第五节极限的存在性定理

1、若 yn m , mr , 则称 yn 有上界.若 yn m , mr， 则称 yn 有下界.yn:有界 既有上界又有下界.第五节 极限的存在性定理 , 的所有上界中的最小者数列nx .sup ,nx记为称为数列的上确界 , 下界中的最大者的所有数列nx .inf ,nx记为称为数列的下确界一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有无穷多个界(上界, 下界).第五节 极限的存在性定理定理2.14单调有界数列必有极限.例1设, 2 , 1 , 0n时有100 x且nnnxxx221求nnxlim解由nnnxxx221)2(nnxxnnnxxx221nx故nx单调由2) 1(1nx故有界nx综上所

2、述, 数列极限存在.且得101 x100 x同理10nx), 3 , 2(n由nnnxxx221设axnnlim两边取极限,得:aaa22得1a0a(舍去)例求数列,333,33, 3的极限.解(1)存在性令,333,33, 3321yyy)a单调性1n时13 33333321yy 设kn 时1kkyy1 kn时1kkyy133kkyy21kkyy故对一切正整数n有,1nnyy所以数列递增.有界性)b1n时331ykn 时设3ky1 kn时233ky3ky33ky31ky故对一切正整数n有3ny,所以 数列有界.综上所述, 数列极限存在.(2)求值设aynnlim将13nnyy两边求极限得1l

3、im3limnnnnyy即aa3故3a例求数列,333,33, 3的极限.nny218141213333nnn211211)211(212141213333limnny定理2.15 如果数列 nnnzyx,满足下列条件(1)从某项开始有nnnzyx(2)nnxlimaznnlim则数列 ny极限存在,并且aynnlim证 由已知, 对0zn,时当nn , axn aznnnnzyx同时成立即axanazannnnzyxazyxannn所以 ayn成立因此.limaynn注 (1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理.(2)不等式两边极限必须存在且相等.(3)此定理对一般函数极限仍然成立.例3求)12

4、111(lim222nnnnn解nnnn22212111nnn212nn1lim2nnnn11lim2nnn因为且所以原式. 1例4求nnnnnnn1)54321 (lim解因为nnnnnn1)54321 (nn1)5(nn1)55( 5n155且55limn5)55(lim1nn所以原式. 5常见的建立不等式的方法:(1)分母变大分数值变小,分母变小分数值变大.(2)去掉小项和变小,小项变大和变大.0 x0 x0 x ay ayay )(xhy )(xfy )(xgy xyo 看懂后, 用精确地语言描述它.有时设 , ) | ( ),(u 00xxxx. )()()(xhxfxg则必有若 ,

5、 )(lim)(lim )()(00axhxgxxxxxx . )(lim)(0axfxxx例5求xxxx10532limxxxxxx1115235325320 解由052lim10 xx所以 原式0例6 求nnnxxf31lim)(解当1x时2113nxnnnx2113由12limnn得1)(xf当1x时213nx得)(xf12limnn当1x时nnnxxx33321得3)(xxf33321xxxnnn由332limxxnn故)(xf1111133xxxxx例7 求解 当10 x时32112nnxx由13limnn得1)(xf当21 x时 nnnnxxxf21lim2)0( xnnnnxx32112nnnnxxxx3212所以由所以xxxxnnnn