新21导数的定义

1、 现实世界中观察到许多变量都是连续变化的。现实世界中观察到许多变量都是连续变化的。如运动物体的路程如运动物体的路程、气温的变化、气温的变化 、 s t t t h t植物的生长植物的生长 （除拔节期外）。（除拔节期外）。在短时间内，在短时间内，这些变量的相应值的变化是很小的，反映在数学上就这些变量的相应值的变化是很小的，反映在数学上就是函数的连续性问题。是函数的连续性问题。1 1、函数的改变量（、函数的改变量（增量增量） 对于函数对于函数 ，在函数定义域内，当，在函数定义域内，当 从从 变到变到 时，函数时，函数 相应地从相应地从 变到变到 称称为函数为函数 在在 处的改变量（增量）。处的改变

2、量（增量）。)(xfy xxx0y)(0 xf)(0 xxf )()(00 xfxxfy )(xfy 0 x0 x01uuu 当变量当变量 由初值由初值 变到终值变到终值 时，称终值与时，称终值与初值的差初值的差 为变量为变量 的改变量（的改变量（增量增量），记），记为为 ，即，即 0u1uu01uu u u一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念观察下列两图观察下列两图,说明当说明当0 x时时,y 如何变化如何变化?xx 00 x0 xxx 0结论：结论：)0(0 xy)0(0 xy不不定义定义1 1：若函数若函数,)(0的邻域内有定义的邻域内有定义在在xxfy 且，且，, 0lim0 yx

3、则称函数则称函数)(xfy 在在0 x点点连续连续。当自变量的变化很微小时，当自变量的变化很微小时，函数相应的变化也委微小。函数相应的变化也委微小。那么称函数那么称函数 在点在点 处连续，点处连续，点 称为称为函数函数 的的连续点。连续点。 否则就称为否则就称为间断点间断点。)(xf0 x0 x)(xf定义定义1 1* * 如果如果 （1）函数）函数 在在 的某一邻域内有定的某一邻域内有定义；义；)(xfy 0 x（2） 存在；存在； )(lim0 xfxx（3）)()(lim00 xfxfxx 如函数如函数 y=1/=1/x 在点在点 x= 处间断，而函数处间断，而函数y=(x2-4)/(x

4、-2) 在点在点 x= 处间断。处间断。02例例1 用定义讨论函数用定义讨论函数 0,0, 1)(xexxxfx在在 处的连续性并作图。处的连续性并作图。0 x解：由定义的三个步骤进行解：由定义的三个步骤进行验证：验证：（1）1)0(),( fx（2）所以，所以，（3）函数函数 在在 处连续。处连续。)(xf0 x1-1xy01)(lim, 1)(lim000 exfxfxx1)(lim0 xfx)0(1)(lim0fxfx 例例2 2.0,0,2,0,2)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解：解：)2(lim)(lim00 xxfxx2 )2(lim)(lim00 x

5、xfxx2 .0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf)(lim)(lim00 xfxfxx xyy=f(x) 0-22二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 1 1、定理：一切初等函数在其定义区间内都是、定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。连续的。2、由函数连续的定义，如果函数、由函数连续的定义，如果函数 在在 处连续，有处连续，有)(xf0 x)()(lim00 xfxfxx 3、分段函数只可能在分段点处间断。、分段函数只可能在分段点处间断。一、导数的定义一、导数的定义定义定义,)(0有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数xxfy )()()()(00

6、0 xfxfxfxxfy 若若xyx 0lim存在存在, 则称其为函数则称其为函数 f(x) 在点在点 x0 处的导数处的导数, 记为记为)(0 xf 或或0 xxy ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000或或.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx或或 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度这就是导数这就是导数的物理意义的物理意义如：如：1. 已知变速直线已知变速直线 运动的路程运动的路程s=s(t)，则其在点则其在点 t0 处的瞬时速度处的瞬时速度 v(t0) = s(t0) 又如：又如：2. 已知非恒定电流

7、的电量已知非恒定电流的电量q=q(t)，则其在点则其在点 t0 处的瞬时电流强度处的瞬时电流强度 i(t0) = q(t0) 解解 ： 开关开关 20ev0.5cf1.6lh4.8r sabc0cu sac( )cu t例例 图图6-1所示，电路中所示，电路中 ，且开关且开关 在拨向在拨向 、之前，电容之前，电容上的电压上的电压 先拨向先拨向 ，且电容，且电容上的电压随时间的变化规律上的电压随时间的变化规律 求电路中的电流求电路中的电流 i(t) .( )q t= cuc(t) , 51220(1)tcue( )q t.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx) )()()( tcut

8、qdtdqtic) )1(10(125 te)125(0(10125 tet)125(10125 tete125625 显然，当充电时间足够久，即显然，当充电时间足够久，即t + 时，时，电路中的电流电路中的电流 i(t) 0 ，即充电时间足够久后，电路中的电流趋向于即充电时间足够久后，电路中的电流趋向于0。二、导数的几何意义二、导数的几何意义1.几何意义几何意义oxy)(xfy 0 xt )(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxmxfyxfm且有限时且有限时若若0)(0 xf切线方程为切线方程为的的过过)(,(

9、00 xfx).)()(000 xxxfxfy 法线方程为法线方程为).()(1)(000 xxxfxfy 例例: 求曲线求曲线 在点（在点（1，1）处的切线方程）处的切线方程和法线方程和法线方程3xy 解解 1xy3 切切k所以，切线方程为：所以，切线方程为： )1(31 xy 法线方程为：法线方程为： ) 1(311 xy即即023 yx即即043 yx3312 xx即切线的斜率为：即切线的斜率为： 导数公式：导数公式：aaaxxln)( xxee )(axxaln1)(log 特别地特别地.1)(lnxx 特别地特别地)( ,)(1rxx ,cos)(sinxx xxsin)cos( (练习二练习二) 1. 求曲线求曲线 y=lnx 在在 x=2 处的切线和法线方程处的切线和法线方程 2. 在抛物线在抛物线 y=x2 上求一点上求一点,使得在此点上的使得在此点上的切线平行于直线切线平行于直线 y=4x+3 (练习一练习一) 求下列函数在给定点处的导数值求下列函数在给定点处的导数值 ;21. 10处处在在 xxy;1. 20处处在在 xxxy导数导数概念概念（小结）（小结）1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;5. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一