基本不等式及其应用

1、基本不等式及其应用一、利用基本不等式的转化求最值【例1】已知x>0, y>0,且2x+ 8y xy= 0,求x+ y的最小值及此时 x、y的值.【解析】因为2x+8y xy= 0,所以8 + = 1,x y所以x+ y=(x+ y)(8 +勻二伽8 空x yx yJ8y 2x_10+2 =18V x y当且仅当 翌=空，即x= 2y时，等号成立.x y又塑+ 丝=1,所以x=12, y=6.x y故当x=12, y=6时，x+ y的最 小值是18.【变式练习1】求函数y= x 5 x 2 & :：1)的最大值.x +1【解析】令x+1 = t,则t : 0,则y=丄丄=t+

2、么+5 ,tt因为 t ：0,所以 t+ 4 _2'.4二4,t所以y乞4 + 5 = 1，当且仅当t= 2,即x+1 = 2, x= 3时取"="，故函数的 最大值为1注意基本不等式的适用条件【例2】求y =sin2 x-的最小值sin x3-2，sin x【解析】 方法 1 y= sin2 x+4 = sin2 x+sin xsin x当 sin2 x12r-，即 sin2x =1 时，sin xsin2 x =2 sin2x 122可以取等号，sin x Y sin x即当sin2x=1时,sin2 x+的最小值是2.sin x又当sin2 x=1时，一2 =

3、3, 即卩 一2 的最小值是 3.sin xsin x所以函数y= sin2 x+的最小值是5.sin x方法2:令t= sin2x,则 0：t1, y= t+ -,t所以 y =1 当 0 ：t_1 时，y =1 £ ： 0, tt4即y= t+ 4在0,1 1上是减函数，所以当t=1时，y= t+电的最小值是5.t方法 3：令t= sin2x,则 0 < t < 1.4因为函数y=t 在0,2上是减函数, 所以，当t = 1时，ymin =5.【变式练习2】1已知b、cR,在区间一 ,2上，函数f x22=x2 + bx+ c与函数 g x = x_1 在同x一点取得

4、相同的最小值，求 f x在区间1丄,2上的最大值.22【解析】因为g x = Xx1 1=x+ + 1 _ 2. x 一+1 =3,当且仅当“=”成立,x. xx=-，即 X=1 时，x即g x的最小值为3.因为f x与g x在同一点处取得相同最小值，而 f (x) = x2 bx c = (x b)2 4c 24的图象是开口向上的抛物线， 且-2,2,所以f x只能在顶点处取得最小值，所以-b=1,24c _b2即 b=- 2时，4=3,所以 c=4.41所以 f x = (x-1)2 + 3.又x ? ,2,所以当x=2时，f x的最大值为4.利用基本不等式解实际问题【例3】某种汽车的购车

5、费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增 0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用 最小？【解析】设使用x(xN )年的年平均费用为y万元, 由已知条件可知年维修费构成一个以 0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列，因此使用x年的总维修费用为了倍万元, =10 + +1_2 10 x +1=3,(当且仅当 x=10时所以y=10 0.9X%密210 x 0.1xx 10. x 10取等号)所以当x=10时，y取最小值3. 答：这种汽车使用10年时，年平均费用最小.解决应用题时，先要认真阅读题目，理解题意，处理好题目中

6、的数量关系，选择适当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，再用数学知识和方法加以解决.【变式练习3】2008年5月12日四川省汶川县发生了 8.0级大地震，牵动了全国各地人民的心为了安置 广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元.房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内，试计算：(1) 设房前面墙的长为x,两侧墙的长为y,

7、所用材料费为 P,试用x, y表示P;(2) 求简易房面积S的最大值是多少？并求 S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？【解析】1 P= 2x 450+ 2y 200 + xy 200=900 x+ 400 y+ 200xy,即 P= 900x+ 400 y+ 200xy.2 依题意，S= xy,且 P -32000,则可得 P= 200S+900x+ 400 y-200 S+ 2、900 400S,得 200S+1200、.,S 岂 P E32000,即 G.S）2 + 6、S1600,0 <<10,得 S 乞100,当且仅当900400y,xy = 100即x二20时，S取最大

8、值.3答：简易房面积S的最大值为100平方米, 此时前面墙的长度应设计为20米.311函数y= x+(x 3)的值域是x 31【解析】y= x3 + 3,x -3当x ： 3时，y2 + 3=1,当x=2时取“=”；当x 3时，y _2+ 3 = 5, 当x=4时取“=”, 所以函数的值域是（一：,1U5 ,+：）2若Iog2x+ Iog2y = 4,贝U x + y的最小值为 【解析】因为 log2x+ log2y= log2 xy = 4, 所以 xy=16，所以 x+ y_2一石=8, 当且仅当x= y=4时，“=”成立.故x+ y的最小值为8.2 3已知x, y, z R +, x2y

9、+3z=0,则xz的最小值为.【解析】由已知y= x 3z,22 2 2y x 9z 6xz 1 x , 9z . 所以=(+6)xz4xz4 z xJ（29Z+ 6）=3.4 z x当且仅当x= y=3z时取得最小值.4已知 x 0, y 0,且 4x+ y=1.1求丄+ 的最小值；x y2求log2x+ log 2 y的最大值.【解析】1因为+ = ( + )(4x+ y)x y x y=上 + 空 + 5_2+ 5 = 9,2 戸+5 = 9,x y, x y当且仅当y =空，即x=丄，y=时取等号.x y63所以+ 的最小值为9.x y12 log2x+ log2y= log2 xy

