向量与三角形内心外心重心垂心

1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇、四心的概念介绍角平分线分对边两段之比等于角的对应两边之比 二、四心与向量的结合4*'(1) OA OB OC = 0 ：=O是 ABC的重心.证法 1：设 O(x, y), A(xyj B(x2, y2)，C(x3, y3)"(Xr _ x) + (x2 _ x)十(x3 _ x) = 0 (yi -y) +(y2 y) +卜3 -y) = oxrx2x33yiy2y33O是ABC的重心证法2:如图OA OB OC=OA 2OD 二 0.AO =2OD-A、0、D三点共线，且 为2： 1-O是ABC的重心O分AD(2) OA OB

2、 = OB OC = OC OA：二O为ABC的垂心.证明：如图所示 O是三角形 ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.OA OB 二 OB OC = OB(OA - OC)二 OB CA 二 0同理 OA _ BC，OC _ AB二O为丄ABC的垂心(3)设a, b , c是三角形的三条边长， O是厶ABC的内心aOA bOB cOC =0 二 O 为 ABC 的内心.AB AC证明：. MB、竺分别为ABAC方向上的单位向量,c bAB牛平分.BAG,AB 些)，令，c ba b cAObea b cAB ACc b化简得(a b c)OA bAB cAC =0aOA

3、bOB cOC 二 0O为ABC的外心。典型例题：例1 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP =：0A，（AB AC），0,七 ，则点P的轨迹一定通过 ABC的（C ）A .外心B .内心C.重心D.垂心例2:（ 03全国理4） O是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点P.AB AC. 一则点P的轨迹一定通过 ABC的外心分析:ABACB .内心C.重心D.垂心AB、AC分别为AB、AC方向上的单位向量,满足OP = OA +扎(1)，乙 0,畑),ABAB ACAC 平分-BAC,AB AC点P的轨迹一定通过 ABC的内心，即选B .例3

4、 : O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPABC的ABAC.=+），乙总0,址），则点p的轨迹一定通过ABcosB ACcosC)A .外心B .内心C.重心D .垂心分析：如图所示 AD垂直BC , BE垂直AC , D、E是垂足.ABAB cosBACAC cosC)BCAB BC AC BCAB cosB AC cosCABBCcosBABcosBACBCcosCACcosC=BC + BC =0点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，即选 D .练习:1已知 ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA PB0，若实数满足：AB A AP，则.的值为()3A

5、 . 2B. -C. 3D. 622.若. ABC的外接圆的圆心为 O,半径为1, OA OB OC =0，贝U OA OB =()C. 13 点O在ABC内部且满足OA 2OB 2OC =0，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（)3B .24.ABC的外接圆的圆心为OH = OA OB OC ,则H是ABC的（）5.A .外心内心C.重心D .垂心O是平面上一定点,A、B、2 2 -2C是平面上不共线的三个点，若 OA BC =OB2 2 2CA = OC AB，则 O 是 ABC 的()A .外心B .内心C.重心D .垂心6 .ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H , OH = m(OA OBOC),则实数m =7 .（06陕西）已知非零向量宀PAB ACAB与AC满足(+ ) BC=0 且AC=!,则|AB| |AC|AB|AC| ABC为（）A .三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D .等边三角形、2 & 已知 ABC 三个顶点 A、B、C，若 AB