbf ,)()(kabaafbbf 整理得整理得,)()(kaaafkbbbf ),(ba 使得使得. 0)( f故故).()()()( ffabaafbbf ，0)()( kff 即即使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在,),( ba2. 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数 然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数就是我们需要的辅助函数就是我们需要的辅助函数. 因为等式中出现的中值因为等式中出现的中值 一定是对某个函数一定是对某个函数使用中值定理得到的使用中值定理得到的, 因此因此, 可以首先把可以首先把 还原为还原为 x， 如果待证等式出现如果待证等式出现 的形式，的形式， )()()()(xvxfxuxf 则可以考虑形如则可以考虑形如 的辅助函数的辅助函数.)()()(xgxfxf )(2)(ff 问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数),()(2xfxxf )(xf在在0, 1上用上用罗尔定理罗尔定理, )1 ,0( 使得使得即有即有例例5 设设证证.)(2)( ff 分析分析:0 )(