第五节曲线的凸性与拐点

1、5 曲线的凸性与拐点曲线的凸性与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。虑弯曲方向。oyxl3l2l1ab 如右图所示如右图所示l1 ，l2 ，l3 虽然都是虽然都是从从a点单调上升到点单调上升到b点，但它们的弯曲点，但它们的弯曲方向却不一样。方向却不一样。 l1 是是“凸凸”弧，弧，l2是是“凹凹”弧弧 ，l3既有既有凸弧凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸，也有凹弧，这和我

2、们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。的称呼是一致的。一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方abc1 12 21 12 21 12 21 12 21 12 2定定 义义 设设 f f( (x x) )为为 定定 义义 在在 区区 间间 i i 上上 的的 函函 数数 ， 若若 对对 i i 上上 任任 意意 两两 点点 x x , ,x x , , 和和 任任 意意 实实

3、 数数 总总 有有f f( ( x x + +( (1 1 - - ) )x x ) ) f f( (x x ) )+ +( (1 1 - - ) )f f( (x x ) )那那 末末 称称 f f( (x x) )为为 在在 区区 间间 i i 上上 的的 凸凸 函函 数数 ; ;反反 之之 若若 总总 有有f f( ( x x + +( (1 1 - - ) )x x ) ) f f( (x x ) )+ +( (1 1 - - ) )f f( (x x ) )称称 f f( (x x) )为为 在在 区区 间间 i i 上上 的的 凹凹 函函 数数;),()(,2)()()2(,),(

4、212121内内的的图图形形是是凸凸的的在在那那末末称称恒恒有有内内任任意意两两点点如如果果对对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹在在那那末末称称的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹且且在在内内连连续续在在如如果果baxfbabaxf二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abab递增递增)(xf abba0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.如如 果果 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 连连 续续 , ,在在 ( ( a a , ,b b ) )内内 具具

5、有有二二 阶阶 导导 数数, ,若若 在在 ( ( a a , ,b b ) )内内( ( 1 1 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 , ,则则 f f ( ( x x ) ) 在在 a a , ,b b 上上 的的 图图 形形 是是 凹凹 的的 ; ;( ( 2 2 ) ) f f ( ( x x ) ) 0 0 时时，,0 y为为凹凹的的；在在曲曲线线),0 .点点( (0 0, ,0 0) )是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法连连 续续 曲曲 线线 上上 凹凹 凸凸 的的 分分 界界 点点 称称 为为 曲曲

6、 线线 的的 拐拐 点点 .1.1.定义定义注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .2.2.拐点的求法拐点的求法证证,)(二二阶阶可可导导xf,)(存存在在且且连连续续xf , )()(0两两边边变变号号在在则则xxfxf ,)(,(00是是拐拐点点又又xfx,)(0取取得得极极值值在在 xxf 由由可可导导函函数数取取得得极极值值的的条条件件, ,.0)( xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)

7、()2(000不不是是拐拐点点点点不不变变号号两两近近旁旁xfxxfx 例例2 24 43 3求求 曲曲 线线 y y = = 3 3 x x- - 4 4 x x+ + 1 1 的的 拐拐 点点 及及凹凹 、 凸凸 的的 区区 间间 . .解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy令令 y y = = 0 0, ,.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32( )32,0(032)( xf )( xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32,0,0,( 凹凹凸凸区区间间为为方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)

8、(,)(00000的的拐拐点点线线是是曲曲那那末末而而且且的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导在在设设函函数数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2,0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f,0 2)47( f,0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :二阶导数变号二阶导数变号，是是拐拐点点则则)(,

9、(00 xfx例例5 5.3的的拐拐点点求求曲曲线线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,( y内内但但在在;0,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 ,0,),0( y内内在在.),0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0,0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy 例例6求曲线求曲线)0(sin tteyextt的拐点的拐点解解tttetetedxdycossin ttcossin )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )cos(sintett )sin(cos022 dxyd令令ttsincos 4 t时

10、时当当40 t022 dxyd时时当当 t4022 dxyd)21,(44 ee是拐点是拐点例例7)()(, 0)(1,11121iniiiniiniinxfpxpfxfpppp 则则若若是一组正数，且是一组正数，且设设jensen不等式不等式证证 niiixpx10记记maxmin0iixxx 则则由由taylor公式，得公式，得20000)(2)()()()(xxfxxxfxfxf 0)( xf)()()(000 xxxfxfxf ), 2 , 1()()()(000nixxxfxfxfii 各式乘以各式乘以ip再相加，得再相加，得)()()(1010101 niiniiiniiniiipxxpxfpxfxfp=1=10 x )(0 xf niiiniiixfpxpf11)()(四、小结四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.思考题思考题设设)( xf在在),(ba内内 二二 阶阶可可 导导， 且且0)(0 xf，其其