10、= log2( 4x y)41 4x + y 21乞 log2 () = log2= 4,4216当且仅当4x= y,即x=1, y=丄时取等号.8 2所以log 2x+ log 2y的最大值为一4.5设函数f x = x .4 +81求f x的最大值及此时的x的值;a、2证明：对任意的实数a、b,恒有21f a :：b2 3b+.4x -44x 8=二三 16162冷 2.2”x_ 82”2【解析】1 f x _当且仅当216 2x22x 8=_ _ 2、2,84.22x即尸3时，f x的最大值为2 2.2192 证明：因为 b23b+ a_(b23b+ -)+ 344_(b- 3)2 +

11、3 _3,2所以b2 3b+ 21的最小值为3.4由1知，f x的最大值为2-.2而2 : 3,所以对任意的实数a、b,恒有 f a ： b 3b+214本节内容是不等式的基础知识，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的 和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；:是利用基本不等式比较两个实数（或代数式）的大小或证明不等式（放缩法等）；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式来解决.1 利用基本不等式 3 _ xy时,2要注意正、定、等”三要素.1 "正"，即x, y都是正数；2 "定"，即不等式另

12、一边为定值；3 "等"，即当且仅当x_ y时取"_".2 如：当sinx时，虽然有y_sin x+-sin x2、2,但2、2并不是y的最小值，因为sin x_不可能成立.sin x2又如：并不一定有x+ 2 -2,因为x的符sin x号没有确定.2 利用基本不等式 兮一xy时, 要注意积定和最小，和定积最大”这一 口诀，并适当运用拆、拼、凑等技巧. 但应注意，一般不要出现两次不等号.例如：已知x 0, y 0,且x+ y=1，求2 12 +丄的最小值.x y 方法1 :因为x - 0， y 0，且x+ y=1，12 1所以当x= y=时,+ 的最小值为

13、6.2x y，得2x 二3方法2:因为x 0，y 0，2 1I=x yx y =1 所以2 + 1的最小值为6.x y 方法 3：因为 1 = x+ y_2、xy，所以，1 _2,所以2 + -2 _4运xyx yxy所以2 + 1的最小值为 2.x y 三种方法似乎都有道理，但结果却不一样， 哪一种对呢？其实三种都不对.方法1、方法2都是误用了等号成立的条件； 方法3中，x+ y_2、,齐是当且仅当x= y时取 “=”，而2 12是当且仅当-x y xyx y时取“ =”，x= y与2=1不可能同时成立,x y所以错了.本题比较好的方法是：因为x 0, y 0,且x+ y=1, 所以 2 +

14、 - = （2 + l）（x+ y）=3+ 2y + -x y x yx y_3 + 2 2y x=3 + 2 ,2,x Ze 时,y *2 -1V x y成立,当且仅当 x y ,即x y =1所以2 + -的最小值为3 + 2 2.x y3. 记住下列结论，对解题是有帮助的：x2 +y21 xyz 2；,v x + y 22 xy 空（一2）；13当x0时，x+2；x4当x、y同号时， + - _ 2.y x4. 当两个正数a、b的和a+ b与积a b 出现在同一个式子中时，可以利用基本不 等式互相转化来求取值范围.如：已知 a 0, b 0,且 ab= a+ b+ 3, 则(1 pb e

15、；(2 )a+.就可以这样来求：1 因为 ab= a+ b+ 3_2-、ab+3,所以（、ab3）（ ab+10.因为.ab+1 0,所以 ab -9，即 ab 9 ,+ ：）.2 因为 a+ b+3= ab 乞（葺2,所以（a+ b）2 4（a+ b） 12 _0,所以 a+ b 亠6,所以 a+ b 6 ,+：）.1. （2010 宿迁期中卷）已知实数a, b满足2a+ b= 1，则4a + 2b的最小值是 答案：2 2选题感悟：在考试说明中基本不等式是C级要求，在应用基本不等式时，应注意合理拆添项、配凑等变形技巧的灵活应用.2（2010扬州期中卷）已知关于X的一元 二次不等式ax2 +

16、2x+ b . 0的解集为x |2 2x = ，贝V ab 7（其中 a - b）的aa ba 0 ab =1最小值为.【解析】由题意有a 0 ，即4 4ab =0所以a!L2=a b2a -b（a b）2ab +7,9= （a b） +6,a b当且仅当a- b=3时取“=” 答案：6选题感悟：基本不等式的考查往往不是单独进行的，应用中考查是常见的题型，常需要对式子进行合理的变形，使之满足基本不等式的形式及等号成立的条件，这类问题在高考中经常出现.3 （2010盐城一模卷）经市场调查，某旅游城 市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人 数f t （万人）与时间t （天）的函数关系近似满 足f t = 4 + ，人均消费g t （元）与时间t（天） 的函数关系近似满足 g t =115 |t 15|.1求该城市的旅游日收益 w t （万元）与时间t（1乞t空30, t N*）的函数关系式；2求该城市旅游日收益的最小值 （万元）.【解析】1由题意得，w t = f t g t1 * =(4 + -)(115- |t15|)(1 乞 t 乞 30, t N ) 1 *(4+ )(t+100)(仁 t ：15, t N ) 2 w t = 1(4+；)(130-t)(15兰t 兰30,仔 N*)1当 1