第五章节定积分及应用习题课

1、第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用习题课习题课问题问题1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 一一.本章提要本章提要定积分的应用定积分的应用1.利用牛利用牛-莱直接积分莱直接积分2.利用换元积分法积分利用换元积分法积分.注意注意:换元必换限换元必换限;不换元不换元不换限不换限3.比较两个定积分的大小比较两个定积分的大小4.证明定积分恒等式证明定积分恒等式(可作为结论掌握可作为结论掌握,如

2、如被积函被积函数为奇偶数为奇偶时的积分等时的积分等.)5.变上限积分的导数变上限积分的导数二二.本章解题类型本章解题类型6.求平面几何图形的面积求平面几何图形的面积,求旋转体的体积求旋转体的体积7.两类广义积分求解题两类广义积分求解题 22211dxxx例例1.计算定积分计算定积分 解法一解法一令令x=secu,则则 dx=secu tanu du. 34 du4334 u 3421secsectansec uuuduu原式原式= 2121221)1(11uuduu12arccos2121 u 212121 udu解法三解法三1,1222 uxux则则令令(以下同学们自已完成以下同学们自已完成

3、).解法二解法二,1,12duudxux 则则令令x2u3 4 2原式原式=12 x2u21212 2121dxxx例例2.计算定积分计算定积分 解解 原式原式= 2021dxxx 202201221)1(211)1(21xxdxxd 0121dxxx202121021221)1(2121)1(21xx 2521512 注注:被积函数被积函数中含绝对值中含绝对值符号的定积符号的定积分方法分方法又因为又因为f(x)在在1,2上连续上连续,f(x)在在1,2上单增上单增.例例3.比较比较 与与 的大小的大小 21lnxdx 21)1(dxx解一解一令令f(x)=1+x-lnx,)(xf 当当1x0

4、.则则, 当当x1时时,f(x)f(1)=2, 即即 1+xln x故故 21lnxdx 21)1(dxx解二解二 因为因为12ln2|2ln2|lnln21212121 xdxxxxdx252292)1()1(21221 xdxx故故 21lnxdx 21)1(dxxxxxxf111)( 因为因为证证dttdxtxxtx21221,),0( 则则令令dxxxfdxxfxaa 20023)(21)(例例4. 证明证明x0at02adxxxfa 20)(21dtttftdxxfxaa2102302321)()(2 dtttfa 20)(21证证, )()( baabdttfdxxbaf例例5 证

5、明证明dxxbafdxxfbaba )()(, txba 令令ax bx ,at , bt ,)()( babadxxfdttf证毕证毕, tbax 则则dtdx 例例6. 求求.sinln2dttdxdxax 解解原式原式= xaccxdttdttx2ln2sinsin xacxxcdttdttx2ln2sinsin xxaacadttxx2sin xxxcxdttlnsinlnln2xx1)sin(ln2 aaaxxlnsin2 例例7. 平面图形平面图形d是由曲线是由曲线 及直线及直线y = e 所围成所围成 的的,求求:xey 解解(2) eydyxv12 (1)平面图形平面图形d的面

6、积的面积(2)平面图形平面图形d绕绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积轴旋转一周所生成的旋转体的体积.xey ey oyx(1)平面图形平面图形d的图形如图所示的图形如图所示 10)(dxeesx edyy12)(ln ytln 令令 102dtett 2 e 10| )(xeex eydya1ln另解另解(1)(1)平面图形平面图形1 例例8. 设非负函数设非负函数上满足上满足在在1,0)(xf)()(xfxfx 曲线曲线)(xfy 与直线与直线1x及坐标轴所围图形及坐标轴所围图形(1) 求函数求函数; )(xf(2) a 为何值时为何值时, 所围图形绕所围图形绕 x 轴一周所得旋转体轴一周所

7、得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得由方程得axxfxfx23)()(2 axxf23)( ,223xa 面积为面积为 2 ,体积最小体积最小 ? 即即xcxaxf 223)(故得故得又又 10d)(2xxf xxcxad23210 22ca ac 4xaxaxf)4(23)(2 (2) 旋转体体积旋转体体积vxxfd)(1021610132aa,01513av令5a得又又v 5a,0155 a为唯一极小点为唯一极小点,因此因此5a时时 v 取最小值取最小值 .xoy1xoy121)( )( 2 )( 2 )( )(1.1112dcbadxx发发散散 ca训练题训练题cd5 5、下列积分中，使用变换正确的是、下列积分中，使用变换正确的是（） （a a）,sin103 xdx令令 txarctan ； （b b） 30321dxxx，令，令 txsin ； （c c） 21221)1ln(dxxxx，令，令 ux 21； （d d） 1121dxx，令，令31tx . . 2)()()( )()()(