均值不等式应用技巧

1、均值不等式应用（技巧）.均值不等式1.( 1)若 a,b2.若a,b若a,bR，则 a2b22ab (2)若 a,bR,，则a b2.ab(2)若 a, b R，则a b2，则ab（当且仅当a b时取2则abRa » =”R1a b2 2a L （当且仅当a b时取“二”）22、ab （当且仅当a b时取“=”）3.若x0，则当且仅当x 1时取“=”)0,则x1x 一x1-2 （当且仅当3.若 ab（当且仅当b时取x 12 （当且仅当x 1时取“=”）xa b时取“=”)若ab4.若 a, bR，则（a b）222 .2a L (当且仅当2b时取“=”)-2（当且仅当a b时取“=”

2、）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值例1:求下列函数的值域(1) y = 3x 2 +1(2) y= x + -x解：(1) y= 3x 2 + 2p3x? 2x =苗值域为J6 , +8)(2)当 x>0 时，y = x +1 >2X x = 2；x -)< x1-=2x值域为(R,2 U 2 ,+m)1的最大值。4x 5解题

3、技巧: 技巧一：凑项5例1 :已知x，求函数y 4x 24解：因4x 50，所以首先要“调整”符号，又Qx 4,15 4x 0,y 4x 24x 5（4x 2）g 1 不是常数，所以对 4x 2要进行拆、凑项, 4x 55 4x 132 3 15 4x当且仅当5 4x1，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax 1。5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1当I时，求y x（8 2x）的最大值。解析：由I 二知，；£,，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x （8 2x） 8

4、为定值，故只需将 y x（8 2x）凑上一个系数即可。A = 冷皆（E - 2x） < *"身-巧2 亍 8当: ,即卩x = 2时取等号 当x = 2时，y x（8 2x）的最大值为 &评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设03，求函数y24x（32x）的最大值。解： 03 3 2x22x 3 2x0 y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)2当且仅当2x3 2x,即 x3 0, 3时等号成立。4 2技巧三：分离2例3求y 1）的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+ 1）

5、的项，再将其分离。+7r + 10y il当，1 ,即-1 时，y 2(x 1)59 （当且仅当x= 1时取“=”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元,t=x + 1 ,化简原式在分离求最值。y (t 仔 7(t 1+10 = t 4tt当1 ,即 t=_ I 时,y 2t 45（当t=2即x= 1时取“=”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。化为ymg(x)B(A 0, B 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。af (x) x的单调性。x(1) y2x 3x 1 / ,(x 0

6、) (2)y2x3 (3) y2sin x1,xsin x(0,)2 .已知0x 1，求函数y x(1 x)的最大值.；3. 0x -，求函数y x(2 3x)的最大值.3技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数例：求函数x y5一的值域。4解：令x24 t(t2)，则yx5 E1 1t -(t 2)x24.x 4t因t0,t 11，但t1解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为y t1在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y总t25所以，所求函数的值域为-,2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.条件求最值1.若实数

7、满足a b 2，则3a3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a和3b都是正数，3a3b> 2 3a 3b2.3a b6当3a3b时等号成立，由ab2及 3a3b得a b1即当a b 1时，3a 3b的最小值是611变式：右 log 4 x log 4 y 2，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192 :已知x 0, y 0 ,且1，求x y的最小值。x y错解:QxO, y ° ,且 1 - 1 , x y 丄-x y 2 厦

8、2历 12 故 x y min 12。x yx yy xy错因：解法中两次连用均值不等式，在x y xy等号成立条件是x y，在x等号成立条件是9y在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件19即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此,是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：Q x0,y9x10 6 10 16 y当且仅当9x时，上式等号成立，又y可得4, y 12 时,y min16 。变式： （1）若 x, y R 且 2x y1，求丄的最小值已知a, b, x, y R且axx y的最小值x y令 u= , ab贝U u2 + 2边 u 30w 0, 5迈 w

9、 uw 3迄技巧七、已知x, y为正实数，且x + y22 += 1,求x 1 + y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a 2 + b 2abwF面将x.分别看成两个因式:1.1+y22x +2 1+y即x .1+y 2同时还应化简中y2前面的系数为 ( 2 + y2)2技巧八：已知 a, b为正实数，2b+ ab+ a = 30,求函数y=ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径,是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;二是直接用基本 不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，

10、不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、丄30 2b法一：a= T+T , ab30 2bb + 122 b + 30b b=由 a> 0 得，Ov bv 152令 t = b+1, 1v t v 16, ab= 2t + 34t 31=2 (t + ¥ )+ 34V t + * > 216t = 8t法二：由已知得：30 ab= a + 2b v a + 2b> 2 2 ab 30 ab> 2 2 ab即b= 3, a= 6时，等号成立。/ ab w 18 y 占当且仅当t = 4,Jab <3 2 , abw 18,

11、. y>届点评：本题考查不等式a b . ab (a, b R )的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式2ab a 2b 30 (a,bR )出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式a bab (a,b R ),这样将已知条件转换为含 ab的不等式，进而解得 ab的范围.2变式：1.已知a>0, b>0, ab (a + b) = 1,求a + b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知解法一:x, y为正实数，3x+ 2y = 10,求函数 W= 3x + 2ya+ bw2 2若利用算术平均与平方平

12、均之间的不等关系,的最值.a *b ，本题很简单3x + 2y w 2( 3x ) 2+( 2y ) 2 =2 3x + 2y = 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W>0, W= 3x + 2y + 2 3x 2y = 10+ 2 3x 2y w 10+ ( 3x ) 2 ( 2y ) 2 = 10+ (3x + 2y) = 20 Ww 20 = 2 5 变式：求函数y2X 52X(1 x -)的最大值。2 2解析：注意到2x 1与5 2x的和为定值。y2( 2x1522x)242、._(2x 1)(52

13、x)4(2x 1)(5 2x)8又y 0,所以0y 22当且仅当2x1=52x，即 x3时取等号。2故 ymax2 2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造 条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1.已知a, b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2ab bc ca1)正数 a, b, c 满足 a + b+ c = 1，求证：(1 a)(1 b)(1 c) >8abc111例 6：已知 a、b、c R，且 a b c 1。求证：1118a b c分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“ 2 ”连乘，又1 a b c 2 bc，可由此变形入手。a a a解：Qa、 b、c学。同理芈12abc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 1 1 1 1 1 辽 a b ca2. abc8。当且仅当ab c -时取等号。3应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且 -x y1，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。解:y k,x0,yx ykx9x 9y ,1. ky10 y 9x