线性代数课件矩阵的代数运算

1、、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbabababababababababa221122222221211112121111一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bb,aaijij abba 第二节第二节 矩阵的代数运算矩阵的代数运算说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1abba .2cbacba

2、mnmmnnaaaaaaaaaa1122221112113 ., 04babaaa ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵a1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaaa 二、数与矩阵相乘规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, aaa ;1aa ;2aaa .3baba 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm ba、线性组合、定义、定义 skkjiksjisjijiijbababab

3、ac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.abc 三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaa sm ijbb ns nm ijcc ab例例222263422142 c22 16 32 816设设 415003112101a 121113121430b例例2 2?故故 121113121430415003112101abc. 解解 ,43 ijaa ,34 ijbb .33 ijcc5 671026 2 17 10注意

4、注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1bcacab ,2acabcba ;cabaacb babaab 3（其中（其中 为数）为数）; ;4aeaae 若若a是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为a的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkak 个个kkaaaa ,aaakmkm .mkkmaa 为为正正整整数数k,m注意注意矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：,ba

5、ab .baabkkk 例例 设设 1111a 1111b则则,0000 ab,2222 ba.baab 故故但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 a,1111 b则有则有, ab22 2 2 ba22 2 2.baab 例例3 3 计算下列乘积：计算下列乘积： 21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23 .634242 解解 0010010010012a.002012222 .001001kaa求求设设 例例4 4 00100100201222223aaa 32323003033 由此归纳出由此归纳出 200021121 kkkkkakkkkkkk 用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.2 k假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnaaa所以对于任意的所以对于任意的 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkka ,001021